Une suite $(u_n)$ d'un espace vectoriel normé converge vers $\ell$ quand la suite de réels $\|u_n - \ell\|$ tend vers $0$ : pour le prouver, tu te ramènes donc à une limite de réels. Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la norme $\|(x, y)\|_\infty = \max(|x|, |y|)$, la suite définie pour $n \geqslant 1$ par $u_n = \left(\frac{1}{n}, 2 + \frac{(-1)^n}{n^2}\right)$ converge vers $(0, 2)$, car $\|u_n - (0, 2)\|_\infty = \max\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n}$, qui tend vers $0$. Reste à savoir quand le choix de la norme change la réponse, et comment prouver qu'une suite diverge.
Prouver qu'une suite converge
Le cadre est un espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ : la norme mesure la taille d'un vecteur, et la distance associée $d(x, y) = \|x - y\|$ mesure l'écart entre deux vecteurs. Le programme de MP et MPI s'arrête là : l'espace métrique général, un ensemble quelconque muni d'une distance, y est hors programme. Si ton cours en parle, remplace $\|u_n - \ell\|$ par $d(u_n, \ell)$ dans la définition.
Définition : une suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ converge vers $\ell \in E$ si $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ \|u_n - \ell\| \leqslant \varepsilon,$$ c'est-à-dire si la suite réelle $\big(\|u_n - \ell\|\big)$ tend vers $0$. Une suite qui ne converge vers aucun élément de $E$ diverge.
En pratique, on écrit rarement les $\varepsilon$ : tu majores $\|u_n - \ell\|$ par une suite de réels qui tend vers $0$, et le théorème des gendarmes conclut. Dans l'exemple d'ouverture, la majoration était même une égalité.
La limite est unique : si $(u_n)$ tend vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors $\|\ell - \ell'\| \leqslant \|\ell - u_n\| + \|u_n - \ell'\|$, qui tend vers $0$, donc $\ell = \ell'$. Une suite convergente est bornée : avec $\varepsilon = 1$, on a $\|u_n\| \leqslant \|\ell\| + 1$ à partir d'un rang $N$, et il ne reste avant qu'un nombre fini de termes. Les opérations marchent comme dans $\mathbb{R}$ : si $u_n \to \ell$, $v_n \to \ell'$ et si la suite de scalaires $(\lambda_n)$ tend vers $\lambda$, alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$ et $\lambda_n u_n \to \lambda \ell$.
Normes équivalentes et dimension finie
Deux normes $N$ et $N'$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe deux réels $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ tels que $\alpha N \leqslant N' \leqslant \beta N$. Alors $N(u_n - \ell)$ et $N'(u_n - \ell)$ tendent vers $0$ en même temps : une suite converge pour l'une si et seulement si elle converge pour l'autre, vers la même limite.
Propriété : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (la démonstration n'est pas exigible). Une suite y converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge, et la limite a pour coordonnées les limites des coordonnées.
Dans $\mathbb{R}^p$, dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ ou dans $\mathbb{R}_p[X]$, tu peux donc oublier la norme et raisonner coefficient par coefficient.
Exemple : dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, pose $A_n = \begin{pmatrix} n \sin\frac{1}{n} & \frac{\ln n}{n} \\ 0 & \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{pmatrix}$ pour $n \geqslant 1$. Ses coefficients sont ses coordonnées dans la base canonique ; ils tendent vers $1$, $0$, $0$ et $\mathrm{e}$. Donc $(A_n)$ converge vers $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{e} \end{pmatrix}$, quelle que soit la norme choisie.
En dimension infinie, la norme compte
Hors de la dimension finie, deux normes ne sont pas toujours équivalentes, et une même suite peut converger pour l'une et diverger pour l'autre. L'exemple type se passe dans $E = \mathcal{C}([0\,;\,1], \mathbb{R})$, l'espace des fonctions continues de $[0\,;\,1]$ dans $\mathbb{R}$, avec la norme de la convergence uniforme $\|f\|_\infty = \sup_{[0\,;\,1]} |f|$ et celle de la convergence en moyenne $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t$. On pose $f_n(t) = t^n$.
Pour $\|\cdot\|_1$, $\|f_n\|_1 = \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t = \frac{1}{n+1}$ tend vers $0$ : $(f_n)$ converge vers la fonction nulle.
Pour $\|\cdot\|_\infty$, $\|f_n - 0\|_\infty = f_n(1) = 1$ pour tout $n$ : $(f_n)$ ne tend pas vers la fonction nulle. Elle ne tend pas non plus vers une autre fonction $g$. Pour toute $h$ de $E$, $\|h\|_1 \leqslant \|h\|_\infty$, puisqu'on intègre sur un intervalle de longueur $1$ une fonction majorée par $\|h\|_\infty$. Si $f_n \to g$ pour $\|\cdot\|_\infty$, alors $f_n \to g$ pour $\|\cdot\|_1$ aussi, et l'unicité de la limite donne $g = 0$ : contradiction. La suite $(f_n)$ diverge pour $\|\cdot\|_\infty$.
Au passage, $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes sur $E$, puisque des normes équivalentes ont les mêmes suites convergentes. C'est la méthode attendue : exhiber une suite qui converge pour une norme et pas pour l'autre. Le calcul le confirme : $\frac{\|f_n\|_\infty}{\|f_n\|_1} = n + 1$ n'est pas borné, alors qu'il le serait par $\beta$ si l'on avait $\|\cdot\|_\infty \leqslant \beta \|\cdot\|_1$.
Piège classique : en dimension infinie, « $(f_n)$ converge » ne veut rien dire tant que la norme n'est pas fixée. Et la convergence en chaque point ne suffit pas : ici $f_n(t)$ tend vers $0$ pour $t < 1$ et vers $1$ en $t = 1$, et cette limite point par point n'est même pas continue.
Prouver qu'une suite diverge
Une suite extraite de $(u_n)$ s'écrit $(u_{\varphi(n)})$, avec $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante, et une valeur d'adhérence de $(u_n)$ est la limite d'une de ses suites extraites. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, toutes ses suites extraites convergent vers $\ell$, qui est alors sa seule valeur d'adhérence.
D'où deux façons de prouver une divergence. La première : trouver deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes, car une suite qui a au moins deux valeurs d'adhérence diverge. La seconde : montrer que la suite n'est pas bornée.
Exemple : la matrice du quart de tour $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vérifie $R^2 = -I_2$, donc $R^{4k} = I_2$ et $R^{4k+2} = -I_2$ pour tout entier $k$. Les suites extraites $(R^{4k})$ et $(R^{4k+2})$ sont constantes, de limites $I_2$ et $-I_2$ différentes : la suite $(R^n)$ diverge.
Piège classique : une seule valeur d'adhérence ne prouve pas la convergence. Dans $\mathbb{R}$, la suite qui vaut $n$ pour $n$ impair et $0$ pour $n$ pair a $0$ pour unique valeur d'adhérence, et pourtant elle diverge : elle n'est pas bornée. La version juste est au programme : en dimension finie, une suite bornée converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence.
Exercices corrigés
Trois exercices, du calcul direct au raisonnement de colle : rédige ta réponse avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Deux villes A et B échangent des habitants (données fictives). Chaque année, 10 % des habitants de A partent s'installer en B et 20 % de ceux de B partent en A ; personne d'autre n'arrive ni ne part. On note $X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ les populations après $n$ années, de sorte que $X_{n+1} = M X_n$ avec $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$. On admet que, pour tout $n$, $$M^n = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{0{,}7^n}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Montre que $(M^n)$ converge, puis donne les populations limites si A compte 100 000 habitants au départ et B 200 000.
Correction :
Chaque coefficient de $M^n$ s'écrit $c + d \times 0{,}7^n$, avec $c$ et $d$ fixes. Comme $0 < 0{,}7 < 1$, $0{,}7^n$ tend vers $0$, donc chaque coefficient converge. En dimension finie, cela suffit : $(M^n)$ converge vers $L = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, pour n'importe quelle norme.
Ensuite $X_n = M^n X_0$, et chaque coordonnée de $X_n$ est une combinaison linéaire des coefficients de $M^n$, à coefficients fixes $a_0$ et $b_0$ : $X_n$ converge vers $L X_0 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2(a_0 + b_0) \\ a_0 + b_0 \end{pmatrix}$. Avec $a_0 + b_0 = 300\,000$, on trouve 200 000 habitants en A et 100 000 en B. Ces valeurs ne dépendent que de la population totale, pas de sa répartition de départ.
Exercice 2 : Dans $E = \mathcal{C}([0\,;\,1], \mathbb{R})$, on pose $h_n(t) = n t (1 - t)^n$ pour $n \geqslant 1$. Étudie la convergence de $(h_n)$ pour $\|\cdot\|_1$, puis pour $\|\cdot\|_\infty$.
Correction :
Pour $\|\cdot\|_1$ : $h_n \geqslant 0$ sur $[0\,;\,1]$ et, avec le changement de variable $s = 1 - t$, $$\int_0^1 t(1-t)^n\,\mathrm{d}t = \int_0^1 (1-s)\,s^n\,\mathrm{d}s = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$ Donc $\|h_n\|_1 = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \leqslant \frac{1}{n+2}$, qui tend vers $0$ : $(h_n)$ converge vers la fonction nulle pour $\|\cdot\|_1$.
Pour $\|\cdot\|_\infty$ : $h_n'(t) = n(1-t)^{n-1}\big(1 - (n+1)t\big)$ est positive puis négative sur $[0\,;\,1]$, donc le maximum de $h_n$ est atteint en $\frac{1}{n+1}$ : $$\|h_n\|_\infty = h_n\left(\frac{1}{n+1}\right) = \frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1},$$ qui tend vers $\mathrm{e}^{-1}$, car $m \ln\left(1 - \frac{1}{m}\right) \to -1$ quand $m \to +\infty$.
Si $(h_n)$ convergeait vers $g$ pour $\|\cdot\|_\infty$, elle convergerait vers $g$ pour $\|\cdot\|_1$, et l'unicité de la limite imposerait $g = 0$. Or $\|h_n - 0\|_\infty$ tend vers $\mathrm{e}^{-1} \neq 0$ : $(h_n)$ diverge pour $\|\cdot\|_\infty$.
Exercice 3 : Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne $\|\cdot\|_2$, on pose $u_n = \big(\cos(\ln n), \sin(\ln n)\big)$ pour $n \geqslant 1$. Montre que $\|u_{n+1} - u_n\|_2$ tend vers $0$. La suite $(u_n)$ converge-t-elle ?
Correction :
Pour tous réels $a$ et $b$, en développant, $\big\|(\cos a, \sin a) - (\cos b, \sin b)\big\|_2^2 = 2 - 2\cos(a - b) = 4\sin^2\frac{a - b}{2}$. Comme $|\sin x| \leqslant |x|$, cette distance est au plus $|a - b|$. Avec $a = \ln(n+1)$ et $b = \ln n$, on obtient $\|u_{n+1} - u_n\|_2 \leqslant \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$, qui tend vers $0$.
Pourtant la suite diverge. Pour $k \geqslant 1$, pose $n_k = \lfloor \mathrm{e}^{2k\pi} \rfloor$, où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière de $x$ ; la suite $(n_k)$ est strictement croissante. Comme $\mathrm{e}^{2k\pi} - 1 < n_k \leqslant \mathrm{e}^{2k\pi}$, on a $0 \leqslant 2k\pi - \ln n_k < -\ln\left(1 - \mathrm{e}^{-2k\pi}\right)$, qui tend vers $0$. L'inégalité précédente, avec $a = \ln n_k$ et $b = 2k\pi$, donne $\|u_{n_k} - (1, 0)\|_2 \leqslant 2k\pi - \ln n_k$ : $u_{n_k} \to (1, 0)$. De même, avec $m_k = \lfloor \mathrm{e}^{(2k+1)\pi} \rfloor$, $u_{m_k} \to (-1, 0)$. Deux valeurs d'adhérence distinctes : $(u_n)$ diverge.
Le piège : $\|u_{n+1} - u_n\| \to 0$ dit seulement que les pas rapetissent. Ici la suite fait le tour du cercle unité sans fin, de plus en plus lentement, et ne se fixe nulle part.
À retenir
À retenir :
- $(u_n)$ converge vers $\ell$ quand $\|u_n - \ell\| \to 0$ : majore cette distance par une suite de réels qui tend vers $0$.
- Des normes équivalentes donnent les mêmes suites convergentes, et en dimension finie toutes les normes le sont : une suite y converge si et seulement si ses coordonnées dans une base convergent.
- En dimension infinie, précise toujours la norme : $(t^n)$ tend vers $0$ pour $\|\cdot\|_1$ et diverge pour $\|\cdot\|_\infty$.
- Une suite qui converge pour une norme et pas pour une autre prouve que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
- Pour une divergence : deux valeurs d'adhérence distinctes, ou une suite non bornée.
- $\|u_{n+1} - u_n\| \to 0$ ne prouve pas la convergence.
Sources
- Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MP et MPI (2021), paragraphes « Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé », « Comparaison des normes » et « Espaces vectoriels normés de dimension finie » : texte officiel en PDF.