Quiz sur les Coniques : Équations Réduites et Classification

Réponse : C. L'équation $x^2 + y^2 = r^2$ exprime que la distance de tout point $(x,y)$ à l'origine $(0,0)$ est égale à $r$. L'option A est une ellipse (et un cercle si $r^2=r^2$), mais l'option C est la forme canonique la plus simple. L'option B est une hyperbole et D une parabole.

Réponse : A. L'équation est de la forme $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a^2=9$ et $b^2=4$. Puisque les deux termes sont positifs et séparés par un signe plus, il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine.

Réponse : D. L'équation $y^2 = 4px$ décrit une parabole dont le sommet est à l'origine, s'ouvrant vers la droite si $p>0$ (axe des $x$) et vers la gauche si $p<0$. L'option A serait une parabole s'ouvrant vers le haut ou le bas (axe des $y$).

Réponse : B. L'équation est de la forme $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a^2=16$ et $b^2=9$. La présence du signe moins entre les deux termes quadratiques indique qu'il s'agit d'une hyperbole centrée à l'origine.

Réponse : A. Dans le cas d'une ellipse horizontale ($a>b$), les foyers sont situés sur le grand axe (axe des $x$) à une distance $c$ de l'origine, où $c^2 = a^2 - b^2$. L'option B concerne une ellipse verticale ($b>a$). L'option C concerne la relation pour une hyperbole.

Réponse : C. En complétant le carré, on obtient $y = (x-1)^2$. Ceci est de la forme $y' = x'^2$ après translation $x' = x-1$ et $y' = y$. C'est l'équation réduite d'une parabole dont le sommet est en $(1,0)$.

Réponse : B. Les asymptotes d'une hyperbole de la forme $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ sont données par les équations $y = \pm \frac{b}{a} x$. Ces droites sont cruciales pour visualiser la forme de l'hyperbole.

Réponse : A. En complétant les carrés : $(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 9 = 0 \implies (x+2)^2 - 4 + (y-3)^2 - 9 + 9 = 0 \implies (x+2)^2 + (y-3)^2 = 4$. C'est l'équation d'un cercle de centre $(-2,3)$ et de rayon $2$.

Réponse : D. Le signe du discriminant $B^2 - 4AC$ est un indicateur clé pour la classification des coniques. $D>0$ indiqu'une hyperbole, $D<0$ une ellipse (ou un cercle, ou un point, ou rien), et $D=0$ une parabole (ou deux droites parallèles, ou une droite, ou rien).

Réponse : C. Pour la parabole $y^2 = 4px$, le foyer est à $(p,0)$. Pour la parabole $x^2 = 4py$, le foyer est à $(0,p)$. L'option C regroupe ces deux cas fondamentaux.

Réponse : D. L'équation est de la forme $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Ici $a^2=4$ et $b^2=16$. Les deux termes sont positifs, donc c'est une ellipse. Comme $b>a$, c'est une ellipse verticale.

Réponse : A. L'équation $(x-2)^2 + (y+1)^2$ représente la somme de deux carrés, qui est toujours supérieure ou égale à zéro pour des valeurs réelles de $x$ et $y$. Il est donc impossible qu'elle soit égale à $-5$. Il n'y a donc aucun point réel satisfaisant cette équation.

Réponse : B. Pour une hyperbole verticale ($\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$), les foyers sont situés sur l'axe des $y$ (l'axe "positif" de l'hyperbole) à une distance $c$ de l'origine, où $c^2 = a^2 + b^2$. Les asymptotes sont $y = \pm \frac{a}{b} x$. Attention, ici $a$ est lié au terme en $y^2$. La relation $c^2=a^2+b^2$ est la même, mais les positions des foyers diffèrent.

Réponse : C. Pour qu'une équation générale du second degré représente une parabole (cas non dégénéré), il faut que le discriminant $B^2 - 4AC$ soit nul. Cela indique la partie quadratique est "presque" un carré parfait, ce qui est caractéristique de la parabole.