L'essentiel à connaître
Par $n+1$ points d'abscisses distinctes passe un seul polynôme $P$ de degré au plus $n$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i$ : c'est le polynôme d'interpolation. Lagrange et Newton en donnent deux écritures, pas deux approximations rivales. Exemple : par $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,3)$ et $(2\,;\,7)$ passe $P(x) = x^2 + x + 1$, et aucun autre polynôme de degré au plus $2$.
Formule : forme de Lagrange, $P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$ avec les polynômes de base $L_i(x) =\prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$, qui vaut $1$ en $x_i$ et $0$ aux autres points.
Forme de Newton, $P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + \dots + f[x_0, \dots, x_n](x - x_0)\cdots(x - x_{n-1})$, avec $f[x_i] = y_i$ et $f[x_0, \dots, x_k] = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}$.
Une différence divisée généralise le taux d'accroissement : $f[x_0, x_1]$ est la pente entre les deux premiers points, et l'on calcule les suivantes colonne par colonne dans un tableau. Avec Lagrange, ajouter un point oblige à refaire tous les $L_i$ ; avec Newton, on ajoute un terme et les anciens coefficients restent. Le dernier coefficient, $f[x_0, \dots, x_n]$, est celui de $x^n$ dans $P$, et il ne dépend pas de l'ordre des points.
À retenir : le degré est au plus $n$, pas forcément $n$ : trois points alignés donnent une droite. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$, l'erreur s'écrit $f(x) - P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)\cdots(x - x_n)$, pour un $\xi$ pris dans le plus petit intervalle qui contient $x$ et les $x_i$.
Piège classique : plus de points ne veut pas dire meilleure approximation. En points équidistants, le polynôme qui interpole $f(x) = \frac{1}{1 + 16x^2}$ sur $[-1\,;\,1]$ oscille de plus en plus fort près de $-1$ et de $1$ quand $n$ augmente : c'est le phénomène de Runge. Les points de Tchebychev, plus serrés près des bords, font disparaître ces oscillations (cours de J.-P. Chehab, université de Picardie).
En MPSI et MP2I, le programme de 2021 demande l'existence, l'unicité et l'expression de Lagrange ; la forme de Newton et le phénomène de Runge relèvent des cours d'analyse numérique.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont de la plus simple à la plus délicate : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Par quatre points d'abscisses distinctes, combien de polynômes de degré au plus $3$ passent-ils ?
Réponse : B. La forme de Lagrange en donne un, et deux tels polynômes auraient une différence de degré au plus $3$ qui s'annule en quatre points : elle est nulle. Le piège C oublie la contrainte de degré, sans laquelle il y en aurait une infinité.
Question 2 : Les abscisses $x_0$, $x_1$, $x_2$ sont distinctes. Que valent $L_2(x_2)$ et $L_2(x_0)$ ?
Réponse : A. $L_2$ vaut $1$ en son propre point $x_2$, et $0$ en $x_0$ où son facteur $x - x_0$ s'annule. Le piège C confond $L_2$ avec le terme $y_2 L_2(x)$ de la somme de Lagrange.
Question 3 : Quel polynôme de degré au plus $1$ passe par les points $(1\,;\,2)$ et $(3\,;\,8)$ ?
Réponse : D. La pente vaut $f[x_0, x_1] = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$, d'où $P(x) = 2 + 3(x - 1) = 3x - 1$, et l'on vérifie $P(1) = 2$ et $P(3) = 8$. Le piège A écrit $2 + 3x$ au lieu de $2 + 3(x - 1)$ : il oublie le décalage $x - x_0$.
Question 4 : Les abscisses sont $x_0 = 0$, $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$. Quel est le polynôme de base $L_1$ ?
Réponse : C. $L_1(x) = \frac{(x - 0)(x - 3)}{(1 - 0)(1 - 3)}$, de dénominateur $-2$, et l'on vérifie $L_1(1) = 1$. Le piège A perd le signe de $1 - 3$ et donne $L_1(1) = -1$ ; la proposition B est $L_0$.
Question 5 : Dans la forme de Newton à trois points, par quel produit le coefficient $f[x_0, x_1, x_2]$ est-il multiplié ?
Réponse : B. Le coefficient d'ordre $k$ est multiplié par $(x - x_0)\cdots(x - x_{k-1})$, qui s'annule aux points déjà pris en compte. Le piège A ajoute $(x - x_2)$ : le terme serait de degré $3$, un de trop pour trois points.
Question 6 : Tu as écrit $P$ sous forme de Newton aux points $x_0$, $x_1$, $x_2$, et un quatrième point d'abscisse $x_3$ arrive. Quel terme ajoutes-tu ?
Réponse : A. Ce terme s'annule en $x_0$, $x_1$ et $x_2$, donc les anciens coefficients restent : c'est l'avantage de Newton sur Lagrange. Le piège C s'annule aussi en $x_3$ : il laisserait $P(x_3)$ inchangé et ne corrigerait rien.
Question 7 : Les points sont $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,3)$ et $(3\,;\,13)$. Que vaut $f[x_0, x_1, x_2]$ ?
Réponse : C. $f[x_0, x_1] = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2$ et $f[x_1, x_2] = \frac{13 - 3}{3 - 1} = 5$, donc $f[x_0, x_1, x_2] = \frac{5 - 2}{3 - 0} = 1$. Le piège B divise par $x_2 - x_1 = 2$, alors qu'on divise par l'écart entre les abscisses extrêmes, $x_2 - x_0 = 3$.
Question 8 : $P$ est le polynôme d'interpolation des points $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,3)$ et $(3\,;\,13)$. Que vaut $P(2)$ ?
Réponse : D. Les différences divisées $1$, $2$ et $1$ donnent $P(x) = 1 + 2x + x(x - 1)$, donc $P(2) = 1 + 4 + 2 = 7$. Le piège A interpole par la droite qui passe par $(1\,;\,3)$ et $(3\,;\,13)$ : il oublie le premier point.
Question 9 : Soit $f(x) = 3x^2 - x + 5$. Pour trois abscisses distinctes quelconques, que vaut $f[x_0, x_1, x_2]$ ?
Réponse : A. Par unicité, $f$ est son propre polynôme d'interpolation, et $f[x_0, x_1, x_2]$ est son coefficient de $x^2$, quels que soient les points. Le piège B prend $f''(x) = 6$ sans diviser par $2!$.
Question 10 : Tu interpoles $f(x) = \frac{1}{1 + 16x^2}$ sur $[-1\,;\,1]$ en $n+1$ points équidistants, avec $n$ de plus en plus grand. Que constates-tu ?
Réponse : B. C'est le phénomène de Runge : en points équidistants, l'interpolation de cette fonction ne converge pas uniformément vers $f$, et les écarts se concentrent près des bords. Le piège A suppose que plus de points donne toujours mieux, ce qui est faux ici malgré la régularité de $f$.
Question 11 : Pour éviter ces oscillations sur $[-1\,;\,1]$, où places-tu les points d'interpolation ?
Réponse : D. Les points de Tchebychev, $x_k = \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n+2}\right)$ pour $k$ de $0$ à $n$, se resserrent près des bords et rendent minimal le maximum de $|(x - x_0)\cdots(x - x_n)|$ dans la formule d'erreur. Le piège B dégarnit les bords, là où naissent les oscillations.
Question 12 : Tu interpoles $f(x) = e^x$ aux points $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$ par une droite $P_1$. Quel majorant de $|f(x) - P_1(x)|$ sur $[0\,;\,1]$ la formule d'erreur donne-t-elle ?
Réponse : C. Ici $|f(x) - P_1(x)| = \frac{e^{\xi}}{2}|x(x - 1)|$, avec $e^{\xi} \le e$ et $|x(x - 1)| \le \frac{1}{4}$, maximum atteint en $x = \frac{1}{2}$ : d'où $\frac{e}{8}$. Le piège A majore $|x(x - 1)|$ par $1$ au lieu de $\frac{1}{4}$.
Question 13 : Quel est le degré du polynôme d'interpolation des points $(0\,;\,1)$, $(1\,;\,3)$ et $(3\,;\,7)$ ?
Réponse : A. $f[x_0, x_1] = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2$ et $f[x_1, x_2] = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$, donc $f[x_0, x_1, x_2] = 0$ : les points sont alignés et $P(x) = 1 + 2x$. Le piège B lit « degré $n$ » là où le théorème dit « degré au plus $n$ ».
Question 14 : Tu refais le tableau des différences divisées avec les mêmes points, rangés dans un autre ordre. Qu'est-ce qui change ?
Réponse : D. $P$ est unique, et son coefficient de $x^n$, $f[x_0, \dots, x_n]$, ne dépend pas de l'ordre des points. Les autres coefficients, eux, en dépendent : le premier vaut toujours l'ordonnée du point placé en tête. Le piège B confond le polynôme, qui ne bouge pas, avec son écriture de Newton, qui dépend de l'ordre.
Question 15 : Avec trois abscisses distinctes $x_0$, $x_1$, $x_2$, que vaut $L_0(x) + L_1(x) + L_2(x)$ ?
Réponse : C. Cette somme est la forme de Lagrange du polynôme de degré au plus $2$ qui vaut $1$ aux trois points. Le polynôme constant $1$ convient, donc par unicité c'est lui, pour tout $x$. Le piège A ne regarde que les points et oublie cette unicité.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Formule d'interpolation de Lagrange » : texte officiel.
Jean-Paul Chehab, « Interpolation polynomiale », notes de cours, université de Picardie Jules Verne, version du 2 février 2014 : cours en PDF.