L'essentiel à connaître
Dans un groupe fini $G$, l'ordre (le nombre d'éléments) de tout sous-groupe $H$ divise l'ordre de $G$ : c'est le théorème de Lagrange. Un groupe d'ordre $12$ n'a donc que des sous-groupes d'ordre $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ ou $12$. La raison : les classes à gauche $gH = \{gh : h \in H\}$ découpent $G$ en morceaux disjoints qui ont tous $|H|$ éléments.
Propriété : si $G$ est fini et $H$ en est un sous-groupe, $|G| = |H| \times [G:H]$, où l'indice $[G:H]$ est le nombre de classes à gauche. L'ordre d'un élément $g$ est le plus petit entier $d \geq 1$ tel que $g^{d} = e$, où $e$ est le neutre ; c'est aussi le nombre d'éléments de $\langle g \rangle$, le sous-groupe des puissances de $g$. Donc $d$ divise $|G|$, et $g^{k} = e$ si et seulement si $d$ divise $k$.
Piège classique : la réciproque est fausse. Le groupe alterné $\mathfrak{A}_4$, formé des permutations paires de $\{1, 2, 3, 4\}$, a $12$ éléments mais aucun sous-groupe d'ordre $6$ (cours de Pierre Mounoud, université de Bordeaux).
Un sous-groupe $N$ de $G$ est distingué (on dit aussi normal), noté $N \lhd G$, si $gng^{-1} \in N$ pour tous $g \in G$ et $n \in N$. Cela revient à l'égalité d'ensembles $gN = Ng$ pour tout $g$. C'est automatique dans un groupe abélien (commutatif) et pour un sous-groupe d'indice $2$. Dans le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ des permutations de $\{1, \dots, n\}$, conjuguer un cycle renomme ses points : $\sigma (a_1\,\dots\,a_k) \sigma^{-1} = (\sigma(a_1)\,\dots\,\sigma(a_k))$.
Définition : si $N \lhd G$, le produit $(aN)(bN) = abN$ ne dépend pas des représentants $a$ et $b$ choisis, et il fait de l'ensemble des classes un groupe : le groupe quotient $G/N$. Son neutre est $N$ et, si $G$ est fini, $|G/N| = |G|/|N|$. Exemple : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est le quotient de $\mathbb{Z}$ par $n\mathbb{Z}$.
Enfin, si $f : G \to G'$ est un morphisme de groupes, c'est-à-dire si $f(xy) = f(x)f(y)$, son noyau $\ker f$ (les éléments envoyés sur le neutre) est distingué, et le premier théorème d'isomorphisme donne $G/\ker f \simeq \operatorname{Im} f$ (cours de David Harari, université Paris-Saclay). Par exemple, la signature $\varepsilon : \mathfrak{S}_n \to \{-1, 1\}$ est surjective pour $n \geq 2$, de noyau $\mathfrak{A}_n$ : le quotient $\mathfrak{S}_n/\mathfrak{A}_n$ a donc $2$ éléments.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Un groupe $G$ a $12$ éléments. Lequel de ces nombres peut être l'ordre d'un de ses sous-groupes ?
Réponse : C. D'après Lagrange, l'ordre d'un sous-groupe divise $12$ : il vaut $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ ou $12$. Le piège $8$ est pair et plus petit que $12$, mais il ne divise pas $12$.
Question 2 : Dans le groupe $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +)$, quel est l'ordre de la classe $\overline{8}$ ?
Réponse : A. On ajoute $\overline{8}$ jusqu'à retomber sur $\overline{0}$ : $\overline{8}$, puis $\overline{16} = \overline{4}$, puis $\overline{24} = \overline{0}$. Il a fallu $3$ termes, et $3$ divise bien $12$. Le piège $24$ donne le multiple atteint au lieu du nombre de termes.
Question 3 : Soit $G$ un groupe d'ordre $7$ et $g \in G$ différent du neutre $e$. Que vaut le sous-groupe $\langle g \rangle$ ?
Réponse : D. L'ordre de $g$ divise $7$ et ne vaut pas $1$ puisque $g \neq e$ : il vaut $7$, donc $\langle g \rangle = G$. Un groupe d'ordre premier est ainsi cyclique (engendré par un seul élément). Le piège B oublie que $\langle g \rangle$ contient toutes les puissances de $g$, pas seulement $g$ et son inverse.
Question 4 : Un groupe $G$ d'ordre $20$ a un sous-groupe $H$ d'ordre $4$. Combien y a-t-il de classes à gauche $gH$ ?
Réponse : B. Les classes $gH$ ont toutes $4$ éléments et découpent $G$ sans se chevaucher : il y en a $[G:H] = \dfrac{20}{4} = 5$. Le piège $16$ vient de la soustraction $20 - 4$, comme si l'on retirait $H$ une seule fois.
Question 5 : Soit $G$ un groupe d'ordre $10$ et $g \in G$ tel que $g^{4} = e$. Que peut-on affirmer à coup sûr ?
Réponse : B. L'ordre $d$ de $g$ divise $4$, puisque $g^{4} = e$, et il divise $10$ par Lagrange : $d$ divise donc $2$, et dans tous les cas $g^{2} = e$. Le piège A confond « $g^{4} = e$ » et « $g$ est d'ordre $4$ », alors que $4$ ne divise pas $10$. C oublie le cas $g = e$, d'ordre $1$.
Question 6 : Dans un groupe abélien $G$, quels sous-groupes sont distingués ?
Réponse : D. Si $G$ est abélien, $gng^{-1} = gg^{-1}n = n$, qui est dans $N$ : la condition tient pour tout sous-groupe $N$. Le piège A cite les deux sous-groupes distingués dans n'importe quel groupe, mais un groupe abélien en a souvent d'autres, comme $2\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$.
Question 7 : Dans $\mathfrak{S}_3$, on pose $H = \{\mathrm{id}, (1\,2)\}$ et on conjugue $(1\,2)$ par $\sigma = (1\,3)$. Que trouve-t-on, et qu'en conclure ?
Réponse : C. Conjuguer renomme les points : $\sigma (1\,2) \sigma^{-1} = (\sigma(1)\,\sigma(2)) = (3\,2) = (2\,3)$. Cet élément n'est pas dans $H$, donc $H$ n'est pas distingué. Le piège A suppose que conjuguer ne change rien, ce qui n'arrive que si les deux éléments commutent.
Question 8 : Pourquoi faut-il que $N$ soit distingué dans $G$ pour définir le groupe quotient $G/N$ ?
Réponse : A. Si $aN = a'N$ et $bN = b'N$, il faut que $abN = a'b'N$, sinon le produit des classes n'a pas de sens : c'est exactement ce que garantit $N \lhd G$. Le piège B est tentant, mais les classes à gauche forment une partition de $G$ pour n'importe quel sous-groupe : c'est même ce qui prouve Lagrange.
Question 9 : Dans $G = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, on pose $N = \langle \overline{4} \rangle$. Que vaut le quotient $G/N$ ?
Réponse : C. Le sous-groupe $N = \{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\}$ a $3$ éléments, donc $G/N$ en a $\dfrac{12}{3} = 4$. La classe de $\overline{1}$ y est d'ordre $4$, car $k \cdot \overline{1} \in N$ seulement si $4$ divise $k$ : le quotient est cyclique. Le piège D a le bon ordre, mais $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}$ n'a aucun élément d'ordre $4$.
Question 10 : L'application $f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{C}^*, \times)$, $k \mapsto i^{k}$, est un morphisme de groupes. Que donne le premier théorème d'isomorphisme ?
Réponse : D. Le noyau est formé des $k$ tels que $i^{k} = 1$, soit $4\mathbb{Z}$, et l'image est $\{1, i, -1, -i\}$ : on obtient $\mathbb{Z}/\ker f \simeq \operatorname{Im} f$. Le piège B remplace l'image par l'ensemble d'arrivée, alors que $f$ n'est pas surjective.
Question 11 : Le groupe alterné $\mathfrak{A}_4$ a $12$ éléments. A-t-il un sous-groupe d'ordre $6$ ?
Réponse : B. Lagrange dit que l'ordre d'un sous-groupe divise $12$, pas que chaque diviseur est atteint. Un sous-groupe $H$ d'ordre $6$ serait d'indice $2$, donc distingué, avec $\mathfrak{A}_4/H$ d'ordre $2$ : tout carré $x^{2}$ serait dans $H$. Or chaque $3$-cycle $c$ vérifie $c = c^{4} = (c^{2})^{2}$, donc les huit $3$-cycles de $\mathfrak{A}_4$ seraient dans $H$, qui n'a que $6$ éléments. Le piège A applique Lagrange à l'envers.
Question 12 : Dans $\mathfrak{S}_3$, le sous-groupe $\mathfrak{A}_3 = \{\mathrm{id}, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}$ est distingué. Avec $g = (1\,2)$ et $n = (1\,2\,3)$, que vaut $gng^{-1}$ ?
Réponse : A. Conjuguer renomme les points du cycle : $gng^{-1} = (g(1)\,g(2)\,g(3)) = (2\,1\,3)$, qui s'écrit aussi $(1\,3\,2)$. C'est bien un élément de $\mathfrak{A}_3$, mais pas $n$ lui-même. Le piège B confond « distingué » et « commute avec tout » : $gN = Ng$ est une égalité d'ensembles, pas $gn = ng$ élément par élément.
Question 13 : Soit $N \lhd G$ tel que $N$ et $G/N$ soient abéliens. Le groupe $G$ est-il forcément abélien ?
Réponse : D. Le groupe $\mathfrak{A}_3$ a $3$ éléments, il est cyclique donc abélien, et $\mathfrak{S}_3/\mathfrak{A}_3$ a $2$ éléments, donc il est abélien aussi. Pourtant $\mathfrak{S}_3$ ne l'est pas : $(1\,2)$ et $(1\,2\,3)$ ne commutent pas, leurs deux produits valant $(2\,3)$ et $(1\,3)$. Le piège A suppose que $G$ se déduit de $N$ et de $G/N$, ce qui est faux.
Sources
Pierre Mounoud, Cours de théorie des groupes, université de Bordeaux, version du 3 septembre 2021 : théorème de Lagrange et exemple de $\mathfrak{A}_4$.
David Harari, Cours M1 FES (2024-2025) : Groupes, université Paris-Saclay : groupes quotients et théorème de factorisation.