La topologie donne un sens précis au mot « proche », et l'analyse fonctionnelle applique ce sens à des espaces dont les points sont des fonctions. La méthode tient en une ligne : choisis une distance ou une norme, puis traduis chaque question en suites. Par exemple, dans l'espace $C([0\,;1])$ des fonctions continues sur $[0\,;1]$, muni de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0\,;1]} |f(x)|$, dire que $f_n$ tend vers $f$, c'est dire que $\|f_n - f\|_\infty$ tend vers 0 : c'est exactement la convergence uniforme.
Distance, ouverts et continuité
Définition : une distance sur un ensemble $X$ est une application $d : X \times X \to [0\,;+\infty[$ telle que, pour tous $x, y, z$ de $X$ : $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y$ ; $d(x,y) = d(y,x)$ ; $d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$ (inégalité triangulaire). Le couple $(X,d)$ est un espace métrique.
La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est $B(a,r) = \{x \in X : d(x,a) < r\}$. Une partie $U$ est ouverte si elle contient une boule autour de chacun de ses points, et fermée si son complémentaire est ouvert. Un espace topologique se donne directement ses ouverts, sans distance ; on reste ici dans les espaces métriques, où tout se vérifie avec des suites.
Une partie $F$ est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $F$ reste dans $F$. Une application $f : X \to Y$ est continue en $a$ quand
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in X,\quad d_X(x,a) < \delta \Rightarrow d_Y\big(f(x),f(a)\big) < \varepsilon,$$
ce qui revient à : pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $a$, $f(x_n)$ tend vers $f(a)$.
Pour prouver qu'une partie est ouverte ou fermée, passe par la continuité : l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, celle d'un fermé est un fermé. Ainsi, le disque $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leqslant 1\}$ est fermé : c'est l'image réciproque de $]-\infty\,;1]$ par $(x,y) \mapsto x^2 + y^2$.
Piège classique : « fermé » n'est pas le contraire d'« ouvert ». Dans $\mathbb{R}$, $[0\,;1[$ n'est ni l'un ni l'autre : aucune boule centrée en 0 n'y tient, et la suite $1 - \frac{1}{n}$ y reste mais converge vers 1, qui en sort.
Compacité : extraire une sous-suite convergente
Une partie $K$ d'un espace métrique est compacte si toute suite d'éléments de $K$ a une sous-suite (une suite extraite $(x_{\varphi(n)})$, avec $\varphi$ strictement croissante) qui converge dans $K$. C'est la propriété de Bolzano-Weierstrass. Dans un espace métrique, elle équivaut à celle de Borel-Lebesgue : de toute famille d'ouverts qui recouvre $K$, on peut extraire une sous-famille finie qui le recouvre encore.
Dans un espace vectoriel normé (un espace vectoriel muni d'une norme, qui mesure la longueur des vecteurs) de dimension finie, comme $\mathbb{R}^n$, les compacts sont exactement les fermés bornés. Le disque $D$ est fermé et borné : il est compact.
Propriété : l'image d'un compact par une application continue est compacte. En particulier, une fonction continue $f : K \to \mathbb{R}$ sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes : il existe $a$ et $b$ dans $K$ tels que $f(a) \leqslant f(x) \leqslant f(b)$ pour tout $x \in K$.
Avant de chercher un maximum, prouve donc qu'il existe. Sans compacité, rien n'est garanti : sur $]0\,;1]$, qui n'est pas fermé dans $\mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue mais pas bornée.
Même idée pour la connexité. Un connexe est d'un seul tenant : on ne peut pas le couper en deux ouverts disjoints non vides. Son image par une application continue est connexe, et les connexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles : c'est le théorème des valeurs intermédiaires.
Complétude, espaces de Banach et point fixe
Une suite $(x_n)$ est de Cauchy si ses termes finissent par être tous proches les uns des autres : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que $d(x_p,x_q) < \varepsilon$ dès que $p, q \geqslant N$. Une suite convergente est toujours de Cauchy, mais pas l'inverse : dans $\mathbb{Q}$, les approximations décimales de $\sqrt{2}$ forment une suite de Cauchy sans limite dans $\mathbb{Q}$.
Définition : un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy y converge. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance $d(x,y) = \|x - y\|$.
$\mathbb{R}$ est complet, et toute partie fermée d'un espace complet l'est aussi. $C([0\,;1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est un Banach, parce qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue. Muni de $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t$, le même espace n'est pas complet : la norme compte autant que l'espace.
Théorème du point fixe : soit $(X,d)$ un espace métrique complet non vide et $g : X \to X$ contractante, c'est-à-dire qu'il existe $k \in [0\,;1[$ tel que $d\big(g(x),g(y)\big) \leqslant k\,d(x,y)$ pour tous $x, y$ de $X$. Alors $g$ a un unique point fixe $\ell$. Pour tout $x_0 \in X$, la suite définie par $x_{n+1} = g(x_n)$ converge vers $\ell$, et $d(x_n,\ell) \leqslant k^n\,d(x_0,\ell)$.
D'où ça vient : $d(x_{n+1},x_n) \leqslant k^n\,d(x_1,x_0)$, donc, en sommant une série géométrique, $(x_n)$ est de Cauchy. La complétude lui donne une limite, fixe par $g$ car $g$ est continue. Deux points fixes $\ell$ et $\ell'$ vérifieraient $d(\ell,\ell') \leqslant k\,d(\ell,\ell')$, donc $\ell = \ell'$.
Une preuve classique du théorème de Cauchy-Lipschitz passe par là : quand $F$ est continue et lipschitzienne en $y$, la solution de $y' = F(t,y)$ avec $y(t_0) = y_0$ est, près de $t_0$, l'unique point fixe de $y \mapsto y_0 + \int_{t_0}^t F\big(s,y(s)\big)\,\mathrm{d}s$ dans un espace de fonctions continues.
Ce qui change en dimension infinie
Deux normes $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont équivalentes s'il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que $\alpha\|x\| \leqslant \|x\|' \leqslant \beta\|x\|$ pour tout $x$ : elles ont alors les mêmes suites convergentes. En dimension infinie, plusieurs réflexes tombent.
| Énoncé | Dimension finie | Dimension infinie |
|---|---|---|
| Toutes les normes sont équivalentes | vrai | faux |
| Fermé borné implique compact | vrai | faux (théorème de Riesz) |
| Toute application linéaire est continue | vrai | faux |
Une application linéaire $u : E \to F$ entre espaces vectoriels normés est continue si et seulement s'il existe $C \geqslant 0$ tel que $\|u(x)\| \leqslant C\|x\|$ pour tout $x \in E$. La plus petite de ces constantes est la norme de $u$, notée $|||u|||$.
Exemple : sur l'espace $\mathbb{R}[X]$ des polynômes, muni de $\|P\|_\infty = \sup_{x \in [0\,;1]} |P(x)|$, la dérivation $P \mapsto P'$ est linéaire mais pas continue. Avec $P_n = X^n$, on a $\|P_n\|_\infty = 1$ et $\|P_n'\|_\infty = n$ : aucune constante $C$ ne convient pour tous les $n$.
Piège classique : en dimension infinie, fermé borné n'implique plus compact. Le théorème de Riesz dit que la boule unité fermée $\{x \in E : \|x\| \leqslant 1\}$ est compacte si et seulement si $E$ est de dimension finie. L'exercice 3 le montre dans $C([0\,;1])$.
Les espaces de Hilbert sont les Banach dont la norme vient d'un produit scalaire, comme l'espace $\ell^2$ des suites réelles $(u_n)$ telles que $\sum u_n^2$ converge. Ces notions, jusqu'au théorème de Riesz et aux espaces de Hilbert, figurent dans la partie « Topologie » du programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027.
Exercices corrigés
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Exercice 1 : Soit $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leqslant 1\}$ et $f(x,y) = x + y$. Justifie que $f$ admet un maximum sur $D$, puis calcule-le.
Correction :
$D$ est fermé, comme vu plus haut, et borné : c'est un compact de $\mathbb{R}^2$, qui est de dimension finie. $f$ est continue, donc elle atteint un maximum sur $D$.
Pour le calculer, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $x + y = 1 \times x + 1 \times y \leqslant \sqrt{1^2 + 1^2}\,\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant \sqrt{2}$ sur $D$. Pour $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, on a $x^2 + y^2 = 1$, donc le point est dans $D$, et $f$ y vaut $\sqrt{2}$. Le maximum de $f$ sur $D$ est $\sqrt{2}$.
Exercice 2 : Ta calculatrice est en mode radians. Tu entres un nombre $x_0$ de $[0\,;1]$, puis tu appuies sur cosinus encore et encore : tu calcules $x_{n+1} = \cos x_n$. Les valeurs se stabilisent autour de $0{,}7391$, quel que soit $x_0$. Explique pourquoi avec le théorème du point fixe sur $X = [0\,;1]$. On donne $\cos 1 \approx 0{,}540$ et $\sin 1 \approx 0{,}841$.
Correction :
$X = [0\,;1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$, qui est complet : $X$ est complet. Comme $\cos$ décroît sur $X$, l'image de $X$ est $[\cos 1\,;1]$, incluse dans $X$ car $\cos 1 > 0$.
Par l'inégalité des accroissements finis, pour $x, y \in X$, $|\cos x - \cos y| \leqslant \sup_{t \in X} |\sin t| \times |x - y| = \sin 1 \times |x - y|$, car $\sin$ est positive et croissante sur $X$. Comme $k = \sin 1 \approx 0{,}841 < 1$, $\cos$ est contractante sur $X$.
Le théorème donne un unique réel $\ell \in X$ tel que $\cos \ell = \ell$, limite de $(x_n)$ quel que soit $x_0$ : c'est la valeur affichée, $\ell \approx 0{,}7391$.
Exercice 3 : Dans $E = C([0\,;1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, on pose $f_n(x) = x^n$ pour $n \geqslant 1$. a) Calcule $\|f_n\|_\infty$. b) Montre qu'aucune sous-suite de $(f_n)$ ne converge dans $E$. c) La boule unité fermée de $E$ est fermée et bornée : est-elle compacte ?
Correction :
a) $f_n$ croît sur $[0\,;1]$ de $f_n(0) = 0$ à $f_n(1) = 1$, donc $\|f_n\|_\infty = 1$ : toutes les $f_n$ sont dans la boule unité fermée.
b) Pour $0 \leqslant x < 1$, $x^n \to 0$, et $1^n = 1$ : toute sous-suite converge simplement (point par point) vers la fonction $g$ nulle sur $[0\,;1[$ et égale à 1 en 1. Si une sous-suite convergeait vers $h \in E$ pour $\|\cdot\|_\infty$, elle convergerait aussi simplement vers $h$, donc $h = g$, qui n'est pas continue en 1 : contradiction.
c) Non : elle contient une suite sans sous-suite convergente. « Fermé borné donc compact » ne vaut qu'en dimension finie.
À retenir
À retenir :
- Dans un espace métrique, fermés, continuité et compacité se vérifient avec des suites.
- Sur un compact non vide, une fonction continue réelle est bornée et atteint ses bornes.
- En dimension finie, compact équivaut à fermé borné ; en dimension infinie, c'est faux (Riesz).
- Complet : toute suite de Cauchy converge. Banach : espace vectoriel normé complet.
- Une contraction d'un espace complet non vide a un unique point fixe, limite de $x_{n+1} = g(x_n)$.
- Une application linéaire $u$ est continue si et seulement si $\|u(x)\| \leqslant C\|x\|$ pour une constante $C$.
Sources
- Concours externe de l'agrégation du second degré, section mathématiques, programme de la session 2027, partie 8 « Topologie », publié le 6 mai 2026 : texte sur devenirenseignant.gouv.fr.