L'essentiel à connaître
Une matrice symétrique réelle $A$ est positive si $x^\top A x \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, et définie positive si $x^\top A x > 0$ pour tout $x \neq 0$. Pour trancher, calcule son spectre, c'est-à-dire ses valeurs propres : toutes $\ge 0$ pour une matrice positive, toutes $> 0$ pour une définie positive. Exemple : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1$ et $3$, elle est définie positive.
Leurs ensembles se notent $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, comme dans le programme de MP et MPI (2021). On dit aussi « semi-définie positive » pour « positive », sans lien avec des coefficients positifs.
La matrice $A$ d'une forme quadratique $q(x) = x^\top A x$ porte les coefficients des carrés sur sa diagonale, et la moitié de celui de chaque terme croisé $x_ix_j$ en positions $(i,j)$ et $(j,i)$. Comme $\det A$ est le produit des valeurs propres et $\operatorname{tr} A$ leur somme, une matrice positive est définie positive si et seulement si $\det A \neq 0$. En taille $2$, $A$ est définie positive si et seulement si $\operatorname{tr} A > 0$ et $\det A > 0$.
Propriété : Si $A$ est positive, $a_{ii} = e_i^\top A e_i \ge 0$, où $e_i$ est le $i$-ième vecteur de la base canonique ; si elle est définie positive, $a_{ii} > 0$. L'inverse d'une matrice définie positive est définie positive (valeurs propres $1/\lambda$), tout comme la somme d'une positive et d'une définie positive. Pour $M \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$, $M^\top M$ est positive car $x^\top M^\top M x = \|Mx\|^2$, et elle est définie positive si et seulement si $\operatorname{rg} M = n$.
Règle : critère de Sylvester. Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si ses mineurs principaux dominants sont tous $> 0$. Le $k$-ième, $\Delta_k$, est le déterminant du bloc formé des $k$ premières lignes et colonnes.
Piège classique : avec $\ge$ à la place de $>$, ce critère ne caractérise pas les matrices positives : il faut alors tous les mineurs principaux (déterminants des blocs pris sur les mêmes lignes et colonnes, choisies librement), pas seulement les dominants. Et tout ceci suppose $A$ symétrique : une matrice non symétrique peut avoir des valeurs propres $> 0$ sans que $x^\top A x$ soit toujours $\ge 0$.
En analyse, la hessienne $H_f(a)$ d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^2$, matrice de ses dérivées partielles secondes, est symétrique. En un point critique $a$, $H_f(a) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ donne un minimum local strict. Un minimum local impose seulement $H_f(a) \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$, et une hessienne positive non définie ne permet pas de conclure.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Une matrice symétrique réelle $A$ d'ordre $n$ est positive si :
Réponse : A. C'est la définition. Le piège B confond avec une matrice à coefficients positifs : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ en est une, mais $x = (1, -1)$ donne $x^\top A x = -2$.
Question 2 : Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si :
Réponse : C. C'est la caractérisation spectrale. Le piège A ne donne qu'une matrice positive : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1$ et $0$, et $x = (0, 1)$ donne $x^\top A x = 0$.
Question 3 : Quelle est la matrice symétrique $A$ telle que $x^\top A x = 3x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2$ ?
Réponse : B. Le coefficient $4$ du terme croisé se partage en deux : $2$ en position $(1,2)$, $2$ en position $(2,1)$. Le piège A le compte deux fois, ce qui donne $3x_1^2 + 8x_1x_2 + 3x_2^2$. C est la hessienne de $x \mapsto x^\top A x$, égale à $2A$, et D n'est pas symétrique.
Question 4 : Quelles sont les valeurs propres de $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, et que conclure ?
Réponse : D. $\det(A - \lambda I_2) = (3 - \lambda)^2 - 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 5)$, donc $1$ et $5$, tous deux $> 0$. Le piège A lit les valeurs propres sur la diagonale, ce qui ne vaut que pour une matrice triangulaire.
Question 5 : Sans calculer son spectre, la matrice symétrique $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ est-elle positive ?
Réponse : B. Une matrice positive vérifie $a_{ii} = e_i^\top A e_i \ge 0$ pour tout $i$, donc $a_{22} = -1$ suffit à conclure. Le piège A prend une condition nécessaire pour suffisante : la trace d'une matrice positive est $\ge 0$, mais la réciproque est fausse.
Question 6 : Soit $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Que peut-on dire de $A^{-1}$ ?
Réponse : A. $(A^{-1})^\top = (A^\top)^{-1} = A^{-1}$, et les valeurs propres de $A^{-1}$ sont les $1/\lambda$, toutes $> 0$. Le piège C oublie que l'inverse d'une matrice symétrique reste symétrique.
Question 7 : Pour quelles valeurs du réel $a$ la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{pmatrix}$ est-elle définie positive ?
Réponse : C. En taille $2$, il faut $\operatorname{tr} A > 0$ et $\det A > 0$. La trace vaut $5$, et $\det A = 4 - a^2 > 0$ donne $-2 < a < 2$. Le piège A garde les bornes : pour $a = 2$, $\det A = 0$, la matrice est positive mais pas définie.
Question 8 : Les mineurs principaux dominants $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ de $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ valent :
Réponse : D. $\Delta_2 = 2 \times 2 - (-1)^2 = 3$ et, en développant selon la première ligne, $\Delta_3 = 2 \times 3 - (-1) \times (-2) = 4$. Tous sont $> 0$ : $A$ est définie positive. Le piège B oublie le signe $-$ du cofacteur en position $(1,2)$.
Question 9 : Soit $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Quelle condition équivaut à « $A$ est définie positive » ?
Réponse : A. Les valeurs propres de $A$ sont $\ge 0$ et $\det A$ est leur produit : il est non nul exactement quand elles sont toutes $> 0$. Le piège C tombe sur $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, positive de valeurs propres $0$ et $2$, dont la diagonale est pourtant $> 0$.
Question 10 : Soit $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Que dire de $A + B$ ?
Réponse : B. Pour $x \neq 0$, $x^\top (A + B) x = x^\top A x + x^\top B x$ ajoute un nombre $\ge 0$ à un nombre $> 0$. Le piège A croit que la matrice seulement positive tire la somme vers le bas : un seul terme strictement positif suffit.
Question 11 : La matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n'est pas symétrique. A-t-on $x^\top B x \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2$ ?
Réponse : D. $x^\top B x = x_1^2 - 4x_1x_2 + x_2^2$, qui vaut $-2$ en $(1, 1)$. Tous ces critères supposent une matrice symétrique. Le piège A les applique à $B$, alors que $x^\top B x = x^\top S x$ avec $S = \frac{1}{2}(B + B^\top) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $-1$ et $3$.
Question 12 : Soit $M \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ de rang $2$. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
Réponse : C. $x^\top M^\top M x = \|Mx\|^2$ ne s'annule qu'en $x = 0$ car $\operatorname{rg} M = 2$, le nombre de colonnes de $M$ : $M^\top M$ est définie positive. $MM^\top = (M^\top)^\top M^\top$ est positive aussi, mais $M^\top$ a $3$ colonnes pour un rang $2$ : elle n'est pas définie. Le piège A oublie de recompter les colonnes.
Question 13 : Les mineurs principaux dominants de $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ valent $\Delta_1 = 0$ et $\Delta_2 = 0$, tous deux $\ge 0$. Que conclure ?
Réponse : A. Avec des inégalités larges, le critère de Sylvester ne vaut plus : il faudrait aussi le mineur principal formé de la ligne $2$ et de la colonne $2$, qui vaut $-1$. Le piège B l'applique quand même.
Question 14 : La fonction $f(x, y) = x^2 - y^4$ a un point critique en $(0, 0)$, où $H_f(0, 0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est positive non définie. Que dire de $(0, 0)$ ?
Réponse : B. $f(0, 0) = 0$, alors que $f(x, 0) = x^2 > 0$ et $f(0, y) = -y^4 < 0$ pour $x$ et $y$ non nuls : $f$ prend les deux signes tout près de $(0, 0)$. Le piège A inverse le théorème : un minimum local impose une hessienne positive, pas l'inverse. Avec $x^2 + y^4$, de même hessienne, c'est un minimum : la hessienne seule ne tranche pas.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MP et MPI (2021), parties « Endomorphismes d'un espace euclidien » et « Calcul différentiel et optimisation ».