L'essentiel à connaître
Pour trouver le cosinus ou le sinus d'un angle comme $\frac{5\pi}{6}$, ramène-le à un angle de référence : $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ ou $\frac{\pi}{3}$. Ici $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$, donc son point sur le cercle est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Même ordonnée, abscisse opposée : $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Sur le cercle trigonométrique (de centre l'origine $O$, de rayon $1$, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), chaque réel $x$ a un point image $M$ : $\cos x$ est son abscisse, $\sin x$ son ordonnée. Le radian mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il découpe : sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians découpe un arc de longueur $r\theta$. Un tour complet vaut $2\pi$ radians, soit $360^\circ$, et ajouter ou retirer $2\pi$ ramène au même point.
Valeurs remarquables : $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ ; $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Règle : chaque angle associé à $x$ correspond à une symétrie du point image de $x$.
Pour $-x$, symétrie par rapport à l'axe des abscisses : $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
Pour $\pi - x$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
Pour $\pi + x$, symétrie par rapport à l'origine $O$ : $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
Dans un triangle rectangle, un angle aigu $x$ a le même cosinus et le même sinus que sur le cercle : le cosinus est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), le sinus est le côté opposé divisé par l'hypoténuse, et la tangente, côté opposé divisé par côté adjacent, vaut $\frac{\sin x}{\cos x}$. Le programme de spécialité de première demande de placer un point sur le cercle et d'y lire le cosinus et le sinus des angles associés aux valeurs remarquables (Bulletin officiel du 2 avril 2026).
Piège classique : le signe se lit sur la position du point, pas sur la valeur de référence. Les réels $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$ ont le même sinus, mais $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ : le point de $\frac{2\pi}{3}$ est à gauche de l'axe des ordonnées.
Quiz : teste tes connaissances
Les premières questions se font de tête, puis la difficulté monte : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Combien mesure, en radians, un angle de $150^\circ$ ?
Réponse : B. Un demi-tour vaut $\pi$ radians, soit $180^\circ$, donc $150^\circ$ vaut $\frac{150}{180} \times \pi = \frac{5\pi}{6}$. Le piège $\frac{6\pi}{5}$ vient du rapport retourné, $\frac{180}{150}$ : il dépasse $\pi$, alors qu'un angle de $150^\circ$ fait moins d'un demi-tour.
Question 2 : Sur le cercle trigonométrique, quelle est la longueur de l'arc qui va du point image de $0$ au point image de $\frac{\pi}{3}$ ?
Réponse : D. Le rayon vaut $1$, donc la longueur de l'arc est égale à la mesure de l'angle en radians : $\frac{\pi}{3}$, environ $1{,}05$. Le piège $60$ confond degrés et longueur : un arc de longueur $60$ ferait presque dix fois le tour du cercle, qui mesure $2\pi$, environ $6{,}28$.
Question 3 : Le point image de $\frac{\pi}{4}$ a ses deux coordonnées égales à un même nombre positif $a$. Comme il est à la distance $1$ de l'origine, $a^2 + a^2 = 1$. Combien vaut $a$ ?
Réponse : A. On obtient $2a^2 = 1$, donc $a^2 = \frac{1}{2}$, puis $a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ puisque $a$ est positif : c'est la démonstration de $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Le piège $\frac{1}{2}$ est la valeur de $a^2$ : il manque la racine carrée.
Question 4 : Que vaut $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ ?
Réponse : C. Le point image de $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée. Donc $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Le piège $-\frac{1}{2}$ fait passer le signe moins devant le cosinus, alors que seul le sinus change de signe : $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Question 5 : Que vaut $\cos\frac{3\pi}{4}$ ?
Réponse : A. On écrit $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$ : le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des ordonnées, et son abscisse change de signe. Donc $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Le piège $\frac{\sqrt{2}}{2}$ garde la bonne valeur de référence mais oublie le signe : le point est à gauche de l'axe des ordonnées.
Question 6 : Quel réel a pour image le symétrique, par rapport à l'origine $O$, du point image de $\frac{\pi}{6}$ ?
Réponse : D. La symétrie de centre $O$ revient à faire un demi-tour, donc on ajoute $\pi$ : $\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Le piège $\frac{5\pi}{6}$, c'est $\pi - \frac{\pi}{6}$ : il donne le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, pas par rapport à l'origine.
Question 7 : Que vaut $\sin\frac{4\pi}{3}$ ?
Réponse : B. On écrit $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ : le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'origine, et ses deux coordonnées changent de signe. Donc $\sin\frac{4\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Le piège $-\frac{1}{2}$ a le bon signe, mais c'est le cosinus de $\frac{4\pi}{3}$ : l'abscisse a été lue au lieu de l'ordonnée.
Question 8 : Quel réel de l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ a la même image que $\frac{17\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique ?
Réponse : C. Un tour vaut $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, et on en retire un : $\frac{17\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, qui est bien dans $]-\pi\,;\,\pi]$. Le piège $-\frac{\pi}{6}$ vient d'un retrait de $3\pi$, soit un tour et demi : ce demi-tour en trop envoie sur le point opposé du cercle.
Question 9 : Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, l'angle $\widehat{SRT}$ mesure $\frac{\pi}{6}$ radian et $RS = 6$ cm. Combien mesure $ST$ ?
Réponse : D. Vu de l'angle en $R$, $ST$ est le côté opposé et $RS$ le côté adjacent, donc $ST = RS \times \tan\frac{\pi}{6}$. Avec $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, on obtient $ST = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ cm, environ $3{,}46$ cm. Le piège $3$ cm vient du sinus, $6 \times \sin\frac{\pi}{6}$ : il traite $RS$ comme l'hypoténuse, alors que l'hypoténuse est $RT$.
Question 10 : Que vaut $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right)$ ?
Réponse : B. On calcule d'abord l'angle : $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$, et $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Le piège $\sqrt{3}$ additionne les cosinus, $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ : le cosinus d'une somme n'est pas la somme des cosinus. D'ailleurs un cosinus ne dépasse jamais $1$, et $\sqrt{3}$ vaut environ $1{,}73$.
Question 11 : Une roue de rayon $30$ cm tourne d'un angle de $\frac{\pi}{3}$ radian autour de son axe. Quelle distance parcourt un point du bord de la roue ?
Réponse : A. Sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians découpe un arc de longueur $r\theta$ : ici $30 \times \frac{\pi}{3} = 10\pi$ cm, environ $31{,}4$ cm. Le piège $\frac{\pi}{3}$ cm oublie le rayon : la longueur de l'arc n'est égale à l'angle que sur un cercle de rayon $1$.
Question 12 : Quelles sont les coordonnées du point image de $-\frac{5\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique ?
Réponse : C. On ajoute un tour : $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4}$, donc le point est celui de $\frac{3\pi}{4}$, en haut à gauche du cercle, de coordonnées $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. La proposition A est le point de $\frac{5\pi}{4}$ : le signe moins ne s'efface pas, il fait tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
Sources
Programme de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, partie « Trigonométrie », publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026.