L'essentiel à connaître
Une suite $(u_n)$ converge quand elle a une limite réelle $\ell$ : pour tout $\varepsilon > 0$, on a $|u_n - \ell| \le \varepsilon$ à partir d'un certain rang. Sinon elle diverge, qu'elle tende vers $+\infty$, vers $-\infty$ ou qu'elle n'ait pas de limite. Exemple : en factorisant par $n$, $u_n = \frac{3n-1}{n+2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$ converge vers $3$, alors que $(-1)^n$ diverge.
Formule : $q^n \to 0$ si $|q| < 1$, $q^n = 1$ si $q = 1$, $q^n \to +\infty$ si $q > 1$, et $(q^n)$ n'a pas de limite si $q \le -1$.
Quand le calcul direct bloque, encadre : si $v_n \le u_n \le w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ tendent vers le même réel $\ell$, alors $u_n \to \ell$ (théorème d'encadrement, dit « des gendarmes »). Pour une puissance dont l'exposant dépend de $n$, écris $a_n^{b_n} = \mathrm{e}^{b_n \ln a_n}$ (avec $a_n > 0$) et sers-toi de $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$ quand $x \to 0$. Une suite extraite ne garde qu'une partie des termes, comme $(u_{2n})$ pour les rangs pairs et $(u_{2n+1})$ pour les rangs impairs : si ces deux-là tendent vers $\ell$, $(u_n)$ aussi, et si deux suites extraites ont des limites différentes, $(u_n)$ diverge.
Pour la monotonie, étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ : s'il est positif pour tout $n$, la suite est croissante. En passant à la limite, une inégalité large se conserve, mais une inégalité stricte devient large : $u_n < 3$ pour tout $n$ donne seulement $\ell \le 3$.
Propriété : une suite croissante et majorée converge ; croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$. C'est le théorème de la limite monotone, qui vaut de même pour une suite décroissante, minorée ou non.
Propriété : si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante et $v_n - u_n \to 0$, les deux suites sont dites adjacentes. Elles convergent alors vers la même limite $\ell$, et $u_n \le \ell \le v_n$ pour tout $n$.
Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$. Cette équation ne donne que des candidats : prouve d'abord la convergence, souvent par la limite monotone. Pour une suite arithmético-géométrique, $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \ne 1$, cherche la constante $\ell = a\ell + b$ : $v_n = u_n - \ell$ est alors géométrique de raison $a$. Ces théorèmes figurent au programme officiel de mathématiques de MPSI et MP2I (2021).
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Une suite réelle $(u_n)$ est convergente quand :
Réponse : B. Converger, c'est avoir une limite finie, c'est-à-dire un nombre réel. Le piège D oublie ce mot : une suite qui tend vers $+\infty$ a une limite, mais elle diverge.
Question 2 : Quelle est la limite de $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$ ?
Réponse : D. En factorisant par $n$, $u_n = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}$, qui tend vers $\frac{2}{1} = 2$. Le piège A, $\frac{1}{3}$, c'est la valeur de $u_0$ : les constantes $1$ et $3$ deviennent négligeables quand $n$ grandit.
Question 3 : Pour quelles valeurs du réel $q$ la suite $(q^n)$ converge-t-elle ?
Réponse : C. Pour $|q| < 1$, $q^n \to 0$, et pour $q = 1$, la suite est constante égale à $1$ : elle converge aussi. Le piège B ajoute $q = -1$, or $(-1)^n$ vaut tour à tour $1$ et $-1$ et n'a pas de limite.
Question 4 : Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n = \frac{n}{n+1}$. Que vaut $u_{n+1} - u_n$ ?
Réponse : A. Au même dénominateur, $u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$, positif : la suite est croissante. Le piège C vient de $(n+1)^2$ développé en $n^2 + 1$, en oubliant le double produit $2n$.
Question 5 : Que fait la suite $u_n = \frac{\sin n}{n}$, pour $n \ge 1$ ?
Réponse : C. Comme $-1 \le \sin n \le 1$, on a $-\frac{1}{n} \le u_n \le \frac{1}{n}$, et les deux bornes tendent vers $0$ : par encadrement, $u_n \to 0$. Le piège A confond avec $\frac{\sin x}{x} \to 1$, qui vaut quand $x \to 0$, pas quand $n \to +\infty$.
Question 6 : Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes quand :
Réponse : B. La définition demande des monotonies opposées et une différence qui tend vers $0$. Le piège A prend la conclusion du théorème pour la définition : $\frac{1}{n}$ et $\frac{(-1)^n}{n}$ tendent toutes deux vers $0$, mais la seconde n'est pas monotone.
Question 7 : Pour $n \ge 1$, on pose $u_n = 1 + \frac{1}{n}$ et $v_n = 1 + \frac{2}{n}$. Ces suites sont-elles adjacentes ?
Réponse : D. $\frac{1}{n}$ et $\frac{2}{n}$ diminuent quand $n$ augmente, donc $(u_n)$ et $(v_n)$ décroissent toutes les deux : il manque les monotonies opposées. Le piège A ne vérifie qu'une condition sur deux, et une différence qui tend vers $0$ ne suffit pas.
Question 8 : On pose $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, et on admet que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ?
Réponse : A. La fonction $x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue, donc $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, d'où $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Tous les termes sont positifs, donc $\ell \ge 0$ par passage à la limite : $\ell = 2$. Les pièges B et D gardent $-1$, alors que $\sqrt{-1+2} = 1 \ne -1$.
Question 9 : On pose $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?
Réponse : B. La constante vérifie $\ell = \frac{1}{2}\ell + 3$, donc $\ell = 6$. La suite $v_n = u_n - 6$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 5 - 6 = -1$, d'où $u_n = 6 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Le piège A prend $u_0 = 5$ comme premier terme de $(v_n)$ : vérifie toujours ta formule en $n = 0$.
Question 10 : Que fait la suite $u_n = (-1)^n + \frac{1}{n+1}$ ?
Réponse : C. $u_{2n} = 1 + \frac{1}{2n+1} \to 1$ et $u_{2n+1} = -1 + \frac{1}{2n+2} \to -1$ : deux suites extraites ont des limites différentes, donc $(u_n)$ diverge. Le piège B ne regarde que les rangs pairs, et une seule suite extraite ne dit rien de la suite entière.
Question 11 : $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante sont adjacentes, avec $u_0 = 1$ et $v_0 = 2$. Que sait-on de leur limite commune $\ell$ ?
Réponse : A. Le théorème donne $u_n \le \ell \le v_n$ pour tout $n$, en particulier $u_0 \le \ell \le v_0$, soit $1 \le \ell \le 2$. Le piège C rend les inégalités strictes : avec $u_n = 1$ et $v_n = 1 + \frac{1}{n+1}$, les suites sont adjacentes et $\ell = 1$.
Question 12 : Pour $u_n = \sqrt{n}$, on a $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$. Quelle conclusion est juste ?
Réponse : D. $\sqrt{n} \to +\infty$, alors que l'écart entre deux termes consécutifs tend vers $0$ : la suite avance à pas de plus en plus petits, sans jamais s'arrêter. Le piège A renverse une implication : si $(u_n)$ converge, alors $u_{n+1} - u_n \to 0$, mais la réciproque est fausse.
Question 13 : Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$. Que peut-on affirmer ?
Réponse : B. La limite monotone donne la convergence, et le passage à la limite dans $u_n \le 3$ donne $\ell \le 3$. Le piège A confond majorant et limite : $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $3$, et tend vers $1$. Quant à C, $u_n = 3 - \frac{1}{n+1}$ tend vers $3$ exactement.
Question 14 : On pose $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n^2$. L'équation $\ell = \ell^2$ a pour solutions $0$ et $1$. Que fait $(u_n)$ ?
Réponse : A. Par récurrence, $u_n = 2^{2^n}$ : la suite croît et tend vers $+\infty$. L'équation $\ell = \ell^2$ ne donne les limites possibles que si la suite converge, ce qui n'est pas le cas ici. Les pièges B et D concluent sans avoir prouvé la convergence.
Question 15 : Quelle est la limite de $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ?
Réponse : C. Écris $u_n = \mathrm{e}^{n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}$. Avec $x = \frac{1}{n} \to 0$, $n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$, donc $u_n \to \mathrm{e}$. Le piège A applique « $1^n = 1$ » alors que la base dépend de $n$ : c'est une forme indéterminée, notée $1^\infty$.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Nombres réels et suites numériques » (texte officiel).