L'essentiel à connaître
Une droite non verticale a une équation de la forme $y = mx + p$, appelée équation réduite : $m$ est son coefficient directeur, qu'on appelle aussi sa pente, et $p$ son ordonnée à l'origine. Pour $y = 3x - 5$, la pente vaut $3$, et l'ordonnée à l'origine $-5$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, $(0\,;\,-5)$. Tu verras aussi l'écriture $y = ax + b$ : mêmes rôles, autres lettres.
La pente dit de combien $y$ varie quand $x$ augmente de $1$. Si $m > 0$, la droite monte de gauche à droite ; si $m \lt 0$, elle descend ; si $m = 0$, elle est horizontale, d'équation $y = p$. Une droite verticale a une équation de la forme $x = k$ : elle n'a pas d'équation réduite, donc pas de pente. Un point appartient à une droite quand ses coordonnées vérifient son équation.
Formule : Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont deux points de la droite, avec $x_A \neq x_B$, alors $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Garde le même ordre des points en haut et en bas.
Toute droite, verticale ou non, a aussi une équation cartésienne $ax + by + c = 0$, avec $a$ ou $b$ non nul. Quand $b \neq 0$, tu retrouves l'équation réduite en isolant $y$. Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ en est un (cours d'Yvan Monka, en sources).
Piège classique : La pente se lit sur l'équation réduite, pas sur l'équation cartésienne. Dans $4x + 2y - 6 = 0$, elle ne vaut pas $4$ : en isolant $y$, on obtient $y = -2x + 3$, donc $m = -2$.
Pour trouver $p$ quand tu connais la pente et un point, remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point dans $y = mx + p$. Pour le point d'intersection de deux droites sécantes, résous $mx + p = m'x + p'$, puis calcule $y$.
À retenir : Deux droites non verticales sont parallèles quand elles ont la même pente, et confondues (c'est la même droite) si elles ont en plus la même ordonnée à l'origine. Si leurs pentes sont différentes, elles sont sécantes : elles se coupent en un seul point.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation $y = -2x + 7$ ?
Réponse : B. Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$ dans l'équation réduite : $m = -2$. Le piège $7$ est l'ordonnée à l'origine, l'autre nombre de l'équation.
Question 2 : En quel point la droite d'équation $y = 4x - 1$ coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?
Réponse : A. Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$, donc $y = 4 \times 0 - 1 = -1$ : c'est le point $(0\,;\,-1)$. Le piège $(-1\,;\,0)$ inverse les deux coordonnées : ce point est sur l'axe des abscisses.
Question 3 : Une droite d'équation $y = mx + p$ descend quand on la parcourt de gauche à droite. Que peux-tu affirmer ?
Réponse : D. Quand $x$ augmente, $y$ diminue : la pente est négative. Le piège $p \lt 0$ parle d'autre chose : le signe de $p$ dit seulement si la droite coupe l'axe des ordonnées au-dessus ou au-dessous de l'origine.
Question 4 : Lequel de ces points appartient à la droite d'équation $y = -x + 4$ ?
Réponse : C. On remplace $x$ par l'abscisse du point et on compare le résultat à son ordonnée : pour $(2\,;\,2)$, $-2 + 4 = 2$, ça marche. Le piège $(2\,;\,6)$ oublie le signe moins devant $x$ : $2 + 4 = 6$, alors que $-2 + 4 = 2$.
Question 5 : Quelle est l'équation de la droite horizontale qui passe par $A(2\,;\,-3)$ ?
Réponse : A. Sur une droite horizontale, tous les points ont la même ordonnée, ici $-3$ : l'équation est $y = -3$, et la pente est nulle. Le piège $x = 2$ est la droite verticale qui passe par $A$.
Question 6 : Sur une droite $d$, quand l'abscisse augmente de $2$, l'ordonnée diminue de $6$. Quelle est la pente de $d$ ?
Réponse : C. La pente est la variation de $y$ divisée par celle de $x$ : $\frac{-6}{2} = -3$. Le piège $-\frac{1}{3}$ divise dans le mauvais sens, la variation de $x$ par celle de $y$.
Question 7 : Quelle est la pente de la droite qui passe par $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$ ?
Réponse : B. On applique la formule : $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$. Le piège $\frac{1}{3}$ met la différence des abscisses en haut : c'est l'inverse de la pente.
Question 8 : Laquelle de ces droites est parallèle à la droite d'équation $y = 2x - 5$ ?
Réponse : D. Deux droites non verticales sont parallèles quand elles ont la même pente : $y = 2x + 3$ a la pente $2$, comme $y = 2x - 5$. Le piège $y = 3x - 5$ a la même ordonnée à l'origine, mais une autre pente : les deux droites se coupent en $(0\,;\,-5)$.
Question 9 : Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation $6x + 3y - 9 = 0$ ?
Réponse : A. On isole $y$ : $3y = -6x + 9$, puis on divise chaque terme par $3$, ce qui donne $y = -2x + 3$. Le piège $y = -2x + 9$ oublie de diviser aussi le $9$ par $3$.
Question 10 : Quelle est l'équation réduite de la droite de pente $4$ qui passe par $A(2\,;\,3)$ ?
Réponse : C. L'équation s'écrit $y = 4x + p$, et les coordonnées de $A$ la vérifient : $3 = 4 \times 2 + p$, donc $p = 3 - 8 = -5$. Le piège $y = 4x + 3$ prend l'ordonnée de $A$ pour $p$, alors que $A$ n'est pas sur l'axe des ordonnées.
Question 11 : Lequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de la droite d'équation $2x - 5y + 1 = 0$ ?
Réponse : D. Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur $(-b\,;\,a)$ est directeur. Ici $a = 2$ et $b = -5$, donc $-b = 5$ et $\vec{u}(5\,;\,2)$ convient. Le piège $(-5\,;\,2)$ oublie de prendre l'opposé de $b$.
Question 12 : En quel point se coupent les droites d'équations $y = 2x + 1$ et $y = -x + 7$ ?
Réponse : B. On résout $2x + 1 = -x + 7$, d'où $3x = 6$ et $x = 2$, puis $y = 2 \times 2 + 1 = 5$. L'autre équation donne bien $-2 + 7 = 5$. Le piège $(6\,;\,13)$ vient d'une erreur de signe : $2x - x = 6$ au lieu de $2x + x = 6$.
Question 13 : Quelle est la pente de la droite qui passe par $A(-1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-4)$ ?
Réponse : A. Avec la formule, $m = \dfrac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. Le piège $2$ vient d'un mélange : $y_B - y_A$ en haut, mais $x_A - x_B$ en bas. Prends les points dans le même ordre aux deux étages.
Question 14 : Laquelle de ces droites n'a pas de coefficient directeur ?
Réponse : D. La droite $x = 5$ est verticale : ses points ont tous la même abscisse, et la formule de la pente diviserait par $0$. Le piège $y = 5$ est horizontale : elle a bien un coefficient directeur, qui vaut $0$.
Question 15 : Que peux-tu dire des droites $d_1$ d'équation $y = 2x + 1$ et $d_2$ d'équation $4x - 2y + 2 = 0$ ?
Réponse : C. On isole $y$ dans l'équation de $d_2$ : $-2y = -4x - 2$, donc $y = 2x + 1$. C'est l'équation de $d_1$ : même pente, même ordonnée à l'origine, les droites sont confondues. Le piège A lit la pente sur l'équation cartésienne, où le $4$ devant $x$ n'est pas la pente.
Sources
Yvan Monka, « Droites du plan », cours de seconde, académie de Strasbourg, sur maths-et-tiques.fr : vecteur directeur, équations cartésienne et réduite, pente, position de deux droites.