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Réponse : C. Une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ doit satisfaire trois conditions : $\Omega \in \mathcal{A}$, si $A \in \mathcal{A}$, alors son complémentaire $\Omega \setminus A \in \mathcal{A}$, et pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{A}$, leur union $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ appartient aussi à $\mathcal{A}$. Les options A, B et D omettent des conditions nécessaires ou incluent des conditions incorrectes.

Réponse : A. La plus petite tribu contenant $\{1\}$ et $\{2\}$ doit contenir $\Omega$. Puisqu'elle est fermée par complémentaire, elle doit contenir $\{1, 2\}^c = \{3\}$ et $\{1\}^c = \{2, 3\}$ et $\{2\}^c = \{1, 3\}$. Ensuite, elle doit être fermée par union dénombrable. Les éléments de cette tribu sont : $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{2, 3\}$, $\Omega=\{1, 2, 3\}$. Il y en a $2^3 = 8$. L'option A est donc correcte.

Réponse : D. Par la fermeture par complémentaire, si $A \in \mathcal{A}$, alors $A^c \in \mathcal{A}$. De même, si $B \in \mathcal{A}$, alors $B^c \in \mathcal{A}$. Par la fermeture par union dénombrable, $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$ pour toute suite $(A_n)$. Pour l'intersection de deux ensembles, on utilise $A \cap B = (A^c \cup B^c)^c$. Si $A^c \in \mathcal{A}$ et $B^c \in \mathcal{A}$, alors leur union $A^c \cup B^c$ (cas fini d'union dénombrable) est dans $\mathcal{A}$. Enfin, le complémentaire de cette union, $(A^c \cup B^c)^c$, est aussi dans $\mathcal{A}$. Les autres options ne permettent pas directement de déduire la fermeture par intersection.

Réponse : B. La définition formelle d'une fonction mesurable $f: \Omega \to \mathbb{R}$ par rapport à une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ est que pour tout ensemble borélien $B \subset \mathbb{R}$, l'ensemble des antécédents $f^{-1}(B) = \{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) \in B \}$ appartient à la tribu $\mathcal{A}$. L'option C est une condition équivalente pour les fonctions à valeurs réelles, mais la définition générale utilise les boréliens. L'option A est la définition d'une fonction à valeurs réelles. L'option D est une condition beaucoup plus forte qui n'est pas nécessaire pour la mesurabilité.

Réponse : A. Oui, la composée de deux fonctions mesurables est mesurable. Plus précisément, si $f: \Omega \to Y$ est $\mathcal{A}$-mesurable et $g: Y \to Z$ est $\mathcal{B}$-mesurable (où $\mathcal{B}$ est une tribu sur $Y$), alors $g \circ f : \Omega \to Z$ est $\mathcal{A}$-mesurable. Dans notre cas, $Y = \mathbb{R}$ et $\mathcal{B}$ est la tribu borélienne sur $\mathbb{R}$. Comme $g$ est continue, elle est borélienne-mesurable. Donc, $g \circ f$ est bien $\mathcal{A}$-mesurable. Les options B, C, D sont incorrectes.

Réponse : C. La tribu borélienne sur $\mathbb{R}$, notée $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, est la plus petite tribu contenant tous les ouverts (ou tous les fermés, ou tous les intervalles). Il est connu qu'elle est aussi engendrée par les ensembles de la forme $[a, \infty)$. La tribu de Lebesgue est plus grande que la tribu borélienne. Les options A et B sont des tribus trop petites.

Réponse : D. La définition de la mesurabilité stipule que pour tout borélien $B \subset \mathbb{R}$, $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$. L'ensemble $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) \le c \}$ correspond à l'image réciproque $f^{-1}((-\infty, c])$. Comme $(-\infty, c]$ est un ensemble borélien, si $f$ est mesurable, alors $f^{-1}((-\infty, c]) \in \mathcal{A}$. L'option B est incorrecte car $c$ est un réel. L'option C suggère une équivalence qui n'est pas immédiate sans manipulation des définitions. L'option D est la plus prudente sans savoir si la fonction est mesurable.

Réponse : D. L'ensemble $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) \neq 0 \}$ peut s'écrire comme l'union des ensembles $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) > 0 \}$ et $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) < 0 \}$. Ou encore, c'est le complémentaire de $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) = 0 \}$. L'ensemble $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) = 0 \}$ est l'image réciproque de $\{0\}$, qui est un ensemble borélien. Donc, si $f$ est mesurable, $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) = 0 \} \in \mathcal{A}$. Par la fermeture par complémentaire, $\{ \omega \in \Omega \mid f(\omega) \neq 0 \} \in \mathcal{A}$. Les options A, B, C sont des cas particuliers.

Réponse : A. La tribu engendrée par une famille d'ensembles $\mathcal{F}$, notée $\sigma(\mathcal{F})$, est par définition la plus petite tribu qui contient tous les ensembles de $\mathcal{F}$. Les autres options ne correspondent pas à cette définition fondamentale.

Réponse : C. Pour que $\mathcal{A}$ soit une tribu, il faut qu'elle soit fermée par union dénombrable. Ici, on a $\{a\} \in \mathcal{A}$ et $\{b\} \in \mathcal{A}$. Leur union est $\{a,b\}$, qui est bien dans $\mathcal{A}$. Le problème vient de la fermeture par union dénombrable : si l'on considère les singletons $\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}$, leur union est $\Omega$. Cependant, l'énoncé semble vouloir tester la fermeture par union des éléments donnés. L'ensemble $\mathcal{A}$ est bien une tribu. Vérifions : $\Omega \in \mathcal{A}$. $\emptyset \in \mathcal{A}$. Complémentaires : $\{a\}^c = \{b,c,d\}$, qui n'est pas dans $\mathcal{A}$. Donc $\mathcal{A}$ n'est pas une tribu. Re-vérifions la liste : $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{c,d\}, \{c\}, \{d\}, \Omega$. Le complémentaire de $\{a\}$ est $\{b,c,d\}$, qui n'est pas dans $\mathcal{A}$. L'option C est formulée de manière confuse. Analysons : $\emptyset$, $\Omega$ sont présents. $\{a\}^c = \{b,c,d\} \notin \mathcal{A}$. Ce n'est pas une tribu. L'option C est incorrecte en son argument. Mais la question est "Est-ce que $\mathcal{A}$ est une tribu ?". La réponse est Non. Le problème est l'union de $\{a\}$ et $\{b\}$ (qui est $\{a,b\}$ et est dans $\mathcal{A}$) n'est pas le critère ici. L'union de $\{a\}$ et $\{c\}$ est $\{a,c\}$, qui n'est pas dans $\mathcal{A}$. Donc elle n'est pas fermée par union. L'option C est donc la bonne réponse car $\mathcal{A}$ n'est pas une tribu pour cette raison (parmi d'autres potentielles).

Réponse : A. Une fonction continue comme $f(x)=x^2$ est toujours mesurable par rapport à la tribu borélienne sur son ensemble d'arrivée (ici $\mathbb{R}$). Pour que $f$ soit mesurable par rapport à une tribu $\mathcal{A}$ sur l'ensemble de départ $\mathbb{R}$, il faut que pour tout borélien $B$ de l'ensemble d'arrivée, $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$. Si $\mathcal{A}$ est la tribu borélienne elle-même, alors cette condition est satisfaite. Les options B et C définissent des tribus trop petites pour contenir tous les pré-images boréliennes de $f$. L'option D est fausse.

Réponse : D. L'axiome de monotonie de la mesure stipule que si $A \subseteq B$, alors $P(A) \le P(B)$. Cela est intuitif : si un événement est inclus dans un autre, il ne peut pas avoir une probabilité plus grande. Les options A, B, C ne sont pas des conséquences générales de $A \subseteq B$. Par exemple, si $A = B$, alors $P(A)=P(B)$, mais si $A$ est strictement inclus dans $B$, $P(A)$ peut être strictement inférieur à $P(B)$.

Réponse : B. La tribu des parties de $\Omega$, $\mathcal{P}(\Omega)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $\Omega$. C'est la plus grande collection d'ensembles possible sur $\Omega$, et elle satisfait évidemment les axiomes d'une tribu. La tribu triviale est la plus petite tribu non vide. Les options C et D définissent la tribu triviale $\{\emptyset, \Omega\}$ car $\emptyset$ et $\Omega$ sont des éléments de toute tribu, et l'union dénombrable et le complémentaire des éléments de $\{\emptyset, \Omega\}$ ne font que produire $\emptyset$ ou $\Omega$.