L'essentiel à connaître
La transformée de Laplace change une équation différentielle en équation algébrique : à partir du repos, dériver revient à multiplier par $p$. Pour une fonction causale $f$ (nulle pour $t<0$), on pose $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)\,e^{-pt}\,dt$. Par exemple, $e^{-2t}\,\mathcal{U}(t)$ a pour transformée $\frac{1}{p+2}$, où l'échelon unité $\mathcal{U}$ vaut $0$ avant $t=0$ et $1$ après.
Beaucoup de livres notent $s$ au lieu de $p$ : c'est la même variable. La transformée est linéaire : $af+bg$ a pour transformée $aF+bG$. Pour retrouver $f$ à partir de $F$ (on dit chercher l'original), on décompose $F(p)$ en éléments simples, des fractions comme $\frac{A}{p+a}$, puis on lit chaque terme dans le tableau. Dans ce tableau, $f(0^+)$ désigne la limite de $f$ en $0$ à droite.
| Fonction causale | Transformée |
|---|---|
| Impulsion de Dirac $\delta(t)$ | $1$ |
| $\mathcal{U}(t)$ | $\frac{1}{p}$ |
| $t\,\mathcal{U}(t)$ | $\frac{1}{p^2}$ |
| $e^{-at}\,\mathcal{U}(t)$ | $\frac{1}{p+a}$ |
| $f'(t)$ | $pF(p)-f(0^+)$ |
| $e^{-at}f(t)$ | $F(p+a)$ |
| $f(t-\tau)\,\mathcal{U}(t-\tau)$ (retard) | $e^{-\tau p}F(p)$ |
Pour un système linéaire décrit par une équation différentielle à coefficients constants, et qui part du repos (conditions initiales nulles), la fonction de transfert est $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$ : transformée de la sortie sur transformée de l'entrée. Ses pôles annulent son dénominateur, ses zéros son numérateur. Le degré du dénominateur est l'ordre du système, et $H(0)$ son gain statique, le rapport sortie sur entrée en régime permanent.
L'impulsion de Dirac (un choc très bref, d'aire $1$) a pour transformée $1$. La réponse impulsionnelle $h(t)$, sortie obtenue pour cette entrée, est donc l'original de $H(p)$.
À retenir : un système est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative. Un pôle nul ou imaginaire pur suffit à le rendre non stable. Les zéros ne jouent aucun rôle dans la stabilité.
Règle : valeur initiale $f(0^+)=\lim_{p\to+\infty}pF(p)$ ; valeur finale $\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$.
Piège classique : la valeur finale n'a de sens que si $f(t)$ a une limite finie, ce qui est le cas quand tous les pôles de $pF(p)$ ont une partie réelle strictement négative. Sinon, la formule donne un nombre faux.
Ces outils figurent notamment au programme de sciences industrielles de l'ingénieur de PTSI-PT (2021), qui donne les théorèmes de la valeur initiale, de la valeur finale et du retard sans démonstration.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Quelle est la transformée de Laplace de l'échelon unité $\mathcal{U}(t)$ ?
Réponse : C. Pour $p>0$, $\int_0^{+\infty}e^{-pt}\,dt=\left[-\frac{e^{-pt}}{p}\right]_0^{+\infty}=\frac{1}{p}$. Le piège $\frac{1}{p^2}$ est la transformée de la rampe $t\,\mathcal{U}(t)$, et $1$ celle de l'impulsion de Dirac.
Question 2 : Quelle est la transformée de $e^{-3t}\,\mathcal{U}(t)$ ?
Réponse : A. $\int_0^{+\infty}e^{-(p+3)t}\,dt=\frac{1}{p+3}$ pour $p>-3$. Le piège D multiplie les transformées de $\mathcal{U}$ et de $e^{-3t}$ : or la transformée d'un produit n'est pas le produit des transformées.
Question 3 : Si $f$ a pour transformée $F(p)$, quelle est la transformée de sa dérivée $f'$ ?
Réponse : D. Une intégration par parties donne $\int_0^{+\infty}f'(t)\,e^{-pt}\,dt=pF(p)-f(0^+)$. La A n'est juste que si $f(0^+)=0$, et la C est la transformée de $\int_0^{t}f(u)\,du$, pas de $f'$.
Question 4 : Un système vérifie $\tau\,s'(t)+s(t)=K\,e(t)$ et part du repos. Quelle est sa fonction de transfert $H(p)$ ?
Réponse : A. Partant du repos, $s'$ devient $p\,S(p)$, donc $(1+\tau p)\,S(p)=K\,E(p)$ : c'est un premier ordre, de gain statique $K$. Le piège B donne le rapport à l'envers, entrée sur sortie.
Question 5 : Quels sont les pôles de $H(p)=\frac{p+3}{p^2+3p+2}$ ?
Réponse : B. Les pôles annulent le dénominateur : $p^2+3p+2=(p+1)(p+2)$. Le piège A confond pôle et zéro : $-3$ annule le numérateur, c'est le zéro de $H$.
Question 6 : Lequel de ces systèmes est stable ?
Réponse : D. Ses pôles $-1$ et $-2$ ont une partie réelle strictement négative. Le piège A n'a aucun pôle de partie réelle positive, mais ses pôles $2i$ et $-2i$ sont imaginaires purs : sa réponse oscille sans fin. B a un pôle en $1$, C un pôle nul.
Question 7 : Un système a pour fonction de transfert $H(p)=\frac{2}{p+4}$. Quelle est sa réponse impulsionnelle $h(t)$ ?
Réponse : C. L'impulsion de Dirac a pour transformée $1$, donc $S(p)=H(p)$ et $h(t)$ est l'original de $\frac{2}{p+4}$. Le piège B est la réponse indicielle, c'est-à-dire à un échelon unité : elle vient de $\frac{H(p)}{p}=\frac{2}{p(p+4)}$.
Question 8 : Quel est l'original de $F(p)=\frac{1}{p(p+1)}$ ?
Réponse : B. En éléments simples, $\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$, qui se lit $1-e^{-t}$ pour $t>0$. Le piège A correspond à $\frac{1}{(p+1)^2}$, un pôle double absent ici.
Question 9 : Sachant que $t\,\mathcal{U}(t)$ a pour transformée $\frac{1}{p^2}$, quelle est celle de $t\,e^{-2t}\,\mathcal{U}(t)$ ?
Réponse : D. Multiplier par $e^{-2t}$ remplace $p$ par $p+2$ dans $\frac{1}{p^2}$. Le piège A applique le théorème du retard, qui transforme $f(t-2)\,\mathcal{U}(t-2)$, pas $e^{-2t}f(t)$.
Question 10 : Quelle est la transformée de $\mathcal{U}(t-3)$, l'échelon qui démarre à $t=3$ ?
Réponse : A. Retarder de $3$ multiplie la transformée $\frac{1}{p}$ par $e^{-3p}$. Le piège C confond les deux règles : $\frac{1}{p+3}$ est la transformée de $e^{-3t}\,\mathcal{U}(t)$, pas d'un échelon retardé.
Question 11 : On applique un échelon d'amplitude $2$ au système $H(p)=\frac{10}{p^2+3p+2}$, parti du repos. Vers quelle valeur tend sa sortie ?
Réponse : C. Avec $E(p)=\frac{2}{p}$, $p\,S(p)=2\,H(p)$ tend vers $2\times5=10$ quand $p\to0$ ; le théorème s'applique, car les pôles $-1$ et $-2$ sont négatifs. Le piège A oublie l'amplitude de l'échelon : $5$ n'est que le gain statique $H(0)$.
Question 12 : Une fonction $f$ a pour transformée $F(p)=\frac{3p+1}{p(p+2)}$. Que vaut $f(0^+)$ ?
Réponse : B. Par la valeur initiale, $pF(p)=\frac{3p+1}{p+2}$ tend vers $3$ quand $p\to+\infty$. Le piège A est la valeur finale, obtenue avec $p\to0$ : en effet, $f(t)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}e^{-2t}$ part de $3$ et tend vers $\frac{1}{2}$.
Question 13 : Une fonction $f$ a pour transformée $F(p)=\frac{1}{p(p-1)}$. Vers quoi tend $f(t)$ quand $t\to+\infty$ ?
Réponse : D. $\frac{1}{p(p-1)}=\frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}$, donc $f(t)=e^{t}-1$ pour $t>0$, qui tend vers $+\infty$. Le piège A applique la valeur finale sans regarder les pôles : $pF(p)=\frac{1}{p-1}$ a un pôle en $1$, et le théorème ne s'applique pas.
Question 14 : On résout $y'(t)+2y(t)=4$ pour $t>0$, avec $y(0^+)=1$. Que vaut $Y(p)$, la transformée de $y$ ?
Réponse : B. La transformée donne $p\,Y(p)-1+2\,Y(p)=\frac{4}{p}$, donc $(p+2)\,Y(p)=\frac{p+4}{p}$ ; on vérifie que $y(t)=2-e^{-2t}$ a bien cette transformée. Le piège A oublie $y(0^+)$ : on ne l'efface que pour une fonction de transfert, où le système part du repos.
Question 15 : Le système de fonction de transfert $H(p)=\frac{p-1}{(p+1)(p+2)}$ est-il stable ?
Réponse : C. Seuls les pôles décident de la stabilité, et ici ils valent $-1$ et $-2$. Le piège A s'inquiète du zéro en $1$ : il change l'allure de la réponse, pas la stabilité. La D prend ce zéro pour un pôle.
Sources
Programme de sciences industrielles de l'ingénieur des classes préparatoires PTSI et PT, ministère de l'Enseignement supérieur, 2021 : texte publié sur éduscol.