L'essentiel à connaître
Pour résoudre $ay''+by'+cy=0$, avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\neq0$, tu écris l'équation caractéristique $ar^2+br+c=0$ : $y''$ devient $r^2$, $y'$ devient $r$ et $y$ devient $1$. Son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ fixe la forme des solutions. Exemple : $y''-3y'+2y=0$ donne $r^2-3r+2=0$, de racines $1$ et $2$, donc $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$, avec $C_1$ et $C_2$ réels.
Règle : les solutions réelles de $ay''+by'+cy=0$, avec $C_1$ et $C_2$ réels quelconques.
Si $\Delta>0$, deux racines réelles $r_1\neq r_2$ : $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$.
Si $\Delta=0$, une racine double $r_0$ : $y=(C_1+C_2x)e^{r_0x}$.
Si $\Delta<0$, deux racines $\alpha\pm i\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$ : $y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big)$.
Avec un second membre, c'est-à-dire une fonction $f$ à droite du signe égal, les solutions de $ay''+by'+cy=f(x)$ s'écrivent $y=y_h+y_p$. Ici $y_h$ parcourt les solutions de l'équation homogène (la même avec $0$ à la place de $f$) et $y_p$ est une solution particulière : une seule suffit. Si $f=f_1+f_2$, tu additionnes une solution pour $f_1$ et une pour $f_2$ (principe de superposition).
Règle : pour $f(x)=P(x)e^{\lambda x}$, avec $P$ un polynôme, cherche $y_p=Q(x)e^{\lambda x}$ si $\lambda$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, $xQ(x)e^{\lambda x}$ si c'est une racine simple, $x^2Q(x)e^{\lambda x}$ si c'est la racine double, avec $Q$ de même degré que $P$. Un polynôme seul, c'est le cas $\lambda=0$. Pour $\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$, cherche $p\cos(\omega x)+q\sin(\omega x)$, avec $p$ et $q$ constants, multiplié par $x$ si $i\omega$ est racine.
Polynôme, exponentielle, cosinus et sinus : ce sont les seconds membres que le programme de MPSI et MP2I (ministère de l'Enseignement supérieur, 2021) demande de savoir traiter.
Pour $f$ continue, deux conditions au même point, $y(x_0)$ et $y'(x_0)$, donnent une solution unique : c'est le théorème de Cauchy-Lipschitz. Deux conditions en deux points différents n'offrent pas cette garantie.
Piège classique : fixer $C_1$ et $C_2$ sur $y_h$ seul, puis ajouter $y_p$. Les conditions portent sur la solution complète $y_h+y_p$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses. Dans tout le quiz, $C_1$ et $C_2$ désignent des constantes réelles quelconques.
Question 1 : Quelle est l'équation caractéristique de $2y''-5y'+3y=0$ ?
Réponse : C. Tu remplaces $y''$ par $r^2$, $y'$ par $r$ et $y$ par $1$, et chaque coefficient garde son signe : $2r^2-5r+3=0$. La B change le signe de $-5y'$, ce qui change les racines : $1$ et $\frac32$ deviennent $-1$ et $-\frac32$.
Question 2 : Quelle est la solution générale de $y''+y'-6y=0$ ?
Réponse : A. $\Delta=1+24=25>0$ et $r^2+r-6=(r-2)(r+3)$ : les racines sont $2$ et $-3$. La B reprend les nombres lus dans les facteurs sans changer leur signe, alors que $(r+3)$ s'annule en $-3$.
Question 3 : Quelle est la solution générale de $y''-4y'+4y=0$ ?
Réponse : D. $\Delta=16-16=0$ et $r^2-4r+4=(r-2)^2$ : $2$ est racine double. La C a l'air d'avoir deux constantes, mais $C_1e^{2x}+C_2e^{2x}=(C_1+C_2)e^{2x}$ n'en garde qu'une : c'est le facteur $x$ qui apporte la seconde solution.
Question 4 : Quelle est la solution générale réelle de $y''+2y'+5y=0$ ?
Réponse : B. $\Delta=4-20=-16$, donc $r=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$ : $\alpha=-1$ va dans l'exponentielle et $\beta=2$ dans le cosinus et le sinus. La D oublie de diviser $\sqrt{16}=4$ par $2a=2$.
Question 5 : Quelle est la solution de $y''+4y=0$ telle que $y(0)=1$ et $y'(0)=2$ ?
Réponse : B. Les racines $\pm2i$ donnent $y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)$, donc $y(0)=C_1=1$. Ensuite $y'(x)=-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x)$ donne $y'(0)=2C_2=2$, soit $C_2=1$. La A oublie le facteur $2$ qui sort en dérivant $\sin(2x)$.
Question 6 : Quelle est la solution générale de $y''-y=2$ ?
Réponse : D. Une constante $k$ est solution si $0-k=2$, soit $k=-2$, et l'équation homogène $y''-y=0$ a pour racines caractéristiques $1$ et $-1$. La A prend le second membre $2$ comme solution particulière sans le vérifier : $y=2$ donne $y''-y=-2$.
Question 7 : Quelle est une solution particulière de $y''-3y'+2y=e^{3x}$ ?
Réponse : A. $3$ n'est pas racine de $r^2-3r+2$, dont les racines sont $1$ et $2$, donc tu cherches $ke^{3x}$ : $9k-9k+2k=1$, soit $k=\frac12$. La B vient d'une erreur de signe sur $-3y'$, qui donne $9k+9k+2k=1$.
Question 8 : Quelle est une solution particulière de $y''-y'-2y=4x$ ?
Réponse : C. $0$ n'est pas racine de $r^2-r-2$, donc tu cherches un polynôme de degré $1$, $px+q$ : $-p-2(px+q)=4x$ donne $p=-2$, puis $-p-2q=0$ donne $q=1$. La A oublie le terme $-y'$ : avec $y=-2x$, il ajoute la constante $2$, et $y''-y'-2y$ vaut $4x+2$.
Question 9 : Quelle est une solution particulière de $y''+y=\cos(2x)$ ?
Réponse : A. $2i$ n'est pas racine de $r^2+1$, donc tu cherches $p\cos(2x)+q\sin(2x)$. Sa dérivée seconde vaut $-4$ fois elle-même, d'où $-3p\cos(2x)-3q\sin(2x)=\cos(2x)$ : $p=-\frac13$ et $q=0$. La C prend la dérivée seconde du cosinus avec le mauvais signe, ce qui donne $4p+p=1$.
Question 10 : Quelle est une solution particulière de $y''-y=e^{x}$ ?
Réponse : D. $1$ est racine simple de $r^2-1$ : $ke^{x}$ donnerait $0=e^{x}$, il faut donc $kxe^{x}$. Avec $y=kxe^{x}$, $y''=k(x+2)e^{x}$, donc $y''-y=2ke^{x}$ et $k=\frac12$. La A oublie ce facteur $2$.
Question 11 : Quelle est une solution particulière de $y''-2y'+y=e^{x}$ ?
Réponse : B. $r^2-2r+1=(r-1)^2$ : $1$ est racine double, donc tu cherches $kx^2e^{x}$, et le calcul donne $y''-2y'+y=2ke^{x}$, soit $k=\frac12$. La A ne peut pas marcher : $xe^{x}$ est solution de l'équation homogène, elle donne $0$ et non $e^{x}$.
Question 12 : Pour $y''+4y=\sin(2x)$, quelle forme de solution particulière faut-il chercher ?
Réponse : C. $2i$ est racine de $r^2+4$, donc la forme habituelle se multiplie par $x$, cosinus compris : le calcul donne $y_p=-\frac{x}{4}\cos(2x)$. La A donne $y''+4y=0$ pour tous $p$ et $q$, et la B donne $4p\cos(2x)$ : aucune des deux n'atteint $\sin(2x)$.
Question 13 : Quelle est une solution particulière de $y''-y'=2$ ?
Réponse : D. Le second membre est un polynôme, donc $\lambda=0$, et $0$ est racine simple de $r^2-r$ : il faut chercher $kx$, pas une constante. Avec $y=kx$, $0-k=2$ donne $k=-2$. La A est le piège : une constante a des dérivées nulles, donc $y''-y'=0$ et non $2$.
Question 14 : Quelle est la solution de $y''+y=1$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ ?
Réponse : A. La solution générale est $y=C_1\cos x+C_2\sin x+1$ : $y(0)=C_1+1=0$ donne $C_1=-1$, et $y'(0)=C_2=1$. La B fixe les constantes sur $C_1\cos x+C_2\sin x$ seul, puis ajoute $1$ : elle vaut $1$ en $0$, pas $0$.
Question 15 : Combien de solutions de $y''+y=0$ vérifient $y(0)=0$ et $y(\pi)=0$ ?
Réponse : C. $y=C_1\cos x+C_2\sin x$ et $y(0)=0$ impose $C_1=0$ ; ensuite $y(\pi)=C_2\sin\pi=0$ est vrai pour tout $C_2$. La A applique le théorème de Cauchy-Lipschitz hors de son cadre : il demande $y$ et $y'$ au même point, pas $y$ en deux points.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MPSI et MP2I, 2021, partie « Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants » : education.gouv.fr.
Exo7, cours « Équations différentielles », partie 3 : exo7.emath.fr.