Quiz : Relations d'Ordre & Treillis (Supérieur)

Réponse : B. L'antisymétrie stipule que si $aRb$ et $bRa$, alors $a=b$. Ceci distingue les relations d'ordre des relations d'équivalence.

Réponse : C. Les trois propriétés définissant une relation d'ordre sont la réflexivité, l'antisymétrie et la transitivité.

Réponse : A. La relation « divise » n'est pas antisymétrique. Par exemple, $2 | (-2)$ et $(-2) | 2$ sont vrais, mais $2 \neq -2$. Elle est cependant réflexive et transitive.

Réponse : D. Un ensemble est totalement ordonné si sa relation d'ordre est totale, c'est-à-dire que pour deux éléments quelconques $a, b$, on a $aRb$ ou $bRa$. On dit qu'ils sont comparables.

Réponse : C. Un majorant $m$ d'une partie $A$ est un élément de $E$ qui est supérieur ou égal à tous les éléments de $A$ selon la relation $R$. L'option B définit un minorant.

Réponse : B. Le supremum est défini comme le plus petit des majorants de $A$. L'option D est une définition correcte, mais B est plus concis et courante. C définit l'infimum.

Réponse : A. La définition fondamentale d'un treillis est qu'il s'agit d'un ensemble ordonné pour lequel l'opération de "join" ($a \vee b$) et l'" opérations de "meet" ($a \wedge b$) sont toujours définies et uniques pour toute paire d'éléments.

Réponse : D. La relation « divise » sur cet ensemble spécifique forme un treillis. Par exemple, $\operatorname{lcm}(3, 4) = 12$ et $\operatorname{gcd}(3, 4) = 1$. Ces valeurs sont dans $E$. L'ensemble est ordonné par cette relation.

Réponse : B. L'inclusion $\subseteq$ est une relation d'ordre sur $P(X)$. De plus, pour toute paire de sous-ensembles $A, B \subseteq X$, leur union $A \cup B$ est leur supremum et leur intersection $A \cap B$ est leur infimum, qui sont aussi des sous-ensembles de $X$. C'est donc un treillis.

Réponse : C. Le supremum de $a$ et $b$ est le plus petit majorant commun. Si $a \ge b$, alors $a$ est un majorant de $\{a, b\}$. Comme $a$ est le plus petit majorant (car il est le plus petit élément, donc le plus petit de tous les majorants possibles), $a \vee b = a$. Les options A et B sont fausses, car la condition doit porter sur $a$ par rapport à $b$ pour que le résultat soit $a$. Par exemple, si $a=5, b=3$ et $R$ est $\ge$, alors $a \vee b = 5 = a$. Et $5 \ge 3$. Donc $a \ge b \implies a \vee b = a$. Et inversement, si $a \vee b = a$, cela signifie que $a$ est un majorant de $b$, donc $a \ge b$. Le cas $a \vee b = b$ si $b \ge a$ est symétrique.

Réponse : A. L'infimum est par définition le plus grand élément parmi tous les minorants communs à $a$ et $b$. Le supremum est le plus petit des majorants.

Réponse : B. Le supremum de $A$ et $B$ est le plus petit ensemble qui les contient tous les deux. Ici, $B$ contient $A$ et est contenu dans $C$. $B$ est le plus petit des majorants de $\{A, B\}$, donc le supremum est $B$. De même, l'infimum de $\{A, B\}$ est $A$.

Réponse : C. La définition d'un ensemble bien ordonné est qu'il est totalement ordonné et que toute partie non vide admet un plus petit élément. Par exemple, $(\mathbb{N}, \le)$ est bien ordonné.

Réponse : D. $a \vee b = a$ implique $a \ge b$. $a \wedge b = b$ implique $b \le a$. Donc si $a \ge b$, on a $a \vee b = a$. Si $b \ge a$, on a $a \wedge b = b$. Les propriétés d'absorption sont $a \vee (a \wedge b) = a$ et $a \wedge (a \vee b) = a$. L'option D combine une condition qui suppose $a \ge b$ (pour $a \vee b = a$) et une condition qui suppose $b \ge a$ (pour $a \wedge b = b$). Ces deux conditions ne peuvent être vraies simultanément que si $a=b$. Pour $a \ne b$, elles ne peuvent pas être vraies simultanément.