L'essentiel à connaître
Si $f$ envoie un espace métrique complet $E$ dans lui-même en multipliant les distances par au plus un même facteur $k < 1$, elle a un seul point fixe $\ell$ (un point tel que $f(\ell) = \ell$), et la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ y mène depuis n'importe quel $x_0$. Exemple : $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ vérifie $|f(x) - f(y)| = \frac12 |x - y|$ sur $\mathbb{R}$ ; depuis $x_0 = 0$, tu obtiens $1$, $\frac32$, $\frac74$, qui s'approchent de $2$, et $f(2) = 2$. C'est le théorème du point fixe de Banach, dit aussi de Picard.
Définition : $f$ est $k$-lipschitzienne si $d(f(x), f(y)) \le k\, d(x, y)$ pour tous $x, y$ de $E$ ; elle est contractante si c'est vrai avec un $k < 1$. $E$ est complet si toute suite de Cauchy (ses termes deviennent aussi proches qu'on veut les uns des autres) converge dans $E$ : c'est le cas de $\mathbb{R}$ et de tout intervalle fermé, même non borné comme $[0\,;+\infty[$, pas de $]0\,;\,1]$.
Sur un intervalle fermé $I$, tu vérifies deux choses : la stabilité, $f(I) \subset I$, puis la contraction. Si $|f'(x)| \le k < 1$ sur tout $I$, l'inégalité des accroissements finis donne $|f(x) - f(y)| \le k\,|x - y|$. Ainsi, $\cos$ envoie $[0\,;\,1]$ dans $[\cos 1\,;\,1] \subset [0\,;\,1]$ et $|\sin x| \le \sin 1 < 1$ sur cet intervalle : l'équation $\cos x = x$ y a une seule solution.
La preuve tient en trois lignes. On a $d(x_{n+1}, x_n) \le k^n\, d(x_1, x_0)$, et en sommant cette série géométrique, on voit que $(x_n)$ est de Cauchy : elle converge dans $E$ complet, et sa limite est fixe car $f$ est continue. Si $a$ et $b$ sont deux points fixes, $d(a, b) = d(f(a), f(b)) \le k\, d(a, b)$ force $d(a, b) = 0$.
Formule : $d(x_n, \ell) \le \dfrac{k^n}{1-k}\, d(x_0, x_1)$. Elle n'utilise que $x_0$ et $x_1 = f(x_0)$, pas $\ell$ qu'on ignore : c'est elle qui dit combien d'itérations suffisent (cours de l'ENS Rennes).
Piège classique : Chaque hypothèse compte. $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ sans constante $k < 1$ commune ne suffit pas, ni $|f'(x)| < 1$ en chaque point. Sans complétude, la limite peut sortir de $E$ ; sans $f(E) \subset E$, le point fixe peut être ailleurs. Enfin, le théorème ne marche que dans un sens : une fonction non contractante peut avoir un point fixe.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Que demande le théorème de Banach pour $f : E \to E$, avec $(E, d)$ espace métrique ?
Réponse : B. Il faut un espace complet et une constante $k$ strictement inférieure à $1$, la même pour tous les couples. Le piège D est trop faible : $x \mapsto x + 1$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ et n'a aucun point fixe.
Question 2 : Sur $\mathbb{R}$, avec $d(x, y) = |x - y|$, quelle est la plus petite constante $k$ telle que $f(x) = \frac{x}{3} + 2$ soit $k$-lipschitzienne ?
Réponse : A. $|f(x) - f(y)| = \frac13 |x - y|$ : le $2$ s'élimine dans la différence. Le piège C l'ajoute au coefficient, alors qu'il ne change pas l'écart entre deux images.
Question 3 : Quel est le point fixe $\ell$ de $f(x) = \frac{x}{3} + 2$ sur $\mathbb{R}$ ?
Réponse : D. On résout $\ell = \frac{\ell}{3} + 2$, soit $\frac{2\ell}{3} = 2$, donc $\ell = 3$, et on contrôle : $f(3) = 1 + 2 = 3$. Le piège A confond le point fixe avec $f(0) = 2$.
Question 4 : Muni de $d(x, y) = |x - y|$, lequel de ces ensembles n'est pas complet ?
Réponse : C. La suite $\left(\frac1n\right)_{n \ge 1}$ est de Cauchy dans $]0\,;\,1]$, mais sa limite $0$ n'y est pas. Le piège est D : $[0\,;+\infty[$ n'est pas borné, mais c'est un intervalle fermé, donc complet : être complet n'a rien à voir avec être borné.
Question 5 : Pourquoi $\cos$ est-elle contractante sur $[0\,;\,1]$ ?
Réponse : A. La dérivée de $\cos$ est $-\sin$, et $\sin$ est positive et croissante sur $[0\,;\,1]$, donc $|\sin x| \le \sin 1$. L'inégalité des accroissements finis donne $|\cos x - \cos y| \le \sin 1 \cdot |x - y|$, avec $\sin 1 < 1$. Le piège B majore la fonction au lieu de sa dérivée, ce qui ne dit rien de l'écart entre deux images.
Question 6 : $f : E \to E$ est $\frac12$-lipschitzienne, $E$ est complet et $d(x_0, x_1) = 1$. Quelle majoration de $d(x_3, \ell)$ donne la formule du cours ?
Réponse : C. $d(x_3, \ell) \le \frac{k^3}{1-k}\, d(x_0, x_1) = \frac{1/8}{1/2} = \frac14$. Le piège A oublie le facteur $\frac{1}{1-k}$, qui vient de $d(x_0, \ell) \le d(x_0, x_1) + d(x_1, \ell) \le d(x_0, x_1) + k\, d(x_0, \ell)$.
Question 7 : Sur $[0\,;\,1]$, $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ vérifie $|f(x) - f(y)| = \frac12 |x - y|$. Que conclure ?
Réponse : B. $f(1) = \frac32$ sort de $[0\,;\,1]$ : $f$ n'envoie pas l'intervalle dans lui-même, et son seul point fixe, $2$, est d'ailleurs hors de l'intervalle. Le piège A applique le théorème sans vérifier la stabilité $f(E) \subset E$.
Question 8 : Dans la preuve, pourquoi la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge-t-elle ?
Réponse : A. La majoration $d(x_{n+1}, x_n) \le k^n\, d(x_1, x_0)$ et la somme géométrique montrent que $(x_n)$ est de Cauchy ; la complétude de $E$ lui donne une limite. Le piège B ne suffit pas : $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ tend vers $0$, alors que $(\sqrt{n})$ diverge.
Question 9 : Avec $k = \frac12$ et $d(x_0, x_1) = 1$, à partir de quel rang $n$ la formule du cours garantit-elle $d(x_n, \ell) \le 10^{-3}$ ?
Réponse : D. $\frac{k^n}{1-k} = 2^{1-n}$, et $2^{1-n} \le 10^{-3}$ revient à $2^{n-1} \ge 1000$. Comme $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$, il faut $n - 1 \ge 10$, soit $n \ge 11$. Le piège A oublie le facteur $\frac{1}{1-k} = 2$ et résout $2^{-n} \le 10^{-3}$.
Question 10 : On pose $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \cos u_n$. Que fait la suite $(u_n)$ ?
Réponse : B. $u_1 = \cos 5$ est dans $[-1\,;\,1]$, donc $u_2 = \cos u_1$ est dans $[\cos 1\,;\,1] \subset [0\,;\,1]$, car $\cos$ est paire et décroissante sur $[0\,;\,1]$. Dès $u_2$, la suite reste dans $[0\,;\,1]$, où $\cos$ est contractante et stable : le théorème donne la convergence vers $\alpha$. Le piège A oublie qu'il suffit que la suite entre dans l'intervalle.
Question 11 : Sur $[1\,;+\infty[$, $f(x) = x + \frac1x$ vérifie $0 \le f'(x) < 1$ et $f([1\,;+\infty[) \subset [1\,;+\infty[$. Combien $f$ a-t-elle de points fixes ?
Réponse : C. $f(x) = x$ imposerait $\frac1x = 0$, impossible. $f$ n'est pas contractante : $|f(x) - f(y)| = \left(1 - \frac{1}{xy}\right)|x - y|$, et ce coefficient s'approche de $1$ quand $x$ et $y$ grandissent, donc aucun $k < 1$ commun ne convient. Le piège A confond « $|f'(x)| < 1$ en chaque point » et « $|f'(x)| \le k < 1$ partout ».
Question 12 : Sur $]0\,;\,1]$, $f(x) = \frac{x}{2}$ est $\frac12$-lipschitzienne et envoie $]0\,;\,1]$ dans lui-même. On part de $x_0 = 1$. Que se passe-t-il ?
Réponse : D. $x_n = \frac{1}{2^n}$ est de Cauchy, comme dans la preuve, mais sa limite $0$ manque à $]0\,;\,1]$ : $f$ n'a aucun point fixe dans cet ensemble. Le piège A oublie que $0 \notin\, ]0\,;\,1]$, et c'est justement ce que la complétude aurait garanti.
Question 13 : Sur $[0\,;\,\frac12]$, on prend $f(x) = x^2$. Que peut-on dire ?
Réponse : A. $|x^2 - y^2| = (x + y)\,|x - y|$, et $x + y$ s'approche de $1$ quand $x$ et $y$ s'approchent de $\frac12$ : aucun $k < 1$ ne convient. Pourtant $x^2 = x$ donne $x = 0$ ou $x = 1$, et seul $0$ est dans l'intervalle. Le piège B lit le théorème à l'envers : ses hypothèses suffisent à garantir un point fixe, elles ne sont pas nécessaires.
Sources
ENS Rennes, préparation à l'agrégation, « Autour du théorème de point fixe de Banach », cours-TD 1, 2020-2021 : énoncé, majoration de l'erreur et contre-exemples classiques (document en ligne).