Pour construire l'image d'une figure, tu construis l'image de chacun de ses sommets, puis tu les relies dans le même ordre. Chaque transformation dit seulement où envoyer un point : de l'autre côté d'une droite pour la symétrie axiale, de l'autre côté d'un point pour la symétrie centrale, le long d'une flèche pour la translation, autour d'un point pour la rotation. Par exemple, dans la symétrie de centre O, le point A va en A' tel que O soit le milieu de [AA'] : si OA = 3 cm, A' est à 3 cm de O, de l'autre côté, sur la droite (AO).
Dans les quatre cas, la figure garde ses longueurs, ses angles et son aire : seule sa position change.
Ce qu'il faut pour chaque transformation
Le point M' où la transformation envoie le point M s'appelle l'image de M. La médiatrice d'un segment, qui revient souvent, est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
| Transformation | Ce que l'énoncé donne | Où va le point M | Instruments |
|---|---|---|---|
| Symétrie axiale | une droite (d), l'axe | (d) est la médiatrice de [MM'] | équerre et compas |
| Symétrie centrale | un point O, le centre | O est le milieu de [MM'] | règle et compas |
| Translation | une flèche, de A vers B | ABM'M est un parallélogramme | compas ou quadrillage |
| Rotation | un centre O, un angle et un sens | OM' = OM, et l'angle MOM' est l'angle donné, dans le sens donné | compas et rapporteur |
La symétrie axiale : le pliage
Plie ta feuille le long de l'axe : la figure et son image se superposent. Chaque point passe de l'autre côté de l'axe, perpendiculairement à lui, à la même distance. Un point de l'axe ne bouge pas.
Pour construire M', trace à l'équerre la perpendiculaire à (d) passant par M ; elle coupe (d) en H. Reporte au compas la longueur HM de l'autre côté de (d), sur cette perpendiculaire.
Piège classique : sur un quadrillage avec un axe oblique, ne compte pas les carreaux à l'horizontale. Le trajet de M à M' coupe toujours l'axe à angle droit : si l'axe suit les diagonales des carreaux, tu avances en diagonale, autant de carreaux d'un côté de l'axe que de l'autre.
La symétrie centrale : le demi-tour
Plante une punaise en O et fais faire un demi-tour à ta figure autour d'elle : tu obtiens son image. D'où son autre nom, le demi-tour de centre O. C'est une rotation de 180°.
Pour construire M', trace la droite (MO) et reporte au compas la longueur OM de l'autre côté de O. Seul le centre ne bouge pas, et chaque droite a pour image une droite parallèle.
La translation : le glissement
Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner. Tous les points bougent dans la même direction, dans le même sens et de la même longueur : la translation qui transforme A en B déplace chaque point comme la flèche qui va de A à B.
Sur un quadrillage, tu comptes : si B est 4 carreaux à droite de A et 1 carreau plus haut, chaque sommet fait ce même trajet.
Sur feuille blanche, trace l'arc de centre M et de rayon AB, puis l'arc de centre B et de rayon AM. Ils se coupent en M', le point qui fait de ABM'M un parallélogramme. S'ils se coupent deux fois, écarte le point qui donne un quadrilatère croisé.
Piège classique : l'ordre des lettres compte. La translation qui transforme B en A envoie les points dans l'autre sens. Et si tu construis le parallélogramme ABMM' au lieu de ABM'M, tu fais glisser M à l'envers.
La rotation : tourner autour d'un point
Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, son centre, comme une aiguille sur un cadran. Il te faut le centre O, l'angle et le sens : celui des aiguilles d'une montre, ou le sens inverse. Chaque point reste à la même distance du centre.
Étape 1 : Trace le segment [OM].
Étape 2 : Pose le centre du rapporteur sur O et son zéro sur [OM]. Compte l'angle dans le sens demandé, puis trace la demi-droite issue de O.
Étape 3 : Pointe du compas sur O, écartement OM : l'arc coupe cette demi-droite en M'.
Piège classique : l'angle se mesure au centre O, entre [OM] et [OM'], jamais au point M. Et le sens change tout : un quart de tour dans un sens ou dans l'autre ne donne pas la même image (exercice 2).
La rotation fait partie du programme du cycle 4 qui s'applique encore en 4e jusqu'à la rentrée 2027 et en 3e jusqu'à la rentrée 2028 (texte officiel). Le nouveau programme, appliqué en 5e depuis la rentrée 2026, ne la cite plus.
Ce qui ne change pas
Propriété : une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation et une rotation conservent les longueurs, les mesures d'angles, les aires, l'alignement, les milieux et le parallélisme.
C'est ce qui sert dans les démonstrations : si [A'B'] est l'image de [AB], alors A'B' = AB, sans rien mesurer.
Attention au mot parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles entre elles, mais une droite n'est pas toujours parallèle à son image. Seules la translation et la symétrie centrale le garantissent. Par une rotation de 60°, chaque droite tourne de 60°.
Reconnaître la transformation
Pour trouver la transformation qui fait passer d'une figure à son image, décalque la figure de départ et pose-toi ces questions dans l'ordre.
Étape 1 : Faut-il retourner le calque pour poser chaque point sur son image ? Si oui, c'est une symétrie axiale, la seule qui retourne la figure. Son axe est la médiatrice de [AA'].
Étape 2 : Sinon, trace [AA'] et [BB']. S'ils ont le même milieu, c'est une symétrie centrale de centre ce milieu.
Étape 3 : S'ils sont parallèles, de même longueur, et si les flèches de A vers A' et de B vers B' vont dans le même sens, c'est une translation.
Étape 4 : Sinon, c'est une rotation. Son centre est à la même distance de A et de A', donc sur la médiatrice de [AA'] ; de même, il est sur celle de [BB']. Il est à leur croisement.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Dans un repère d'origine O, on place le point A(3 ; 2). Donne les coordonnées de l'image de A : a) par la symétrie de centre O ; b) par la symétrie d'axe l'axe des ordonnées ; c) par la translation qui transforme O en B(1 ; 4).
Correction :
a) O est le milieu du segment qui joint A à son image. De A à O, on recule de 3 en abscisse et de 2 en ordonnée ; on refait ce trajet à partir de O. L'image est le point (-3 ; -2).
b) L'axe des ordonnées est la droite verticale qui passe par O. A est à 3 unités à sa droite, donc son image est à 3 unités à sa gauche, à la même hauteur : le point (-3 ; 2).
c) La flèche de O vers B avance de 1 en abscisse et de 4 en ordonnée. A fait le même trajet : son image est le point (3 + 1 ; 2 + 4), soit (4 ; 6).
Exercice 2 : Dans le même repère, donne les coordonnées de l'image de A(3 ; 2) par la rotation de centre O et d'angle 90°, d'abord dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis dans le sens des aiguilles d'une montre.
Correction :
De O à A, on fait 3 unités vers la droite, puis 2 vers le haut. Fais tourner ce trajet d'un quart de tour, comme toute la figure.
Dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, la droite devient le haut et le haut devient la gauche : 3 vers le haut puis 2 vers la gauche, l'image est le point (-2 ; 3).
Dans le sens des aiguilles d'une montre, la droite devient le bas et le haut devient la droite : 3 vers le bas puis 2 vers la droite, l'image est le point (2 ; -3).
Deux sens, deux images : sans son sens, un quart de tour n'est pas défini.
Exercice 3 : L'aiguille des minutes d'une horloge mesure 12 cm et fait un tour complet en 60 minutes. a) Entre 14 h 00 et 14 h 20, par quelle transformation passe-t-elle de sa première position à la seconde ? Donne son centre, son angle et son sens. b) À quelle distance du centre du cadran se trouve sa pointe à 14 h 20 ?
Correction :
a) L'aiguille tourne autour du centre du cadran, dans le sens des aiguilles d'une montre : c'est une rotation de centre le centre du cadran. En 20 minutes, le tiers d'une heure, elle fait le tiers d'un tour : l'angle est 360° ÷ 3 = 120°.
b) Une rotation conserve les distances : la pointe reste à 12 cm du centre.
Exercice 4 : Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et AC = 3 cm. Le triangle A'B'C' est son image par une rotation de centre O et d'angle 70°. a) Calcule B'C'. b) Donne la mesure de l'angle B'A'C' et l'aire du triangle A'B'C'. c) Les droites (BC) et (B'C') sont-elles parallèles ?
Correction :
a) Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC² = 16 + 9 = 25, et BC = 5 cm. Une rotation conserve les longueurs : B'C' = BC = 5 cm.
b) Elle conserve aussi les angles et les aires. L'angle B'A'C' mesure 90°, comme l'angle BAC, et l'aire de A'B'C' est celle de ABC : 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm².
c) Non. Toute la figure a tourné de 70°, donc la droite (B'C') fait un angle de 70° avec (BC). Le piège était de croire qu'une transformation qui conserve le parallélisme rend chaque droite parallèle à son image : seules une translation ou une symétrie centrale l'auraient fait.
À retenir
À retenir :
- Pour construire l'image d'une figure, construis l'image de chaque sommet, puis relie-les dans le même ordre.
- Symétrie axiale : l'axe est la médiatrice de [MM']. Symétrie centrale : le centre est le milieu de [MM'].
- Translation qui transforme A en B : ABM'M est un parallélogramme.
- Rotation de centre O : OM' = OM, et l'angle MOM' est l'angle donné, dans le sens donné.
- Les quatre conservent les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. Seule la symétrie axiale retourne la figure.
Sources
- Programme de mathématiques du cycle 4 qui s'applique en 4e jusqu'à la rentrée 2027 et en 3e jusqu'à la rentrée 2028 : texte sur education.gouv.fr.
- Nouveau programme de mathématiques du cycle 4, appliqué en 5e depuis la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr, et son calendrier d'application dans l'arrêté du 18 février 2026 sur Légifrance.