L'essentiel à connaître
Deux outils règlent presque tout. Sans repère, la relation de Chasles enchaîne les vecteurs : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Dans un repère, les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ se calculent « extrémité moins origine » : avec $A(1\,;\,-2)$ et $B(4\,;\,3)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(4 - 1\,;\,3 - (-2))$, soit $(3\,;\,5)$.
Ce quiz t'entraîne à traduire une figure (parallélogramme, milieu, alignement, parallélisme) en égalités de vecteurs, puis à conclure par un calcul. Retrancher un vecteur, c'est ajouter son opposé : $-\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BM}$. Les sommes et les produits par un réel $k$ se calculent coordonnée par coordonnée : si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$, alors $k\vec{u}\,(kx\,;\,ky)$. Tu verras aussi ces coordonnées écrites en colonne, $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ : c'est la même information. Le programme de mathématiques de seconde suivi depuis la rentrée 2026 est fixé par l'arrêté du 26 février 2026.
Règle : $ABCD$ est un parallélogramme exactement quand $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Dans ce cas, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ : la somme suit la diagonale issue de $A$. Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et a pour coordonnées $\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
À retenir : $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ sont colinéaires quand l'un est le produit de l'autre par un réel. Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité sur les deux), cela revient à dire que leur déterminant, le nombre $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$, est nul. $A$, $B$, $C$ sont alignés quand $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ; $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles quand $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ le sont. Si $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}$ avec $k$ négatif, $B$ et $C$ sont de part et d'autre de $A$.
Conseil : pour écrire un vecteur à l'aide de deux autres, fais un détour avec Chasles par des côtés connus. Dans un triangle $ABC$ : $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont de la plus simple à la plus piégeuse : méfie-toi surtout des trois dernières.
Question 1 : D'après la relation de Chasles, à quoi est égale la somme $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH}$ ?
Réponse : B. Chaque vecteur part du point où s'arrête le précédent : $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}$, puis $\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{EH}$. La C inverse le sens : le chemin part de $E$ et arrive en $H$.
Question 2 : Dans un repère, $A(-1\,;\,4)$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(2\,;\,-5)$. Quelles sont les coordonnées du point $B$ ?
Réponse : C. Comme $x_B - x_A = 2$, on a $x_B = -1 + 2 = 1$, et de même $y_B = 4 + (-5) = -1$ : on ajoute les coordonnées du vecteur à celles du point de départ. La A les retranche, et donne en fait le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
Question 3 : Dans un repère, $\vec{u}\,(3\,;\,-1)$ et $\vec{v}\,(-2\,;\,4)$. Quelles sont les coordonnées de $2\vec{u} - \vec{v}$ ?
Réponse : A. Coordonnée par coordonnée : $2 \times 3 - (-2) = 8$ et $2 \times (-1) - 4 = -6$. Le piège B vient du signe : retrancher $-2$, c'est ajouter $2$, donc $6 + 2 = 8$ et non $6 - 2 = 4$.
Question 4 : Quelle égalité traduit « $ABCD$ est un parallélogramme » ?
Réponse : D. Dans $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ se parcourent dans le même sens, de $A$ vers $B$ et de $D$ vers $C$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Le piège A, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, fait de $ABDC$ le parallélogramme : les lettres se croisent.
Question 5 : $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. À quoi est égale la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ ?
Réponse : C. Dans le parallélogramme, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, la diagonale issue de $A$. La A relie les extrémités des deux vecteurs : $\overrightarrow{BD}$ est la différence $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$, pas la somme.
Question 6 : Dans un repère, $A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,3)$ et $C(6\,;\,7)$. Quel point $D$ fait de $ABCD$ un parallélogramme ?
Réponse : A. On écrit $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, avec $\overrightarrow{AB}\,(4\,;\,1)$ et $\overrightarrow{DC}\,(6 - x_D\,;\,7 - y_D)$. Donc $6 - x_D = 4$ et $7 - y_D = 1$, soit $D(2\,;\,6)$. Le piège B part de $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, qui construit le parallélogramme $ABDC$.
Question 7 : Dans un repère, $E(-3\,;\,5)$ et $F(7\,;\,-1)$. Le point $M$ vérifie $\overrightarrow{EM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$. Quelles sont ses coordonnées ?
Réponse : D. $\overrightarrow{EF}\,(10\,;\,-6)$, donc $\overrightarrow{EM}\,(5\,;\,-3)$, que l'on ajoute aux coordonnées de $E$ : $M(2\,;\,2)$, le milieu de $[EF]$. La A s'arrête aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EM}$ et oublie de partir de $E$.
Question 8 : Dans un repère orthonormé, $A(-1\,;\,2)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(5\,;\,5)$. Que vaut $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$, et qu'en conclure ?
Réponse : B. $\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(6\,;\,3)$, donc $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 3 - 6 \times 1 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et ont le point $A$ en commun, donc elles sont confondues : c'est ce qui rend la D fausse.
Question 9 : Dans un repère orthonormé, $A(0\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$, $C(1\,;\,-2)$ et $D(m\,;\,4)$, où $m$ est un réel. Pour quelle valeur de $m$ les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Réponse : D. $\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,3)$ et $\overrightarrow{CD}\,(m - 1\,;\,6)$ doivent être colinéaires : $2 \times 6 - (m - 1) \times 3 = 0$, soit $15 - 3m = 0$ et $m = 5$. La A oublie de retrancher $x_C = 1$ dans l'abscisse de $\overrightarrow{CD}$.
Question 10 : Pour tous points $M$, $A$ et $B$, à quoi est égal $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AB}$ ?
Réponse : C. Retrancher $\overrightarrow{MB}$, c'est ajouter $\overrightarrow{BM}$ : $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}$. Puis $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}$. Le piège A vient de l'erreur $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$, qui inverse le sens.
Question 11 : Trois points distincts $A$, $B$, $C$ vérifient $\overrightarrow{AB} = -3\,\overrightarrow{AC}$. Que peut-on dire de leur position ?
Réponse : A. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires et partent tous deux de $A$ : les points sont alignés. Le coefficient $-3$ est négatif, donc les deux vecteurs vont en sens contraires, et $B$ et $C$ sont de part et d'autre de $A$. La B oublie ce signe : c'est avec $\overrightarrow{AB} = 3\,\overrightarrow{AC}$ que $C$ serait entre $A$ et $B$.
Question 12 : $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Comment s'écrit $\overrightarrow{BO}$ à l'aide de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ?
Réponse : B. Les diagonales se coupent en leur milieu, donc $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$. Avec Chasles, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, d'où la B. La A donne $\overrightarrow{AO}$, qui part du mauvais sommet ; la C donne $\overrightarrow{OB}$, le sens contraire ; la D oublie le facteur $\frac{1}{2}$.
Sources
Arrêté du 26 février 2026 fixant le programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, applicable à la rentrée 2026-2027 (Légifrance).