L'essentiel à connaître
Pour reconnaître une conique, ramène son équation à une équation réduite (la plus simple possible, dans un repère orthonormé aligné sur les axes de la courbe), puis lis les signes. Exemple : en divisant par $36$, $4x^2 + 9y^2 = 36$ devient $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$, une ellipse de demi-axes $3$ et $2$. Un signe moins entre les deux carrés donne une hyperbole ; un seul carré, une parabole.
Définition : une droite $D$ (la directrice), un point $F$ hors de $D$ (le foyer) et un réel $e > 0$ (l'excentricité) définissent la conique formée des points $M$ tels que $MF = e \times MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Si $e < 1$, c'est une ellipse ; si $e = 1$, une parabole ; si $e > 1$, une hyperbole.
| Élément | Ellipse ($a > b > 0$) | Hyperbole | Parabole ($p > 0$) |
|---|---|---|---|
| Équation réduite | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $y^2 = 2px$ |
| Foyers | $(\pm c\,;\,0)$ avec $c^2 = a^2 - b^2$ | $(\pm c\,;\,0)$ avec $c^2 = a^2 + b^2$ | $\left(\frac{p}{2}\,;\,0\right)$ |
| Excentricité | $e = \frac{c}{a} < 1$ | $e = \frac{c}{a} > 1$ | $e = 1$ |
| Directrices | $x = \pm\frac{a^2}{c}$ | $x = \pm\frac{a^2}{c}$ | $x = -\frac{p}{2}$ |
| Asymptotes | aucune | $y = \pm\frac{b}{a}x$ | aucune |
L'axe focal, celui qui porte les foyers, suit le plus grand dénominateur pour une ellipse et le carré précédé du signe plus pour une hyperbole. Si c'est l'axe des ordonnées, échange $x$ et $y$ dans le tableau : le demi-axe porté par l'axe focal joue le rôle de $a$. Pour les asymptotes, remplace $1$ par $0$ et résous. Le cercle $x^2 + y^2 = r^2$ est le cas limite de l'ellipse où $a = b$ : $c = 0$, $e = 0$, et il n'a pas de directrice.
Pour la parabole, $p$ est la distance du foyer à la directrice, et le sommet est à mi-chemin. Pour $x^2 = 2py$, l'axe est vertical : foyer $\left(0\,;\,\frac{p}{2}\right)$, directrice $y = -\frac{p}{2}$. Tu croiseras aussi $y^2 = 4px$, par exemple dans un formulaire de l'université d'État de l'Oregon : ce $p$-là mesure la distance du sommet au foyer.
Règle : pour $\alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 + (\text{termes de degré } \le 1) = 0$, le signe de $\alpha\gamma - \beta^2$, déterminant de $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{pmatrix}$, donne le genre. Positif : genre ellipse (ellipse, cercle, point ou vide). Négatif : genre hyperbole (hyperbole ou deux droites sécantes). Nul : genre parabole (parabole, deux droites parallèles, droite double ou vide).
Attention au $2$ devant $\beta$ : dans $3x^2 + 4xy + y^2$, $\beta = 2$. Si ton cours écrit $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ et calcule $B^2 - 4AC$, le signe est inversé : négatif pour le genre ellipse. Sans terme en $xy$, complète les carrés : $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$ devient $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$, soit le seul point $(1\,;\,-2)$. Ce classement suit le cours « Coniques » de Maths en Ligne (université Joseph-Fourier, Grenoble).
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quelle est la nature de la conique $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?
Réponse : B. Deux carrés reliés par un signe plus, égaux à $1$ : c'est une ellipse, avec $a = 5$ et $b = 3$. Le plus grand dénominateur, $25$, est sous $x^2$, donc le grand axe est horizontal. Le piège C se fie au plus petit dénominateur, qui donne le petit axe.
Question 2 : Quelle est l'équation réduite de la conique $9x^2 - 4y^2 = 36$ ?
Réponse : C. On divise par $36$ : $\frac{9x^2}{36} = \frac{x^2}{4}$ et $\frac{4y^2}{36} = \frac{y^2}{9}$, d'où une hyperbole avec $a = 2$ et $b = 3$. Le piège A recopie $9$ et $4$ comme dénominateurs, alors que ceux-ci valent $\frac{36}{9}$ et $\frac{36}{4}$.
Question 3 : Où sont les foyers de l'ellipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ?
Réponse : A. Ici $a = 5$, $b = 4$ et, pour une ellipse, $c^2 = a^2 - b^2 = 9$, donc $c = 3$, sur l'axe des abscisses. Le piège B prend la relation de l'hyperbole : dans une ellipse, les foyers sont plus près du centre que les sommets $(\pm 5\,;\,0)$.
Question 4 : Quelle est l'excentricité de l'ellipse $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ ?
Réponse : D. $a = 13$ et $b = 12$, donc $c^2 = 169 - 144 = 25$, $c = 5$ et $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{13}$, bien inférieure à $1$. Le piège A calcule $\frac{b}{a}$, le rapport des demi-axes : l'excentricité, elle, se construit avec $c$.
Question 5 : Quelles sont les asymptotes de l'hyperbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ ?
Réponse : C. En remplaçant $1$ par $0$, $\frac{x^2}{16} = \frac{y^2}{9}$ donne $y = \pm\frac{3}{4}x$, c'est-à-dire $y = \pm\frac{b}{a}x$ avec $a = 4$ et $b = 3$. Le piège A inverse le rapport ; le piège B oublie la racine carrée.
Question 6 : Quels sont le foyer et la directrice de la parabole $x^2 = 6y$ ?
Réponse : A. C'est $x^2 = 2py$ avec $p = 3$ : l'axe est vertical. Le foyer est à $\frac{p}{2}$ du sommet, en $\left(0\,;\,\frac{3}{2}\right)$, et la directrice est la droite horizontale $y = -\frac{3}{2}$. Le piège C place le foyer à la distance $p$ du sommet, alors que $p$ sépare le foyer de la directrice.
Question 7 : Quelles sont les directrices de l'hyperbole $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ ?
Réponse : B. Ici $a = 3$, $b = 4$ et, pour une hyperbole, $c^2 = a^2 + b^2 = 25$, donc $c = 5$, et les directrices sont $x = \pm\frac{a^2}{c} = \pm\frac{9}{5}$, entre le centre et les sommets $(\pm 3\,;\,0)$. Le piège A confond directrices et foyers, qui sont en $(\pm 5\,;\,0)$.
Question 8 : Soit $D$ une droite, $F$ un point hors de $D$ et, pour tout point $M$, $H$ son projeté orthogonal sur $D$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $MH = 2\,MF$ ?
Réponse : A. L'excentricité est le rapport $e = \frac{MF}{MH}$, distance au foyer sur distance à la directrice. Ici $MF = \frac{1}{2}MH$, donc $e = \frac{1}{2} < 1$ : c'est une ellipse. Le piège B lit le $2$ sans regarder quelle distance il multiplie.
Question 9 : Que représente l'équation $x^2 + 4y^2 - 2x + 16y + 1 = 0$ ?
Réponse : D. On complète les carrés : $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ et $4y^2 + 16y = 4(y+2)^2 - 16$. L'équation devient $(x-1)^2 + 4(y+2)^2 = 16$, soit $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{4} = 1$ : centre $(1\,;\,-2)$, demi-axes $4$ et $2$. Le piège C retranche $4$ au lieu de $4 \times 4 = 16$ en factorisant par $4$.
Question 10 : Quel est le genre de la conique $x^2 - 2xy + y^2 + x = 0$ ?
Réponse : C. Ici $\alpha = \gamma = 1$ et $2\beta = -2$, donc $\beta = -1$ et $\alpha\gamma - \beta^2 = 1 - 1 = 0$ : genre parabole. On le voit aussi avec $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, un carré parfait. Le piège D fait une erreur de signe : $(-1)^2 = 1$, donc $1 - (-1)^2 = 0$.
Question 11 : Les asymptotes d'une hyperbole sont perpendiculaires. Que vaut son excentricité ?
Réponse : D. Dans un repère orthonormé, les asymptotes $y = \pm\frac{b}{a}x$ sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes, $-\frac{b^2}{a^2}$, vaut $-1$, donc si $b = a$. Alors $c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2$ et $e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$. Le piège B donne $\frac{c^2}{a^2}$ en oubliant la racine.
Question 12 : Quels sont les foyers et les asymptotes de l'hyperbole $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ ?
Réponse : B. Le carré précédé du signe plus est $y^2$ : l'axe focal est vertical, et $c^2 = 9 + 16 = 25$ place les foyers en $(0\,;\,\pm 5)$. En remplaçant $1$ par $0$, $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{16}$ donne $y = \pm\frac{3}{4}x$. Le piège A applique $y = \pm\frac{b}{a}x$ par cœur, alors que cette formule suppose l'axe focal horizontal.
Question 13 : Que représente l'équation $x^2 + xy + y^2 = 1$ ?
Réponse : C. Le coefficient de $xy$ vaut $2\beta = 1$, donc $\beta = \frac{1}{2}$ et $\alpha\gamma - \beta^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$ : genre ellipse. La courbe contient $(1\,;\,0)$ et $(-1\,;\,0)$, ce n'est donc ni un point ni le vide, et le terme en $xy$ exclut le cercle. Le piège A prend $\beta = 1$ en oubliant le facteur $2$ ; le piège B oublie que le signe de $B^2 - 4AC$ est inversé.
Question 14 : Quelle est l'excentricité de l'ellipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?
Réponse : A. Le plus grand dénominateur est sous $y^2$ : le grand axe est vertical, de demi-longueur $3$, et le petit demi-axe vaut $2$. Donc $c^2 = 9 - 4 = 5$ et $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$, environ $0{,}75$. Le piège B divise par $2$ et trouve une excentricité supérieure à $1$, impossible pour une ellipse.
Sources
Jean-Marc Decauwert, « Coniques », Maths en Ligne, université Joseph-Fourier de Grenoble, 2011 : définition par foyer et directrice, équations réduites, asymptotes, classement des équations du second degré.
Oregon State University, « Conic Section formulas » (en anglais) : la parabole écrite $y^2 = 4px$.