L'essentiel à connaître
Pour approcher $\int_a^b f(x)\,dx$, découpe $[a\,;\,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h = \frac{b-a}{n}$, le pas, et remplace $f$ par un polynôme facile à intégrer. La méthode des trapèzes prend sur chaque sous-intervalle la corde, le segment qui joint les points de la courbe aux deux bords ; celle de Simpson prend une parabole sur deux sous-intervalles voisins, donc $n$ doit être pair. Sur $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$, un seul trapèze donne $\frac{1}{2}(0 + 1) = \frac{1}{2}$, et Simpson avec $h = \frac{1}{2}$ donne $\frac{1}{6}\left(0 + 4 \times \frac{1}{4} + 1\right) = \frac{1}{3}$, la valeur exacte.
Une formule appliquée une seule fois sur $[a\,;\,b]$ est dite simple ; répétée sur tout le découpage, elle est dite composée. Voici les formules composées, avec $x_k = a + kh$, et leurs erreurs d'après la bibliothèque de fonctions mathématiques du NIST américain (DLMF, § 3.5), où $\xi$ est un point de $]a\,;\,b[$.
Formule : trapèzes ($T_n$), puis Simpson ($S_n$, avec $n$ pair).
$$T_n = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$$
$$S_n = \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$$
| Méthode composée | Exacte jusqu'au degré | Intégrale moins approximation |
|---|---|---|
| Trapèzes | $1$ | $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ |
| Simpson | $3$ | $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ |
Diviser $h$ par $2$ divise donc l'erreur par environ $2^2 = 4$ avec les trapèzes, et par environ $2^4 = 16$ avec Simpson. Ne confonds pas avec Simpson simple, dont l'erreur $-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)$, avec $h = \frac{b-a}{2}$, est en $h^5$ : en composée, $\frac{n}{2}$ erreurs de ce type s'additionnent et $\frac{n}{2}h = \frac{b-a}{2}$, donc l'erreur globale est en $h^4$. Si $f'' > 0$, $f$ est convexe : la courbe passe sous ses cordes, et les trapèzes surestiment l'intégrale.
Les trapèzes et Simpson fixent d'avance des nœuds équidistants (les points où tu évalues $f$). La méthode de Gauss, ici sous sa forme de Gauss-Legendre à $m$ points, choisit à la fois les nœuds $t_i$ de $[-1\,;\,1]$ et les coefficients $w_i$, appelés poids, de la formule $\int_{-1}^{1} f(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{m} w_i\,f(t_i)$. Ces $2m$ réglages la rendent exacte pour tout polynôme de degré au plus $2m - 1$ : c'est son degré d'exactitude. À deux points, les nœuds sont $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ et les deux poids valent $1$.
Piège classique : pour appliquer Gauss sur $[a\,;\,b]$, pose $x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}$. Alors $dx = \frac{b-a}{2}\,dt$, et ce facteur ne s'oublie pas : $$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} f\left(\frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right)dt$$
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Par quoi la méthode des trapèzes remplace-t-elle la courbe de $f$ sur chaque sous-intervalle ?
Réponse : B. L'aire sous la corde est celle d'un trapèze, $\frac{h}{2}\left[f(x_k) + f(x_{k+1})\right]$. La parabole (C), c'est la méthode de Simpson.
Question 2 : Avec $x_k = a + kh$, quelle est la formule des trapèzes composée ?
Réponse : D. Chaque point intérieur sert à deux trapèzes voisins : il compte deux fois, les extrémités une seule. La A oublie ce doublement ; la C, c'est Simpson.
Question 3 : Tu approches $\int_0^2 x^2\,dx$ avec un seul trapèze. Quelle valeur obtiens-tu ?
Réponse : A. Ici $h = 2$, donc $\frac{2}{2}\left[f(0) + f(2)\right] = 4$. La D est la valeur exacte de l'intégrale, que le trapèze surestime car $x^2$ est convexe ; la B oublie le facteur $\frac{1}{2}$.
Question 4 : Par quel polynôme la méthode de Simpson simple remplace-t-elle $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?
Réponse : C. Simpson prend la parabole qui passe par les points de la courbe d'abscisses $a$, $\frac{a+b}{2}$ et $b$. Le $3$ de la B est son degré d'exactitude, pas le degré de ce polynôme.
Question 5 : Tu appliques la méthode de Simpson simple à $\int_0^2 x^2\,dx$. Quelle valeur obtiens-tu ?
Réponse : A. Le pas vaut la moitié de l'intervalle, $h = 1$, donc $\frac{1}{3}\left[f(0) + 4f(1) + f(2)\right] = \frac{8}{3}$, la valeur exacte. La D prend $h = 2$ : or $h$ est l'écart entre deux nœuds voisins, pas la longueur de l'intervalle.
Question 6 : Pour la méthode de Simpson composée, quel découpage de $[a\,;\,b]$ faut-il ?
Réponse : D. Chaque parabole couvre deux sous-intervalles : $n$ est pair, donc le nombre de points, $n + 1$, est impair. La C inverse les deux.
Question 7 : Que règle la méthode de Gauss-Legendre à $m$ points pour gagner en précision ?
Réponse : B. Elle choisit les $2m$ inconnues de $\sum w_i\,f(t_i)$ pour être exacte sur le plus de polynômes possible. Des nœuds équidistants fixés d'avance (A), c'est la démarche des trapèzes et de Simpson.
Question 8 : Gauss-Legendre à deux points sur $[-1\,;\,1]$ : quels sont les nœuds et les poids ?
Réponse : C. Pour $f = 1$, les poids doivent avoir pour somme $\int_{-1}^{1} dt = 2$, soit $1$ chacun par symétrie ; pour $t^2$, $2t_1^2 = \frac{2}{3}$ donne $t_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$. La D, dont les poids font $1$ au total, rend la moitié de l'intégrale.
Question 9 : Jusqu'à quel degré la méthode de Gauss-Legendre à $m$ points est-elle exacte pour tous les polynômes ?
Réponse : A. Les $2m$ réglages rendent la formule exacte pour les $2m$ monômes $1, t, \dots, t^{2m-1}$, donc jusqu'au degré $2m - 1$. Répondre $2m$, c'est oublier que le degré $0$ compte aussi.
Question 10 : Méthode des trapèzes composée, $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ : tu divises $h$ par $2$. Par combien l'erreur est-elle environ divisée ?
Réponse : B. L'erreur $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ est en $h^2$ : elle est divisée par environ $2^2 = 4$. Le $16$ (D) vaut pour Simpson, dont l'erreur est en $h^4$.
Question 11 : Tu sais que $f'' > 0$ sur $[a\,;\,b]$. Que peux-tu dire de l'approximation $T_n$ des trapèzes ?
Réponse : D. La courbe convexe passe sous chacune de ses cordes, donc chaque trapèze déborde au-dessus d'elle, quel que soit $n$. La C confond la taille de l'erreur, qui diminue, avec son signe, qui reste le même.
Question 12 : Pour utiliser une formule de Gauss écrite sur $[-1\,;\,1]$, comment réécris-tu $\int_a^b f(x)\,dx$ ?
Réponse : C. Avec $x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}$, $t = -1$ donne $x = a$, $t = 1$ donne $x = b$, et $dx = \frac{b-a}{2}\,dt$. La A oublie ce facteur : elle n'est juste que si $b - a = 2$.
Question 13 : Jusqu'à quel degré la méthode de Simpson est-elle exacte pour tous les polynômes ?
Réponse : B. Pour $t^3$ sur $[-1\,;\,1]$, Simpson donne $\frac{1}{3}\left[(-1)^3 + 4 \times 0^3 + 1^3\right] = 0$, la valeur exacte, grâce à la symétrie. La A confond le degré de la parabole avec le degré d'exactitude.
Question 14 : Méthode de Simpson composée, $f$ de classe $\mathcal{C}^4$ : tu passes de $n$ à $2n$ sous-intervalles. Par combien l'erreur est-elle environ divisée ?
Réponse : C. L'erreur composée $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ est en $h^4$, et $h$ est divisé par $2$ : elle est divisée par environ $2^4 = 16$. Le $32$ (D) vient de l'erreur en $h^5$ de Simpson simple, qui ne vaut que pour une seule parabole.
Question 15 : Tu calcules $\int_0^4 x^3\,dx$ par Gauss-Legendre à deux points (nœuds $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ et poids $1$ sur $[-1\,;\,1]$). Quelle valeur obtiens-tu ?
Réponse : A. Ici $x = 2t + 2$ et $dx = 2\,dt$ ; avec $u = \frac{2}{\sqrt{3}}$, les nœuds deviennent $2 \pm u$ et $(2 - u)^3 + (2 + u)^3 = 16 + 12u^2 = 32$, d'où $2 \times 32 = 64$, la valeur exacte puisque $3 \leq 2 \times 2 - 1$. Sans le facteur $2$, tu trouves $32$ (B) ; en évaluant $f$ en $\pm u$ sans translater, tu trouves $0$ (D).
Sources
Formules des trapèzes et de Simpson, leurs erreurs et le degré d'exactitude de Gauss-Legendre : NIST, Digital Library of Mathematical Functions, § 3.5 « Quadrature ». Les nœuds et poids à deux points et le changement de variable sont démontrés aux questions 8 et 12.