L'essentiel à connaître
Pour compter, pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il, et un même élément peut-il revenir ? Une main de $2$ cartes tirée d'un jeu de $32$ n'a ni ordre ni répétition : c'est une partie à $2$ éléments, et il y en a $\binom{32}{2} = 496$. Pour Bayes, tu retournes un conditionnement : $P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$, avec $P(B) > 0$.
| On choisit $p$ éléments parmi $n$ | Nombre de façons |
|---|---|
| Ordre compté, répétition permise ($p$-listes) | $n^p$ |
| Ordre compté, éléments distincts | $\frac{n!}{(n-p)!}$, et $n!$ permutations si $p = n$ |
| Ni ordre ni répétition (parties à $p$ éléments) | $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}$ |
Le programme de MPSI et MP2I parle de $p$-listes (ou $p$-uplets) d'éléments distincts (on dit aussi arrangements) et de parties à $p$ éléments (ou $p$-combinaisons). Pour les anagrammes d'un mot de $n$ lettres (mots formés des mêmes lettres, avec ou sans sens), divise $n!$ par $k!$ pour chaque lettre présente $k$ fois : LOTO en a $\frac{4!}{2!} = 12$. Pour « au moins un », passe par le contraire, « aucun ».
Quand les issues de l'univers $\Omega$ (l'ensemble des résultats possibles) sont équiprobables (toutes de même probabilité), $P(A) = \frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$ : compte le numérateur et le dénominateur de la même façon, ordonnée ou non. La probabilité de $A$ sachant $B$, notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$, vaut $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ si $P(B) > 0$ ; d'où $P(A \cap B) = P(B)\,P(A|B)$, la formule des probabilités composées. $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$, alors qu'incompatibles veut dire $A \cap B = \varnothing$.
Règle : si $A_1, \dots, A_n$ forment un système complet d'événements (deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$) de probabilités non nulles, alors pour tout événement $B$, $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)\,P(A_i)$ : c'est la formule des probabilités totales. Si de plus $P(B) > 0$, la formule de Bayes donne $P(A_k|B) = \frac{P(B|A_k)\,P(A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)\,P(A_i)}$.
Piège classique : $P(A|B)$ et $P(B|A)$ sont deux nombres différents. Un test positif chez $99\,\%$ des malades ne signifie pas qu'une personne testée positive est malade avec une probabilité de $0{,}99$ : si la maladie est rare, les faux positifs pèsent lourd au dénominateur.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Un cadenas s'ouvre avec un code de $4$ chiffres, chacun de $0$ à $9$, et un chiffre peut revenir. Combien de codes différents existe-t-il ?
Réponse : C. L'ordre compte ($1234$ et $4321$ sont deux codes différents) et les répétitions sont permises : un code est une $4$-liste d'éléments pris parmi $10$, d'où $10^4 = 10\,000$ codes. Le piège $5\,040$ ne compte que les codes aux chiffres tous distincts, alors que $0000$ est permis.
Question 2 : De combien de façons peut-on ranger $6$ livres différents côte à côte sur une étagère ?
Réponse : A. Un rangement est une permutation des $6$ livres : $6$ choix pour la première place, $5$ pour la deuxième, et ainsi de suite, d'où $6! = 720$. Le piège $6^6$ autorise le même livre à plusieurs places, ce qui est impossible ici.
Question 3 : Dans une promotion de $20$ étudiants, on désigne $3$ délégués, sans rôle particulier. Combien de groupes de délégués sont possibles ?
Réponse : D. Un groupe sans rôle est une partie à $3$ éléments : $\binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3!} = 1\,140$. Le piège $2\,280$ divise par $3$ au lieu de $3! = 6$ : chaque groupe apparaît $6$ fois parmi les listes ordonnées, pas $3$.
Question 4 : Dans la même promotion, on élit un président, un trésorier et un secrétaire, trois étudiants distincts. Combien de bureaux sont possibles ?
Réponse : B. Les rôles rendent l'ordre important et personne ne cumule deux postes : c'est une $3$-liste d'éléments distincts, soit $\frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6\,840$. Le piège $1\,140$ oublie les rôles : chaque groupe de trois peut se répartir les postes de $3! = 6$ façons.
Question 5 : Combien le mot RADAR a-t-il d'anagrammes ?
Réponse : A. RADAR a $5$ lettres, dont deux R et deux A. Échanger deux lettres identiques ne crée pas de mot nouveau, donc on divise $5!$ par $2!$ pour les R et par $2!$ pour les A : $\frac{120}{4} = 30$. Le piège $60$ ne tient compte que d'une des deux lettres répétées.
Question 6 : Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire simultanément $2$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir $2$ boules rouges ?
Réponse : B. Un tirage simultané est une partie à $2$ éléments parmi $8$, toutes équiprobables : $P = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$. Le piège $\frac{5}{28}$ compte des parties au numérateur ($10$) mais des couples ordonnés au dénominateur ($8 \times 7 = 56$) : les deux doivent se compter de la même façon.
Question 7 : Même urne, mais on tire $2$ boules l'une après l'autre, sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir une rouge puis une bleue ?
Réponse : D. Avec $R_1$ « la première est rouge » et $B_2$ « la deuxième est bleue », les probabilités composées donnent $P(R_1 \cap B_2) = P(R_1)\,P(B_2|R_1) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$ : après une rouge, il reste $3$ bleues sur $7$ boules. Le piège $\frac{15}{28}$ compte aussi l'ordre bleue puis rouge, alors que l'énoncé impose la rouge d'abord.
Question 8 : On lance un dé équilibré à six faces. Sur $1$ ou $2$, on tire une boule dans l'urne $U_1$ ($3$ rouges, $1$ bleue) ; sinon, dans l'urne $U_2$ ($1$ rouge, $3$ bleues). Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Réponse : A. Les événements « on tire dans $U_1$ » et « on tire dans $U_2$ » forment un système complet, de probabilités $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$. Les probabilités totales donnent $P(R) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$. Le piège $\frac{1}{2}$ fait la moyenne des deux urnes, comme si chacune avait une chance sur deux d'être choisie.
Question 9 : Même expérience : la boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne $U_1$ ?
Réponse : C. La formule de Bayes donne $P(U_1|R) = \frac{P(R|U_1)\,P(U_1)}{P(R)} = \frac{1/4}{5/12} = \frac{3}{5}$. Le piège $\frac{3}{4}$ est $P(R|U_1)$, la probabilité de tirer rouge dans $U_1$, et non celle d'avoir tiré dans $U_1$ sachant que la boule est rouge.
Question 10 : On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un $6$ ?
Réponse : D. Le contraire est « aucun $6$ », de probabilité $\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1\,296}$ par indépendance, d'où $1 - \frac{625}{1\,296} = \frac{671}{1\,296} \approx 0{,}52$. Le piège $4 \times \frac{1}{6}$ additionne les probabilités d'événements qui ne sont pas incompatibles : avec $7$ lancers, il donnerait plus que $1$.
Question 11 : Données fictives. Une maladie touche $1$ personne sur $1\,000$. Un test est positif chez $99\,\%$ des malades et chez $2\,\%$ des personnes saines. Une personne prise au hasard est testée positive. La probabilité qu'elle soit malade vaut environ :
Réponse : C. Avec $M$ « malade » et $T$ « test positif », Bayes donne $P(M|T) = \frac{0{,}99 \times 0{,}001}{0{,}99 \times 0{,}001 + 0{,}02 \times 0{,}999} = \frac{0{,}00099}{0{,}02097} \approx 0{,}047$. Les faux positifs viennent d'une population saine $999$ fois plus nombreuse et écrasent les vrais positifs. Le piège $0{,}99$ confond $P(M|T)$ avec $P(T|M)$.
Question 12 : $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$. Que peut-on dire ?
Réponse : B. Incompatibles veut dire $A \cap B = \varnothing$, donc $P(A \cap B) = 0$. Or $P(A)\,P(B) = 0{,}15 \neq 0$ : ils ne sont pas indépendants. Le piège C confond les deux mots ; savoir que $A$ est réalisé t'apprend que $B$ ne l'est pas, donc $P(B|A) = 0 \neq P(B)$.
Question 13 : Un jeu de $32$ cartes contient $4$ as. On tire une main de $5$ cartes, sans ordre. Combien de mains contiennent au moins un as ?
Réponse : A. Le contraire de « au moins un as » est « aucun as » : $5$ cartes parmi les $28$ qui ne sont pas des as, d'où $\binom{32}{5} - \binom{28}{5} = 201\,376 - 98\,280 = 103\,096$ mains. Le piège $4 \times \binom{31}{4}$ (choisir un as, puis $4$ cartes quelconques) compte plusieurs fois les mains à plusieurs as : une main avec l'as de cœur et l'as de pique y figure deux fois. La proposition C, elle, ne compte que les mains à exactement un as.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, parties « Dénombrement » et « Probabilités » (texte officiel).