Dans un QCM de physique ou de chimie, commence par vérifier l'unité de chaque proposition : celles qui n'ont pas la bonne dimension sont fausses, sans aucun calcul. Exemple : on te demande la vitesse au sol d'un objet lâché sans élan d'une hauteur $h$, et on te propose $\sqrt{2gh}$ ou $\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$. Avec $h$ en mètres et $g$ en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$, la seconde donne des secondes : c'est un temps, tu la barres.
Ensuite, tu estimes l'ordre de grandeur, tu passes tout en unités SI et tu juges chaque proposition à part, calculatrice permise ou non. Aucune méthode ne garantit un nombre de points, mais ces réflexes t'évitent d'en perdre sur des questions que tu savais traiter.
Vérifier les dimensions avant de calculer
La dimension d'une grandeur dit de quoi elle est faite, quelles que soient les unités. Le Système international (SI) repose sur sept grandeurs de base, chacune avec son symbole : $\mathsf{L}$ la longueur, $\mathsf{M}$ la masse, $\mathsf{T}$ le temps, $\mathsf{I}$ le courant électrique, $\Theta$ la température, $\mathsf{N}$ la quantité de matière, $\mathsf{J}$ l'intensité lumineuse (brochure du SI). On note $[x]$ la dimension de $x$.
Inutile d'apprendre un tableau par cœur : chaque dimension se retrouve à partir d'une formule sûre du cours.
| Grandeur | Pour la retrouver | Dimension | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Vitesse | $v = \dfrac{d}{t}$ | $\mathsf{L\,T^{-1}}$ | $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ |
| Force | $F = ma$ | $\mathsf{M\,L\,T^{-2}}$ | N |
| Énergie | $W = F \times d$ | $\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}$ | J |
| Pression | $p = \dfrac{F}{S}$ | $\mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-2}}$ | Pa |
| Viscosité dynamique | une pression fois un temps | $\mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-1}}$ | $\text{Pa}\cdot\text{s}$ |
| Concentration molaire | $c = \dfrac{n}{V}$ | $\mathsf{N\,L^{-3}}$ | $\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$ |
Règle : les deux membres d'une égalité ont la même dimension, et on n'additionne que des grandeurs de même dimension. L'argument d'une exponentielle, d'un logarithme ou d'un cosinus n'a pas de dimension : dans $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, le produit $\lambda t$ est un nombre pur, donc $\lambda$ s'exprime en $\text{s}^{-1}$.
Piège classique : une formule homogène n'est pas forcément juste. Les nombres comme $\dfrac{1}{2}$, $2$ ou $\pi$ n'ont pas de dimension : $E_c = mv^2$ a bien la dimension d'une énergie, et elle est fausse, puisque $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$. L'analyse dimensionnelle élimine des propositions, elle n'en valide aucune.
Calculer de tête avec les puissances de 10
Écris chaque donnée en notation scientifique : un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10. Traite ensuite les chiffres d'un côté, les puissances de l'autre. Les exposants s'additionnent dans un produit et se soustraient dans un quotient.
Exemple : $\dfrac{0{,}003 \times 400}{0{,}02} = \dfrac{3 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{2}}{2 \times 10^{-2}} = \dfrac{3 \times 4}{2} \times 10^{-3+2+2} = 6 \times 10^{1} = 60$
Avant de calculer, regarde l'écart entre les propositions. Si elles valent 6, 60, 600 et 6 000, seule la puissance de 10 compte : arrondis sans scrupule, avec $\pi \approx 3$, $g \approx 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ ou $R \approx 8\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$. Si elles valent $5{,}8$ ; $6{,}0$ et $6{,}2$, garde deux chiffres significatifs jusqu'au bout. Et si ton résultat tombe à un facteur 10 ou 1 000 d'une proposition, recompte tes exposants avant de cocher.
Les logarithmes se retrouvent au lieu de se réciter. Pour le logarithme décimal $\log$, celui du pH, pars de $2^{10} = 1\,024 \approx 10^3$ : tu en tires $10 \log 2 \approx 3$, donc $\log 2 \approx 0{,}30$ et $\log 5 = \log 10 - \log 2 \approx 0{,}70$. Pour le logarithme népérien, retiens seulement $\ln 10 \approx 2{,}3$ : comme $\ln x = \ln 10 \times \log x$, tu obtiens $\ln 2 \approx 2{,}3 \times 0{,}30 \approx 0{,}69$, la valeur des calculs de décroissance radioactive. Ajoute $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ et $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.
Tout convertir en unités SI
Les énoncés mélangent les unités : un volume en millilitres, une concentration en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, une température en degrés Celsius. Or la constante des gaz parfaits, $R = N_A\,k \approx 8{,}314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, est exprimée en unités SI : c'est le produit des constantes d'Avogadro et de Boltzmann, dont le SI fixe les valeurs. Une formule qui la contient, comme $pV = nRT$, ne donne un résultat juste qu'avec des données en SI. Convertis donc tout au brouillon avant d'écrire la moindre formule.
| Donnée de l'énoncé | En unités SI |
|---|---|
| 1 L | $10^{-3}\ \text{m}^3$ |
| 1 mL | $10^{-6}\ \text{m}^3$ |
| $1\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ | $10^{3}\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$ |
| Température $t$ en °C | $T = t + 273{,}15$ en K |
| 1 bar | $10^{5}$ Pa |
| Concentration massique $C_m$ en $\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$ | $c = \dfrac{C_m}{M}$ en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ ($M$ : masse molaire), puis $\times 10^3$ |
Piège classique : un écart de température ne se convertit pas. Une hausse de 10 °C est une hausse de 10 K : le $+273{,}15$ s'applique à une température, jamais à une différence de températures.
Lire chaque proposition comme un vrai-faux
Quand l'énoncé demande « la ou les propositions exactes », chaque proposition est un petit vrai-faux, indépendant des autres. En trouver une juste ne dispense pas de lire la suite : deux propositions peuvent dire la même chose sous deux formes, comme $\dfrac{1}{16}$ et $6{,}25\ \%$, ou $0{,}3\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ et $300\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$.
Dans un exercice en cascade, où une question réutilise le résultat de la précédente, une erreur au départ se propage. Si aucun de tes résultats ne tombe sur une proposition, reviens d'abord sur la question précédente.
Enfin, le barème dit si une case mal cochée te coûte des points, donc s'il vaut mieux cocher ou t'abstenir quand tu hésites. Cherche-le, avec la règle sur la calculatrice, dans les modalités de contrôle des connaissances (MCC) de ta formation. L'établissement doit les arrêter au plus tard à la fin du premier mois de l'année d'enseignement, et elles ne peuvent plus être modifiées en cours d'année (article L613-1 du code de l'éducation).
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'une épreuve. Cherche chacun au brouillon, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un radio-isotope a une période (ou demi-vie) $T = 6$ h : au bout de cette durée, la moitié des noyaux présents se sont désintégrés. Quelle fraction des noyaux de départ reste-t-il au bout de 24 h ? Parmi A. $\dfrac{1}{4}$ ; B. $\dfrac{1}{16}$ ; C. $6{,}25\ \%$ ; D. $\dfrac{1}{24}$, indique la ou les propositions exactes. Calcule ensuite la constante radioactive $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ en $\text{h}^{-1}$.
Correction :
24 h font $\dfrac{24}{6} = 4$ périodes, et chaque période divise le nombre de noyaux par 2. Il reste $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625$, soit $6{,}25\ \%$ : B et C sont exactes toutes les deux. A correspond à 12 h, et D divise par la durée au lieu de compter les périodes.
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T} \approx \dfrac{0{,}69}{6} \approx 0{,}115\ \text{h}^{-1}$. C'est bien l'inverse d'un temps, comme l'exige l'exposant $-\lambda t$.
Exercice 2 : Une solution d'acide chlorhydrique, un acide fort, a une concentration $c = 2{,}0 \times 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, donc $[\text{H}_3\text{O}^+] = c$. Sans calculatrice, donne son pH, défini par $\text{pH} = -\log\dfrac{[\text{H}_3\text{O}^+]}{c^\circ}$ avec $c^\circ = 1\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Propositions : A. $2{,}7$ ; B. $3{,}3$ ; C. $6{,}2$ ; D. $-2{,}7$.
Correction :
La division par $c^\circ$ rend l'argument du logarithme sans dimension. Le logarithme transforme ensuite le produit en somme : $\log(2{,}0 \times 10^{-3}) = \log 2 + \log 10^{-3} \approx 0{,}30 - 3 = -2{,}7$, donc $\text{pH} \approx 2{,}7$ : réponse A.
B ajoute $\log 2$ à 3 au lieu de le retrancher, C prend $\ln$ au lieu de $\log$ ($-\ln(2{,}0 \times 10^{-3}) \approx 6{,}2$), D oublie le signe moins de la définition.
Exercice 3 : Un liquide de viscosité dynamique $\eta$ (en $\text{Pa}\cdot\text{s}$) s'écoule dans un tube de rayon $r$ et de longueur $\ell$ (en m), sous une différence de pression $\Delta p$ (en Pa). On cherche son débit volumique $Q$, en $\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$. Propositions : A. $Q = \dfrac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta \ell}$ ; B. $Q = \dfrac{\pi r^2 \Delta p}{8 \eta \ell}$ ; C. $Q = \dfrac{\pi r^4 \eta}{8 \ell \Delta p}$ ; D. $Q = \dfrac{8 \pi r^4 \Delta p}{\eta \ell}$. Lesquelles l'analyse dimensionnelle élimine-t-elle ? Suffit-elle à trouver la bonne ?
Correction :
On veut $[Q] = \mathsf{L^{3}\,T^{-1}}$. Avec $[\Delta p] = \mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-2}}$ et $[\eta] = \mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-1}}$, on a $\left[\dfrac{\Delta p}{\eta}\right] = \mathsf{T^{-1}}$.
A donne $\mathsf{L^{4} \times T^{-1} \div L} = \mathsf{L^{3}\,T^{-1}}$ : homogène. B donne $\mathsf{L^{2} \times T^{-1} \div L} = \mathsf{L\,T^{-1}}$, une vitesse : éliminée. C contient $\left[\dfrac{\eta}{\Delta p}\right] = \mathsf{T}$ et donne $\mathsf{L^{3}\,T}$ : éliminée. D a la même dimension que A : homogène.
A et D ne diffèrent que par un facteur numérique, invisible pour l'analyse dimensionnelle. Seul le cours tranche : la loi de Poiseuille est la proposition A.
Exercice 4 : Une solution de glucose, qui ne se dissocie pas dans l'eau, a une concentration de $0{,}30\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ à 37 °C. Sa pression osmotique $\Pi$ (la pression à exercer sur la solution pour empêcher l'eau pure d'y entrer à travers une membrane qui ne laisse passer que l'eau) suit la loi de van 't Hoff, $\Pi = cRT$, avec $R = 8{,}31\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$. Propositions : A. 92 Pa ; B. $7{,}7 \times 10^{2}$ Pa ; C. $7{,}7 \times 10^{5}$ Pa ; D. $7{,}7 \times 10^{8}$ Pa. Laquelle est exacte ?
Correction :
On convertit d'abord : $c = 0{,}30 \times 10^{3} = 3{,}0 \times 10^{2}\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$ et $T = 37 + 273{,}15 \approx 310$ K.
Ordre de grandeur : $3 \times 10^{2} \times 8 \times 3 \times 10^{2} = 72 \times 10^{4} \approx 7 \times 10^{5}$ Pa. Seule C a la bonne puissance de 10, et le calcul fin le confirme : $\Pi = 3{,}0 \times 10^{2} \times 8{,}31 \times 310 \approx 7{,}7 \times 10^{5}$ Pa, soit environ 770 kPa.
Les autres sont des pièges d'unités : B garde la concentration en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$, A garde en plus la température en °C ($0{,}30 \times 8{,}31 \times 37 \approx 92$), D multiplie la concentration par $10^{6}$ au lieu de $10^{3}$.
À retenir
À retenir :
- Vérifie la dimension de chaque proposition avant de calculer, en sachant qu'une formule homogène peut encore être fausse.
- L'argument d'une exponentielle, d'un logarithme ou d'un cosinus n'a pas de dimension.
- Calcule en puissances de 10, avec la précision qu'exige l'écart entre les propositions.
- $\log 2 \approx 0{,}30$ vient de $2^{10} \approx 10^3$, et $\ln x = \ln 10 \times \log x$ avec $\ln 10 \approx 2{,}3$.
- Passe tout en SI ($1\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} = 10^{3}\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$, $T = t + 273{,}15$), puis juge chaque proposition à part.
Sources
- Bureau international des poids et mesures, « Le Système international d'unités (SI) », 9e édition 2019, version 4.01 de juin 2026 : texte sur bipm.org.
- Code de l'éducation, article L613-1, version en vigueur depuis le 23 décembre 2022 : texte sur Légifrance.