L'essentiel à connaître
Un nombre $a$ est racine du polynôme $P$ quand $P(a) = 0$, et cela revient à dire que $X - a$ divise $P$ : le reste de la division euclidienne de $P$ par $X - a$ vaut toujours $P(a)$. Exemple : $P = X^3 - 2X^2 - X + 2$ vérifie $P(1) = 0$, donc $P = (X - 1)(X^2 - X - 2) = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$. Pour trouver une première racine d'un polynôme à coefficients entiers, teste les fractions irréductibles $\frac{p}{q}$ où $p$ divise le terme constant et $q$ le coefficient dominant (celui du terme de plus haut degré) : ce sont ses seules racines rationnelles possibles.
La racine $a$ est d'ordre $m$ (on dit aussi de multiplicité $m$) quand $(X - a)^m$ divise $P$ mais pas $(X - a)^{m+1}$. Avec les dérivées : $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a) \neq 0$. Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec leur ordre, et exactement $n$ dans $\mathbb{C}$ : c'est le théorème de d'Alembert-Gauss. S'il est à coefficients réels, le conjugué d'une racine non réelle est aussi racine, avec le même ordre.
Formule : si $aX^3 + bX^2 + cX + d$ (avec $a \neq 0$) a pour racines $x_1$, $x_2$, $x_3$ dans $\mathbb{C}$, alors $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ et $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$. La somme et le produit s'apprennent par cœur ; la formule du milieu se retrouve en développant $a(X - x_1)(X - x_2)(X - x_3)$.
Un polynôme non constant est irréductible quand il ne s'écrit pas comme produit de deux polynômes non constants à coefficients dans le même ensemble. On note $\mathbb{R}[X]$ les polynômes à coefficients réels et $\mathbb{C}[X]$ ceux à coefficients complexes. Tout polynôme non constant est un produit d'irréductibles, et le programme de première année de prépa MPSI et MP2I étudie ces décompositions dans $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{C}[X]$ (programme de mathématiques, 2021).
Règle : dans $\mathbb{C}[X]$, les irréductibles sont les polynômes de degré 1. Dans $\mathbb{R}[X]$, ce sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.
Piège classique : « sans racine, donc irréductible » ne vaut qu'en degré 2 ou 3. $(X^2 + 1)^2$ n'a aucune racine réelle, et pourtant il se factorise.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Lequel de ces nombres est racine de $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ ?
Réponse : C. $P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Les propositions $-1$ et $-3$ viennent d'une erreur de signe : $P = (X - 1)(X - 2)(X - 3)$ a pour racines $1$, $2$ et $3$, pas leurs opposés. Quant à $6$, il divise bien le terme constant, mais $P(6) = 60$.
Question 2 : Quel est le reste de la division euclidienne de $P = X^3 + 2X^2 - 5X + 1$ par $X - 1$ ?
Réponse : A. Le reste de la division par $X - a$ vaut $P(a)$, ici $P(1) = 1 + 2 - 5 + 1 = -1$. Le piège : $7$, qui est $P(-1)$. Diviser par $X - 1$, c'est évaluer en $1$, pas en $-1$.
Question 3 : Lequel de ces polynômes est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ ?
Réponse : D. Son discriminant vaut $4 - 20 = -16 < 0$ : sans racine réelle et de degré 2, il est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$. Le piège : $X^3 + 1$, qui ne ressemble à aucune identité connue. Pourtant $-1$ en est racine, et $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$.
Question 4 : Quelle est la factorisation de $X^2 + 2X + 5$ dans $\mathbb{C}[X]$ ?
Réponse : B. $\Delta = -16 = (4i)^2$, donc les racines sont $\frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$, et $X - (-1 + 2i) = X + 1 - 2i$. Le piège A perd un signe : $(X - 1)^2 + 4 = X^2 - 2X + 5$. Les propositions C et D se trompent dans la division par $2$.
Question 5 : Quelle est la décomposition de $X^4 - 1$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ ?
Réponse : B. $X^4 - 1 = (X^2 - 1)(X^2 + 1) = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)$, et $X^2 + 1$, de discriminant $-4$, est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$. Le piège A s'arrête trop tôt : $X^2 - 1$ se factorise encore. C est la décomposition dans $\mathbb{C}[X]$, avec des facteurs à coefficients non réels.
Question 6 : Un polynôme $P$ de degré 3 à coefficients réels admet $2$ et $1 + i$ pour racines. Quelle est sa troisième racine ?
Réponse : A. Les coefficients sont réels, donc le conjugué $\overline{1 + i} = 1 - i$ est aussi racine ; avec $2$, cela fait les trois racines d'un polynôme de degré 3. Le piège B : $-1 - i$ est l'opposé de $1 + i$, pas son conjugué.
Question 7 : Le nombre $1$ est racine double de $P = X^3 - 3X + 2$. Quelle est l'autre racine de $P$ ?
Réponse : D. Il n'y a pas de terme en $X^2$, donc la somme des trois racines vaut $0$ : $1 + 1 + r = 0$, d'où $r = -2$. On vérifie : $P(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$, et $P = (X - 1)^2(X + 2)$. Le piège B : $-1$ vient de $1 + r = 0$, où la racine double n'est comptée qu'une fois.
Question 8 : Quel est le produit des racines de $P = 2X^3 - 5X^2 + X + 2$ dans $\mathbb{C}$ ?
Réponse : C. Le produit vaut $-\frac{d}{a} = -\frac{2}{2} = -1$ ; les racines sont $2$, $1$ et $-\frac{1}{2}$, et leur produit vaut bien $-1$. Le piège A : $1$, c'est $\frac{d}{a}$, avec le signe moins oublié.
Question 9 : Tu cherches les racines rationnelles de $P = 3X^3 + X - 2$. Lequel de ces nombres fait partie des candidats à tester ?
Réponse : A. Le numérateur divise le terme constant $-2$ et le dénominateur divise le coefficient dominant $3$ : les candidats sont $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm \frac{1}{3}$ et $\pm \frac{2}{3}$. Le piège B inverse les rôles du numérateur et du dénominateur. Un candidat reste à tester : ici $P(\frac{2}{3}) = -\frac{4}{9}$, donc $\frac{2}{3}$ n'est pas racine.
Question 10 : À quelle condition le nombre $a$ est-il racine d'ordre exactement 2 du polynôme $P$ ?
Réponse : B. Une racine d'ordre 2 annule $P$ et $P'$, mais pas $P''$. Le piège A : $P(a) = P'(a) = 0$ prouve seulement que $a$ est racine d'ordre au moins 2, peut-être triple. C décrit une racine simple.
Question 11 : Un polynôme $P$ de degré au plus 3 vérifie $P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = 0$. Que peut-on en conclure ?
Réponse : C. Un polynôme non nul de degré au plus 3 a au plus trois racines ; $P$ en a quatre, donc $P = 0$. Le piège A : ce polynôme a bien ces quatre racines, mais il est de degré 4. D est faux, car le polynôme nul convient : par convention, son degré vaut $-\infty$.
Question 12 : Quelle est la décomposition de $P = 2X^3 + X^2 + X - 1$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ ?
Réponse : D. $P(1) = 3$ et $P(-1) = -3$, mais le coefficient dominant $2$ ajoute les candidats $\pm \frac{1}{2}$, et $P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$. On obtient $P = (2X - 1)(X^2 + X + 1)$, où $X^2 + X + 1$ a pour discriminant $-3$. Le piège A oublie le coefficient dominant : ce produit commence par $X^3$, pas par $2X^3$. C néglige le reste $P(1) = 3$ de la division par $X - 1$.
Question 13 : Le polynôme $X^4 + 4$ n'a aucune racine réelle. Quelle est sa décomposition en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ ?
Réponse : A. $X^4 + 4 = (X^2 + 2)^2 - 4X^2 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$, et chaque facteur a pour discriminant $-4$. Le piège D : « sans racine réelle, donc irréductible » ne vaut qu'en degré 2 ou 3, et dans $\mathbb{R}[X]$ aucun polynôme de degré 4 n'est irréductible. B est faux, car $(X^2 + 2)^2 = X^4 + 4X^2 + 4$.
Question 14 : Quel est l'ordre de multiplicité de la racine $1$ dans $P = X^4 - 2X^3 + 2X - 1$ ?
Réponse : C. $P(1) = 0$, $P'(1) = 4 - 6 + 2 = 0$, $P''(1) = 12 - 12 = 0$ et $P'''(1) = 24 - 12 = 12 \neq 0$ : la racine est d'ordre 3, et $P = (X - 1)^3(X + 1)$. Le piège B : s'arrêter à $P'(1) = 0$ et conclure « racine double » sans calculer $P''(1)$.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, Classes préparatoires MPSI et MP2I, programme de mathématiques (2021), partie « Polynômes et fractions rationnelles ».