L'essentiel à connaître
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F telle que, pour tout x de I, F'(x) = f(x). Si une fonction admet une primitive, elle en admet une infinité, toutes différant d'une constante réelle. L'ensemble des primitives est donc noté F(x) + C. La recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation, ce qui nécessite une excellente connaissance du tableau des dérivées usuelles.
Le calcul intégral permet de mesurer "l'accumulation" d'une fonction. Pour une fonction continue f sur [a ; b], l'intégrale de a à b de f(x) dx est égale à F(b) - F(a), où F est n'importe quelle primitive de f. Géométriquement, si f est positive sur [a ; b], cette valeur correspond à l'aire de la surface délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. L'unité d'aire (u.a.) dépend du repère choisi.
Définition : L'intégrale de f sur [a ; b] est le nombre réel noté ∫[a;b] f(t) dt = F(b) - F(a).
À retenir : La linéarité de l'intégrale permet de dire que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et que l'on peut sortir les constantes multiplicatives de l'intégrale.
Les points clés
Il existe plusieurs propriétés fondamentales à maîtriser. La relation de Chasles permet de découper une intégrale : ∫[a;b] f + ∫[b;c] f = ∫[a;c] f. C'est très utile pour les fonctions définies par morceaux ou pour calculer des aires entre deux courbes. Attention : si la fonction f change de signe sur l'intervalle, l'intégrale ne donne pas directement l'aire. Il faut alors découper l'intervalle là où la fonction s'annule et prendre la valeur absolue des parties négatives.
Les primitives des fonctions composées sont les plus piégeuses. Il faut savoir reconnaître les formes u' u^n, u' / u, u' e^u ou u' / √u. Par exemple, une primitive de u' * e^u est e^u, et une primitive de u' / u est ln(|u|). Une erreur courante est d'oublier le facteur multiplicatif nécessaire pour "ajuster" la dérivée u'.
Formule : Aire entre deux courbes f et g (f > g) = ∫[a;b] (f(x) - g(x)) dx.
Piège classique : Ne confonds pas "calculer une intégrale" (qui peut être un nombre négatif) et "calculer une aire" (qui est obligatoirement positive).
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Si F est une primitive de f sur I, que vaut F'(x) ?
Réponse : B. Par définition, une fonction F est une primitive de f si sa dérivée est égale à f. L'option C est une erreur fréquente où l'on dérive deux fois.
Question 2 : Quelle est la primitive de f(x) = x² qui s'annule en 0 ?
Réponse : C. La primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1). Pour n=2, on obtient x³/3. En x=0, cette fonction vaut bien 0.
Question 3 : Que vaut ∫[1;2] 3x² dx ?
Réponse : A. La primitive de 3x² est x³. Le calcul est [x³] entre 1 et 2, soit 2³ - 1³ = 8 - 1 = 7.
Question 4 : Quelle est une primitive de f(x) = e^(2x) ?
Réponse : D. C'est la forme e^(ax+b). La primitive est (1/a)e^(ax+b). Ici a=2, donc on obtient 1/2 * e^(2x), soit 0,5e^(2x).
Question 5 : La relation de Chasles pour les intégrales dit que ∫[a;c] f(x) dx est égale à :
Réponse : B. Comme pour les vecteurs, on peut insérer un point intermédiaire b. Cela permet de sommer les aires ou de décomposer un intervalle complexe.
Question 6 : Quelle est l'aire sous la courbe de f(x) = 1/x entre x=1 et x=e ?
Réponse : C. La primitive de 1/x est ln(x). L'intégrale est [ln(x)] entre 1 et e, soit ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1 unité d'aire.
Question 7 : Si f est une fonction impaire, que vaut ∫[-a;a] f(x) dx ?
Réponse : A. Pour une fonction impaire (symétrie par rapport à l'origine), l'aire "positive" à droite de l'axe des ordonnées compense exactement l'aire "négative" à gauche.
Question 8 : Quelle est une primitive de f(x) = sin(x) ?
Réponse : D. La dérivée de cos(x) est -sin(x). Donc pour obtenir sin(x), il faut dériver -cos(x). L'option A est la dérivée, pas la primitive.
Question 9 : Comment calcule-t-on la valeur moyenne d'une fonction f sur [a;b] ?
Réponse : B. La valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la surface sous la courbe sur l'intervalle donné.
Question 10 : Une primitive de u'(x) * (u(x))^n est :
Réponse : A. C'est la généralisation de la primitive de x^n aux fonctions composées. Elle est valable pour tout n différent de -1.
Question 11 : Si f(x) ≤ g(x) sur [a;b], que peut-on dire de leurs intégrales ?
Réponse : C. C'est la propriété de croissance de l'intégrale : l'intégration conserve l'ordre des fonctions.
Question 12 : Quelle est l'intégrale de f(x) = 5 sur l'intervalle [2;6] ?
Réponse : B. Une primitive est 5x. Le calcul est 5*6 - 5*2 = 30 - 10 = 20. Géométriquement, c'est l'aire d'un rectangle de largeur 4 (6-2) et de hauteur 5.
Question 13 : Pour calculer une aire entre deux courbes qui se croisent, il faut :
Réponse : D. On doit s'assurer de toujours intégrer (Fonction du dessus - Fonction du dessous) pour avoir une aire positive sur chaque segment.
Question 14 : Quelle est une primitive de f(x) = x * e^(x²) ?
Réponse : A. On reconnaît la forme u'e^u avec u=x². La dérivée u' est 2x. Comme on a seulement x, on multiplie par 1/2. La primitive est donc (1/2)e^(x²).
Question 15 : Si l'unité d'aire est de 4 cm² et que l'intégrale vaut 3, quelle est l'aire en cm² ?
Réponse : C. L'aire réelle est le produit de la valeur de l'intégrale par la valeur d'une unité d'aire : 3 * 4 = 12 cm².
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