L'essentiel à connaître
Les nombres complexes étendent l'ensemble des réels en introduisant le nombre imaginaire $i$, tel que $i^2 = -1$. Un nombre complexe $z$ peut s'écrire sous forme algébrique : $z = a + bi$, où $a$ est la partie réelle et $b$ la partie imaginaire. Cette écriture est idéale pour l'addition et la soustraction.
Pour la multiplication et les puissances, on utilise les formes trigonométrique et exponentielle. Elles reposent sur deux valeurs : le module $r$ (la distance à l'origine) et l'argument $\theta$ (l'angle avec l'axe des réels). La forme exponentielle $z = r e^{i\theta}$ est particulièrement puissante pour simplifier les calculs de produits et de quotients.
Définition : Le module d'un complexe $z = a + bi$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
À retenir : Le conjugué de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$. Le produit $z \bar{z}$ est toujours égal au carré du module $|z|^2$.
Les points clés
Passer d'une forme à l'autre est une compétence fondamentale. Pour passer de l'algébrique au trigonométrique, on calcule d'abord le module, puis on détermine l'angle $\theta$ en résolvant $\cos(\theta) = a/r$ et $\sin(\theta) = b/r$. Il faut être vigilant avec le quadrant dans lequel se situe le point pour ne pas se tromper d'angle.
Les complexes ont une interprétation géométrique : chaque nombre $z$ correspond à un point (ou un vecteur) dans le plan complexe. L'addition de complexes correspond à la somme de vecteurs, et la multiplication par un complexe de module 1 correspond à une rotation. Cette dualité entre algèbre et géométrie est la clé pour réussir les exercices de géométrie avec les complexes.
Formule de Moivre : $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$, ou plus simplement $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
Piège classique : Attention à ne pas oublier que l'argument d'un nombre réel négatif est $\pi$ (ou 180°), et non 0.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Quelle est la valeur de $i^3$ ?
Réponse : B. $i^3 = i^2 \times i$. Comme $i^2 = -1$, on obtient $-1 \times i = -i$.
Question 2 : Quel est le module du nombre complexe $z = 3 + 4i$ ?
Réponse : A. On utilise la formule $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Question 3 : Quelle est la forme exponentielle du nombre $z = i$ ?
Réponse : C. Le point représentant $i$ est sur l'axe imaginaire positif, ce qui correspond à un angle de 90° ou $\pi/2$ radians. Son module est 1.
Question 4 : Si $z = 1 + i$, quel est son argument principal ?
Réponse : D. Pour $z = 1 + i$, on a $\cos \theta = 1/\sqrt{2}$ et $\sin \theta = 1/\sqrt{2}$. L'angle dont le cosinus et le sinus valent $\sqrt{2}/2$ est $\pi/4$.
Question 5 : Que vaut le produit $(2e^{i\pi/6}) \times (3e^{i\pi/3})$ ?
Réponse : B. On multiplie les modules ($2 \times 3 = 6$) et on additionne les arguments ($\pi/6 + \pi/3 = \pi/6 + 2\pi/6 = 3\pi/6 = \pi/2$).
Question 6 : Le conjugué de $z = 2 - 5i$ est :
Réponse : A. Pour obtenir le conjugué, on change simplement le signe de la partie imaginaire.
Question 7 : Quelle est la partie réelle de $e^{i\pi}$ ?
Réponse : C. Selon l'identité d'Euler, $e^{i\pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + 0i$. La partie réelle est donc -1.
Question 8 : Pour rendre réel le dénominateur de $1 / (1+i)$, par quoi doit-on multiplier numérateur et dénominateur ?
Réponse : D. On multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur pour transformer $(1+i)(1-i)$ en un nombre réel ($1^2 + 1^2 = 2$).
Question 9 : L'image du point d'affixe $z$ par la rotation de centre O et d'angle $\pi/2$ a pour affixe :
Réponse : B. Multiplier par $i$ (qui est $e^{i\pi/2}$) revient géométriquement à effectuer une rotation de 90° dans le sens direct.
Question 10 : Si $|z| = 1$, alors $1/z$ est égal à :
Réponse : C. Comme $z\bar{z} = |z|^2 = 1$, on a $\bar{z} = 1/z$. Cette propriété est très utile pour les points sur le cercle unité.
Question 11 : Quel est l'argument de $z = -5$ ?
Réponse : A. Un nombre réel négatif se situe sur la demi-droite des abscisses négatives, ce qui correspond à un angle de 180° ou $\pi$ radians.
Question 12 : Quelle est la forme algébrique de $2e^{i\pi/3}$ ?
Réponse : D. $2(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) = 2(1/2 + i\sqrt{3}/2) = 1 + i\sqrt{3}$.
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