L'essentiel à connaître
Dans le plan muni d'un repère, une droite non verticale possèd'une équation réduite de la forme y = mx + p. Dans cette expression, la lettre m désigne le coefficient directeur, qui mesure l'inclinaison de la droite. Si m est positif, la droite monte ; s'il est négatif, elle descend. Si m est nul, la droite est horizontale. C'est l'outil fondamental pour comprendre la variation linéaire entre deux variables.
La lettre p représente l'ordonnée à l'origine. Comme son nom l'indique, c'est la valeur de y lorsque x vaut zéro. Graphiquement, cela correspond au point d'intersection de la droite avec l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Savoir identifier m et p permet de tracer n'importe quelle droite instantanément sans avoir besoin de calculer un tableau de valeurs complexe.
Définition : Le coefficient directeur m d'une droite passant par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) se calcule par le rapport de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses.
À retenir : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont exactement le même coefficient directeur m.
Les points clés
Il ne faut pas confondre l'équation réduite avec l'équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. L'équation réduite est plus pratique pour visualiser la pente, tandis que l'équation cartésienne permet de traiter tous les cas, y compris les droites verticales (dont l'équation est de type x = k). Pour passer de l'une à l'autre, il suffit d'isoler y dans l'expression.
Le parallélisme est une notion géométrique qui se traduit très simplement de manière algébrique. Si tu as deux droites d'équations y = mx + p et y = m'x + p', elles sont parallèles si m = m'. Si en plus p = p', les droites sont confondues. Si les coefficients directeurs sont différents, les droites sont sécantes et n'ont qu'un seul point d'intersection.
Formule : m = (yB - yA) / (xB - xA)
Piège classique : Attention à l'ordre des points dans le calcul de m. Si tu commences par B au numérateur, tu dois impérativement commencer par B au dénominateur.
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Question 1 : Dans l'équation y = 3x - 5, quel est le coefficient directeur ?
Réponse : B. Le coefficient directeur est le nombre multiplicateur de x dans l'équation réduite y = mx + p. Ici, m = 3. Le nombre -5 est l'ordonnée à l'origine. L'option D est fausse car le coefficient est un nombre réel, pas un terme contenant la variable x.
Question 2 : Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation y = -2x + 7 ?
Réponse : C. L'ordonnée à l'origine est la valeur p dans y = mx + p. Elle correspond à l'image de 0 par la fonction affine associée. Ici, p = 7. L'option A correspond au coefficient directeur et non à l'ordonnée à l'origine.
Question 3 : Si une droite a un coefficient directeur nul (m = 0), comment est-elle positionnée ?
Réponse : A. Un coefficient directeur nul signifie que la pente est nulle. La valeur de y reste constante quelle que soit la valeur de x (y = p), ce qui définit une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses.
Question 4 : Les droites d1 : y = 4x + 2 et d2 : y = 4x - 10 sont-elles parallèles ?
Réponse : D. Deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux. Ici, m1 = 4 et m2 = 4. La différence des ordonnées à l'origine (2 et -10) signifie simplement qu'elles ne sont pas confondues.
Question 5 : Calcule le coefficient directeur de la droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 6).
Réponse : B. En appliquant la formule m = (yB - yA) / (xB - xA), on obtient (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2. L'option C est l'erreur inverse (différence des x sur différence des y).
Question 6 : Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation x = 5 ?
Réponse : A. Les droites d'équation x = k sont des droites verticales. Pour ces droites, le dénominateur de la formule du coefficient directeur (xB - xA) est nul, car tous les points ont la même abscisse. La division par zéro étant impossible, le coefficient directeur n'est pas défini.
Question 7 : Si une droite passe par l'origine du repère (0 ; 0), quelle est la valeur de p ?
Réponse : C. L'ordonnée à l'origine p est la valeur de y quand x = 0. Si la droite passe par (0;0), alors quand x=0, y=0. L'équation est de la forme y = mx, ce qui caractérise une fonction linéaire.
Question 8 : Soit la droite d : y = -x + 4. Quel point appartient à cette droite ?
Réponse : D. Pour vérifier si un point appartient à une droite, on remplace x par son abscisse dans l'équation. Pour (2;2) : y = -2 + 4 = 2. L'égalité est vérifiée. Pour les autres, le calcul donne un résultat différent de l'ordonnée proposée.
Question 9 : Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation cartésienne 2x - y + 3 = 0 ?
Réponse : B. En isolant y, on passe le -y de l'autre côté de l'égalité : 2x + 3 = y. C'est l'équation réduite. Faire attention aux signes lors du déplacement des termes.
Question 10 : Deux droites sécantes ont forcément :
Réponse : A. Si les coefficients directeurs sont différents, les droites n'ont pas la même inclinaison et finiront obligatoirement par se croiser en un point unique du plan. L'option D correspond aux droites parallèles strictes.
Question 11 : Si une droite descend de 3 unités quand on avance de 1 unité vers la droite, son coefficient directeur est :
Réponse : C. Le coefficient directeur m correspond au "déplacement vertical / déplacement horizontal". Ici, descendre de 3 signifie une variation de -3 en y pour une variation de +1 en x. Donc m = -3/1 = -3.
Question 12 : Détermine l'équation de la droite parallèle à y = 5x - 2 passant par (0 ; 4).
Réponse : B. Puisqu'elle est parallèle à y = 5x - 2, elle a le même coefficient directeur m = 5. Puisqu'elle passe par (0 ; 4), son ordonnée à l'origine p est 4. L'équation est donc y = 5x + 4.
Question 13 : Que peut-on dire des droites y = 2x + 1 et y = 2x + 1 ?
Réponse : D. Elles ont le même coefficient directeur ET la même ordonnée à l'origine. Ce sont exactement les mêmes droites, on dit qu'elles sont confondues.
Question 14 : La droite d'équation y = -4 est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?
Réponse : A. Une équation de type y = p (ici y = -4) correspond à une droite horizontale. Toutes les droites horizontales sont parallèles entre elles, et donc parallèles à l'axe des abscisses (qui a pour équation y = 0).
Question 15 : Une droite a pour équation y = mx + p. Si m > 0 et p < 0, la droite :
Réponse : C. m > 0 implique la fonction est croissante (la droite monte). p < 0 signifie que l'ordonnée à l'origine est négative, donc le point d'intersection avec l'axe vertical se situe en dessous de zéro.
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