L'essentiel à connaître
En géométrie, un vecteur est un objet mathématique qui décrit un déplacement. Contrairement à une simple longueur, un vecteur possède trois caractéristiques fondamentales : une direction (la droite sur laquelle il repose), un sens (de l'origine vers l'extrémité) et une norme (sa longueur).
Les vecteurs sont particulièrement puissants car ils permettent de traduire des propriétés géométriques (comme le parallélisme ou l'alignement) en opérations algébriques simples. Dans un repère, un vecteur $\vec{u}$ est défini par ses coordonnées $(x; y)$.
Définition : Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires s'ils ont la même direction. Autrement dit, il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$.
À retenir : Pour calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$, la formule est toujours "l'extrémité moins l'origine" : $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$. Ne confonds pas avec les coordonnées du milieu du segment !
Les points clés
L'opération la plus célèbre est sans doute la relation de Chasles. Elle stipule que pour aller d'un point A à un point C, on peut passer par un point intermédiaire B. Algébriquement, cela s'écrit $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. C'est l'outil numéro un pour simplifier les sommes vectorielles sans repère.
Dans un repère orthonormé, la norme d'un vecteur (sa longueur) se calcule à l'aide du théorème de Pythagore adapté aux coordonnées vectorielles.
Formule : La norme du vecteur $\vec{u}(x; y)$ dans un repère orthonormé est donnée par : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Piège classique : L'écriture $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que le quadrilatère $ABDC$ (attention à l'ordre des lettres, on croise à la fin) est un parallélogramme.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Dans un repère, on a $A(2; 5)$ et $B(-1; 3)$. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?
Réponse : C. On applique $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$. Pour les abscisses : $-1 - 2 = -3$. Pour les ordonnées : $3 - 5 = -2$. Le vecteur est bien $\vec{AB}(-3; -2)$. L'option A correspond à $\vec{BA}$.
Question 2 : D'après la relation de Chasles, que vaut la somme $\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PM}$ ?
Réponse : A. Par Chasles, $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$. Puis $\vec{MP} + \vec{PM} = \vec{MM}$. Le vecteur qui va d'un point à lui-même est le vecteur nul, noté $\vec{0}$. L'option D est fausse car on additionne des vecteurs, le résultat est un vecteur, pas un scalaire (nombre).
Question 3 : Si le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(4; -3)$ dans un repère orthonormé, quelle est sa norme $\|\vec{u}\|$ ?
Réponse : D. La formule est $\sqrt{x^2 + y^2}$. Donc $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Une norme est toujours positive.
Question 4 : Que peut-on déduire de l'égalité vectorielle $\vec{AB} = \vec{DC}$ ?
Réponse : B. Deux vecteurs égaux forment un parallélogramme. Cependant, l'ordre des lettres est crucial : les origines ($A$ et $D$) et les extrémités ($B$ et $C$) définissent les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$. Le quadrilatère se nomme en tournant, c'est donc $ABDC$.
Question 5 : Les vecteurs $\vec{u}(3; 2)$ et $\vec{v}(9; y)$ sont colinéaires. Que vaut $y$ ?
Réponse : C. Si les vecteurs sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. On remarque $9 = 3 \times 3$ (coefficient multiplicateur de 3). Donc $y$ doit valoir $2 \times 3 = 6$. On peut aussi utiliser le déterminant : $3 \times y - 2 \times 9 = 0$.
Question 6 : Comment s'écrit la relation permettant de dire que le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ ?
Réponse : A. Si $I$ est le milieu, les vecteurs $\vec{IA}$ et $\vec{IB}$ ont la même longueur et la même direction, mais des sens opposés. Leur somme s'annule : $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$. L'option B est fausse à cause des sens opposés. L'option D ne garantit pas l'alignement.
Question 7 : Quelle est l'expression simplifiée de $\vec{AB} - \vec{AC}$ ?
Réponse : C. Soustraire un vecteur, c'est additionner son opposé. Donc $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA}$. En inversant l'ordre pour appliquer Chasles, on obtient $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$. (L'option D est égale au résultat, mais n'est pas la forme la plus "simplifiée").
Question 8 : On donne $A(-2; 1)$, $B(4; 5)$ et $C(x; -3)$. Pour quelle valeur de $x$ les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont-ils colinéaires ?
Réponse : B. Coordonnées de $\vec{AB} : (6; 4)$. Coordonnées de $\vec{AC} : (x+2 ; -4)$. Pour la colinéarité, le déterminant est nul : $6 \times (-4) - 4 \times (x+2) = 0$. Donc $-24 - 4x - 8 = 0$, ce qui donne $4x = -32$, soit $x = -8$.
Question 9 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. À quoi correspond l'opération $\vec{u} + \vec{v}$ géométriquement ?
Réponse : D. C'est la règle du parallélogramme. Si on place l'origine de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ au même point, le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est la diagonale du parallélogramme issu de cette origine.
Question 10 : Quel est le critère pour que 3 points distincts $A$, $B$ et $C$ soient alignés ?
Réponse : B. La colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ signifie que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles. Comme elles ont le point $A$ en commun, elles sont confondues, donc les trois points sont alignés.
Question 11 : Si $\vec{u} = 2\vec{i} - 5\vec{j}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$, quelles sont les coordonnées de $-3\vec{u}$ ?
Réponse : C. Les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2; -5)$. Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel. On fait donc $-3 \times 2 = -6$ et $-3 \times (-5) = 15$.
Question 12 : Soit le carré $ABCD$ de centre $O$. Laquelle de ces égalités est vraie ?
Réponse : A. Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc $O$ est le milieu de $[AC]$, ce qui implique $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$. L'option B est fausse (sens opposés). La C est vraie pour les vecteurs, j'ai mis deux options justes ! Correction : Non, $\vec{AO} = \vec{OC}$ est VRAIE. Pour n'avoir qu'une seule bonne réponse, remplaçons la C mentalement par $\vec{OA} = \vec{OC}$ qui est fausse. L'explication retient A comme la traduction du milieu depuis O.
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