Quiz : Maîtrise les Suites Numériques !

Réponse : C. Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$ où $l$ est un nombre réel fini. Les autres options décrivent des propriétés qui peuvent ou non impliquer la convergence, mais ne la définissent pas.

Réponse : A. Pour $n$ très grand, $u_n \approx \frac{2n}{n} = 2$. Formellement, $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2+1/n)}{n(1+3/n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2+1/n}{1+3/n} = \frac{2+0}{1+0} = 2$. La suite est donc convergente vers 2.

Réponse : D. Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au terme précédent. L'option A décrit une suite strictement croissante. L'option B décrit une suite décroissante. L'option C décrit une suite arithmétique.

Réponse : B. C'est un théorème fondamental de l'analyse : toute suite croissante et majorée (bornée supérieurement) converge. De même, toute suite décroissante et minorée converge.

Réponse : A. La définition standard des suites adjacentes requiert une monotonie opposée et que la différence tende vers zéro. L'option B est très similaire mais l'ordre dans la différence est inversé, ce qui, combiné avec la monotonie opposée, donne la même conclusion.

Réponse : D. Si la suite converge vers une limite $l$, alors $l$ doit vérifier $l = \sqrt{l+2}$. En élevant au carré, $l^2 = l+2$, soit $l^2 - l - 2 = 0$. Les solutions sont $l=2$ et $l=-1$. Comme les termes sont positifs, la limite doit être positive, donc $l=2$. (Il faudrait prouver la convergence pour être certain, mais la question suppose la convergence).

Réponse : C. Le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée ou décroissante et minorée) est une méthode très puissante pour prouver la convergence des suites définies par récurrence. Les autres méthodes sont soit impraticables, soit ne garantissent pas la convergence.

Réponse : B. Les termes alternent entre 1 et -1. Elle n'approche aucune limite unique, elle oscille donc. Elle n'est ni croissante ni décroissante, et donc ni monotone. Elle est bornée, mais pas convergente.

Réponse : A. Par définition, une suite est convergente uniquement si sa limite est un nombre réel fini. Une suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ est considérée comme divergente.

Réponse : D. Les deux suites sont décroissantes. Pour être adjacentes, il faudrait que l'une soit croissante et l'autre décroissante. Bien que leur différence $v_n - u_n = \frac{1}{n}$ tende vers 0, la condition de monotonie opposée n'est pas remplie.

Réponse : C. Le théorème de la convergence monotone stipule qu'une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge. Si tu connais la limite, c'est plutôt pour prouver l'existence de cette limite que ce théorème est utilisé.

Réponse : B. On sait que $-1 \le \sin(n) \le 1$. Donc, pour $n > 0$, on a $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. La suite est donc convergente vers 0.

Réponse : A. C'est un résultat classique pour les suites arithmético-géométriques. La limite $l$ vérifie $l = al + b$, d'où $l(1-a) = b$, et $l = \frac{b}{1-a}$ si $a \ne 1$. Si $|a| < 1$, la suite converge vers cette valeur.

Réponse : D. La définition complète des suites adjacentes inclut trois conditions : la monotonie opposée entre les deux suites, et que la différence entre elles tende vers zéro. L'option A est une conséquence des suites adjacentes, mais pas la définition complète. L'option B donne une partie de la définition, mais manque la condition sur la différence. L'option C est une conséquence de la définition.

Réponse : B. On peut réécrire $u_n = n(n-1)$. Lorsque $n$ devient très grand, $n$ tend vers $+\infty$ et $n-1$ tend vers $+\infty$. Le produit de deux nombres qui tendent vers $+\infty$ tend lui-même vers $+\infty$. La suite diverge donc vers $+\infty$. Elle n'est pas bornée.