L'essentiel à connaître
Pour passer de la forme algébrique $z = a + ib$ aux deux autres, calcule le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis cherche un angle $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$. Tu obtiens la forme trigonométrique $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et la forme exponentielle $z = re^{i\theta}$. Exemple : pour $z = -2 + 2i\sqrt{3}$, on trouve $r = \sqrt{4 + 12} = 4$, $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$ et $z = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 4e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Dans l'autre sens, tu développes : $re^{i\theta} = r\cos\theta + ir\sin\theta$. Pour rappel, $a$ est la partie réelle et le réel $b$ la partie imaginaire, avec $i^2 = -1$ ; le module est la distance de l'origine au point qui représente $z$, et un argument est l'angle entre l'axe des réels et ce point, défini à $2\pi$ près.
Pour trouver l'angle, garde en tête $\cos\frac{\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Repère l'angle remarquable $\alpha$ qui a les mêmes valeurs au signe près. L'angle cherché vaut $\alpha$ si le cosinus est positif, $\pi - \alpha$ s'il est négatif, et tu changes son signe si le sinus est négatif. Ne te fie jamais à la seule tangente, $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ : deux angles qui diffèrent de $\pi$ ont la même.
Ensuite, choisis la forme qui raccourcit le calcul : c'est, avec le passage d'une forme à l'autre, ce qu'attend le programme de mathématiques expertes de terminale générale. Une somme se fait en forme algébrique : parties réelles ensemble, parties imaginaires ensemble. Un produit, un quotient ou une puissance vont bien plus vite en forme exponentielle. Si tu fais un quotient en algébrique, multiplie le haut et le bas par le conjugué du dénominateur (le conjugué de $a + ib$ est $a - ib$), car $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$ est un réel.
À retenir : pour $r > 0$ et $r' > 0$, $re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta + \theta')}$, $\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')}$ et, pour tout entier $n$, $\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$ (formule de Moivre).
Piège classique : $re^{i\theta}$ n'est une forme exponentielle que si $r > 0$, et $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ n'est une forme trigonométrique qu'avec un plus entre les deux termes. Pour remettre une écriture d'aplomb, sers-toi de $-1 = e^{i\pi}$, de $\cos(-\theta) = \cos\theta$ et de $\sin(-\theta) = -\sin\theta$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Pour $z = 4 - 7i$, quelle est la partie imaginaire de $z$ ?
Réponse : C. La forme algébrique s'écrit $a + ib$ : la partie imaginaire est le réel $b$, ici $-7$. La proposition B confond la partie imaginaire avec le terme $-7i$ tout entier : la partie imaginaire ne contient jamais $i$.
Question 2 : Quelle est la forme algébrique de $(2 + i)(3 - 2i)$ ?
Réponse : A. On développe comme en algèbre : $6 - 4i + 3i - 2i^2$. Comme $i^2 = -1$, le terme $-2i^2$ vaut $+2$, d'où $8 - i$. La proposition B oublie ce changement de signe et compte $-2i^2$ comme $-2$.
Question 3 : Quelle est la forme algébrique de $z = 6\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ ?
Réponse : D. Comme $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, on a $z = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \times \frac{1}{2}\,i = 3\sqrt{3} + 3i$. La proposition A échange le cosinus et le sinus : c'est toujours le cosinus qui donne la partie réelle.
Question 4 : Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 - i\sqrt{3}$ ?
Réponse : B. On a $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$, puis $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = -\frac{\pi}{3}$. La proposition A a le bon cosinus mais ignore le signe du sinus : le point est sous l'axe des réels, son argument est négatif.
Question 5 : Quelle est la forme exponentielle de $3e^{i\frac{\pi}{4}} \times 2e^{-i\frac{\pi}{12}}$ ?
Réponse : A. On multiplie les modules, $3 \times 2 = 6$, et on additionne les arguments : $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$. La proposition C perd le signe moins de $-\frac{\pi}{12}$, et la D applique la règle du quotient.
Question 6 : Quelle est la forme algébrique de $\frac{5}{2 - i}$ ?
Réponse : D. On multiplie le haut et le bas par $2 + i$, le conjugué du dénominateur : $(2 - i)(2 + i) = 4 - i^2 = 5$, donc $\frac{5(2 + i)}{5} = 2 + i$. La proposition A calcule $4 - 1 = 3$ au dénominateur, alors qu'avec $i^2 = -1$ on obtient $4 + 1$.
Question 7 : Que vaut $(\sqrt{3} + i)^3$ ?
Réponse : C. En forme exponentielle, $\sqrt{3} + i = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$, donc $(\sqrt{3} + i)^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8i$. La proposition A élève chaque terme au cube séparément, or $(a + b)^3$ n'est pas $a^3 + b^3$.
Question 8 : On pose $z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2 = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$. Que vaut $z_1 + z_2$ ?
Réponse : B. Une somme ne se calcule pas en forme exponentielle : on repasse en algébrique. Ici, $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i\sqrt{3}$, donc $z_1 + z_2 = 2$. La proposition A additionne modules et arguments, une règle qui n'existe pas ; la D prend $z_2$ pour l'opposé de $z_1$, alors que c'est son conjugué.
Question 9 : Quelle est la forme algébrique de $\frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i}$ ?
Réponse : A. En forme exponentielle, $1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $\sqrt{3} + i = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$. On divise les modules et on soustrait les arguments : $e^{i\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$. La proposition C divise partie réelle par partie réelle et partie imaginaire par partie imaginaire : un quotient ne se calcule pas ainsi.
Question 10 : Quelle est la forme exponentielle de $z = -3e^{i\frac{\pi}{4}}$ ?
Réponse : D. Dans une forme exponentielle, le nombre placé devant $e^{i\theta}$ est le module, donc il est positif : $-3$ ne convient pas. Comme $-1 = e^{i\pi}$, on écrit $-3e^{i\frac{\pi}{4}} = 3e^{i\pi}e^{i\frac{\pi}{4}} = 3e^{i\frac{5\pi}{4}}$, ou $3e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ puisque l'argument est défini à $2\pi$ près. La proposition B fait passer le signe moins dans l'argument : elle donne le conjugué de $3e^{i\frac{\pi}{4}}$, pas son opposé.
Question 11 : On donne $z = 2\left(\cos\frac{\pi}{5} - i\sin\frac{\pi}{5}\right)$. Quel est un argument de $z$ ?
Réponse : B. L'écriture donnée n'est pas une forme trigonométrique, qui demande un plus entre le cosinus et le sinus. Comme $\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right) = \cos\frac{\pi}{5}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{5}\right) = -\sin\frac{\pi}{5}$, on a $z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{5}\right)\right) = 2e^{-i\frac{\pi}{5}}$. La proposition A lit l'angle écrit sans voir le signe moins devant le sinus.
Question 12 : Quelle est la forme exponentielle de $z = -2\sqrt{3} - 2i$ ?
Réponse : C. On a $r = \sqrt{12 + 4} = 4$, puis $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ : le point est en bas à gauche, et $\theta = -\frac{5\pi}{6}$. La proposition A vient de la seule tangente, $\tan\theta = \frac{-2}{-2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, qui mène à $\frac{\pi}{6}$ : or $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{5\pi}{6}$ diffèrent de $\pi$ et ont la même tangente, seuls le cosinus et le sinus tranchent.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, programme d'enseignement optionnel de mathématiques expertes de terminale générale, annexe publiée au Bulletin officiel, partie « Nombres complexes et trigonométrie ».