L'essentiel à connaître
Une tribu sur un ensemble $\Omega$ est une famille $\mathcal{A}$ de parties de $\Omega$ qui contient $\Omega$, stable par complémentaire ($A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^c\in\mathcal{A}$) et par union dénombrable. Sur $\Omega=\{1,2,3\}$, la famille $\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\Omega\}$ en est une : tout complémentaire et toute union de ses éléments y figurent déjà. Une tribu contient donc $\emptyset=\Omega^c$ et, par les lois de De Morgan, reste stable par intersection dénombrable.
La tribu engendrée par une famille $\mathcal{C}$, notée $\sigma(\mathcal{C})$, est la plus petite tribu qui contient $\mathcal{C}$. Sur un ensemble fini, repère les atomes (les plus petits morceaux non vides de $\Omega$ qu'aucun ensemble de $\mathcal{C}$ ne coupe) : s'il y en a $k$, $\sigma(\mathcal{C})$ est formée de leurs unions et compte $2^k$ éléments. Sur $\mathbb{R}$, la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ est engendrée par les ouverts, et aussi par les intervalles $]-\infty\,;a]$, $a$ réel. Ses éléments, les boréliens, comprennent les singletons, donc toute partie dénombrable comme $\mathbb{Q}$.
Définition : une mesure sur $(\Omega,\mathcal{A})$ est une application $\mu:\mathcal{A}\to[0\,;+\infty]$ telle que $\mu(\emptyset)=0$ et $\mu\big(\bigcup_n A_n\big)=\sum_n\mu(A_n)$ pour toute suite $(A_n)$ d'éléments de $\mathcal{A}$ deux à deux disjoints. Cette dernière propriété est la $\sigma$-additivité (cours de J.-F. Le Gall, chapitre 1).
La mesure de Lebesgue $\lambda$ donne à chaque intervalle sa longueur : $\lambda([a\,;b])=b-a$. Un singleton est donc de mesure nulle, et par $\sigma$-additivité toute partie dénombrable aussi. Une propriété vraie en dehors d'un ensemble de mesure nulle est dite vraie presque partout.
Piège classique : si $A\subset B$, on a toujours $\mu(A)\le\mu(B)$, mais l'égalité $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$ n'a de sens que si $\mu(A)\lt+\infty$. Pour une suite croissante, $\mu\big(\bigcup_n A_n\big)=\lim\mu(A_n)$ sans condition ; pour une suite décroissante, $\mu\big(\bigcap_n A_n\big)=\lim\mu(A_n)$ est garanti dès que l'un des $\mu(A_n)$ est fini, et peut être faux sinon.
Une fonction $f:\Omega\to\mathbb{R}$ est mesurable si $f^{-1}(B)\in\mathcal{A}$ pour tout borélien $B$ : la définition porte sur l'image réciproque, jamais sur l'image directe. Il suffit de le vérifier pour une famille qui engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, comme les $]-\infty\,;a]$. Une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est borélienne (mesurable de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ dans $\mathcal{B}(\mathbb{R})$), une composée de fonctions mesurables est mesurable, et l'indicatrice $\mathbf{1}_A$, qui vaut $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs, est mesurable si et seulement si $A\in\mathcal{A}$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Sur $\Omega=\{1,2,3,4\}$, laquelle de ces familles est une tribu ?
Réponse : B. Elle contient $\Omega$, $\{1,2\}$ et $\{3,4\}$ sont complémentaires l'un de l'autre, et toute union de ses éléments y retombe. La D est tentante, mais le complémentaire de $\{3\}$, soit $\{1,2,4\}$, n'y figure pas.
Question 2 : $A$ et $B$ sont dans une tribu $\mathcal{A}$. Quelle égalité, vraie pour tous $A$ et $B$, prouve que $A\cap B\in\mathcal{A}$ ?
Réponse : D. $A^c$ et $B^c$ sont dans $\mathcal{A}$, leur union aussi, puis le complémentaire de cette union : c'est $A\cap B$ par De Morgan. La A est fausse, car $(A^c\cap B^c)^c=A\cup B$, et elle se sert de l'intersection qu'on cherche justement à obtenir.
Question 3 : Sur $\Omega=\{1,2,3,4\}$, combien d'éléments compte la tribu engendrée par $\{1\}$ et $\{2\}$ ?
Réponse : A. Les atomes sont $\{1\}$, $\{2\}$ et $\{3,4\}$ : la tribu est formée de leurs unions, soit $2^3=8$ éléments. Le piège $6$ vient de l'oubli des unions : on ajoute $\{2,3,4\}$ et $\{1,3,4\}$, mais ni $\{1,2\}$ ni $\{3,4\}$.
Question 4 : Laquelle de ces propriétés fait partie de la définition d'une mesure $\mu$ sur $(\Omega,\mathcal{A})$ ?
Réponse : C. C'est la $\sigma$-additivité, qui avec $\mu(\emptyset)=0$ définit une mesure. La B oublie « disjoints » : avec $A_0=A_1=[0\,;1]$ et les autres $A_n$ vides, elle donnerait $\lambda([0\,;1])=1+1$.
Question 5 : Que vaut $\lambda(\mathbb{Q})$, la mesure de Lebesgue de l'ensemble des rationnels ?
Réponse : B. $\mathbb{Q}$ est une union dénombrable de singletons, chacun de mesure nulle, donc $\lambda(\mathbb{Q})=0$ par $\sigma$-additivité. La D est le piège : être dense ne donne aucune épaisseur.
Question 6 : Pour montrer que $f:(\Omega,\mathcal{A})\to\mathbb{R}$ est mesurable, laquelle de ces vérifications suffit ?
Réponse : A. Les $]-\infty\,;a]$ engendrent $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, et tester une famille génératrice suffit. La B confond avec l'image directe, alors que la définition ne parle que d'images réciproques. La C et la D testent des familles trop pauvres pour engendrer $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
Question 7 : $f:\Omega\to\mathbb{R}$ est mesurable et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est continue. Que dire de $g\circ f$ ?
Réponse : D. $g$ est borélienne car continue, et $(g\circ f)^{-1}(B)=f^{-1}\big(g^{-1}(B)\big)$ : $g^{-1}(B)$ est un borélien, donc son image réciproque par $f$ est dans $\mathcal{A}$. La B est le réflexe à perdre : sur un $\Omega$ quelconque, la continuité de $f$ n'a même pas de sens.
Question 8 : Sur $\mathbb{R}$ muni de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et de $\lambda$, que dire de l'indicatrice $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ ?
Réponse : C. $\mathbb{Q}$ est borélien, donc $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ est borélienne, et elle ne diffère de $0$ que sur $\mathbb{Q}$, de mesure nulle. La A confond mesurable et continue : la mesurabilité ne demande aucune régularité.
Question 9 : Soit $\mu$ une mesure et $A\subset B$ deux éléments de $\mathcal{A}$. Laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?
Réponse : A. $B$ est l'union disjointe de $A$ et de $B\setminus A$, donc $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)\ge\mu(A)$. La B est le piège : pour $\lambda$, avec $A=[0\,;+\infty[$ et $B=\mathbb{R}$, elle donne $+\infty-\infty$, qui n'a pas de sens, alors que $\lambda(B\setminus A)=+\infty$. La C tombe avec $[0\,;1[\,\subset[0\,;1]$, deux ensembles de même mesure $1$.
Question 10 : Quelle est la tribu sur $\mathbb{R}$ engendrée par les singletons $\{x\}$, $x\in\mathbb{R}$ ?
Réponse : D. Cette famille (parties finies comprises) est une tribu qui contient les singletons, et toute tribu qui les contient renferme les unions dénombrables de singletons et leurs complémentaires : c'est donc la plus petite. La A est le piège : $[0\,;1]$ est borélien, mais ni lui ni son complémentaire n'est dénombrable. La C n'est pas stable par union dénombrable : $\mathbb{N}$ lui échappe.
Question 11 : Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $A_n=[n\,;+\infty[$. Que vaut $\lambda\big(\bigcap_n A_n\big)$ ?
Réponse : B. Un réel $x$ sort de $A_n$ dès que $n\gt x$ : l'intersection est vide, donc de mesure $0$. La A applique la continuité décroissante sans son hypothèse : il faut que l'un des $\lambda(A_n)$ soit fini, et ici tous valent $+\infty$ (ce qui écarte aussi la C).
Question 12 : $\mathcal{A}_1$ et $\mathcal{A}_2$ sont deux tribus sur $\Omega$. Laquelle de ces familles est toujours une tribu ?
Réponse : C. Chaque condition de la définition, vraie dans les deux tribus, reste vraie dans leur intersection. La A est le piège : sur $\Omega=\{1,2,3\}$, avec $\mathcal{A}_1=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\Omega\}$ et $\mathcal{A}_2=\{\emptyset,\{2\},\{1,3\},\Omega\}$, l'union contient $\{1\}$ et $\{2\}$ mais pas $\{1,2\}$. Le même exemple fait tomber la B et la D.
Question 13 : Pour une fonction $f:\Omega\to\mathbb{R}$, tu sais seulement que $|f|$ est mesurable. Que peux-tu conclure sur $f$ ?
Réponse : A. Sur $\Omega=\{1,2\}$ muni de la tribu $\{\emptyset,\Omega\}$, prends $f=\mathbf{1}_{\{1\}}-\mathbf{1}_{\{2\}}$ : $|f|=1$ est constante, donc mesurable, mais $f^{-1}(\{1\})=\{1\}$ n'est pas dans la tribu. La B est le piège : le signe change d'un point à l'autre, et l'ensemble où $f\ge0$ n'a aucune raison d'être mesurable. Le même exemple fait tomber la C et la D.
Sources
Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, cours de l'École normale supérieure de Paris, septembre 2006 : tribus, mesures et fonctions mesurables (chapitre 1), presque partout (chapitre 2), mesure de Lebesgue (chapitre 3).