Pour estimer une grandeur sans résoudre le problème, liste ce dont elle dépend, écris-la comme un produit de puissances de ces grandeurs, puis choisis les exposants pour que les deux membres aient la même dimension. Exemple : sans frottements, la durée de chute $t$ d'un objet lâché d'une hauteur $h$ ne dépend que de $h$ et de l'accélération de la pesanteur $g$, et la seule combinaison qui donne un temps est $\sqrt{h/g}$. Pour $h = 5$ m et $g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, elle vaut $0{,}7$ s, quand le calcul complet donne $\sqrt{2h/g} \approx 1{,}0$ s : même ordre de grandeur, sans aucune équation du mouvement.
Quatre exercices corrigés t'attendent à la fin.
Dimension et unité
La dimension d'une grandeur dit de quelle nature elle est : une longueur, une durée, ou une combinaison des deux comme une vitesse. L'unité est l'étalon choisi pour la mesurer. Une distance a la dimension d'une longueur, qu'on l'exprime en mètres ou en kilomètres.
Le Système international (SI) retient sept grandeurs de base, chacune avec sa dimension : la longueur $\mathsf{L}$, la masse $\mathsf{M}$, le temps $\mathsf{T}$, le courant électrique $\mathsf{I}$, la température thermodynamique $\Theta$, la quantité de matière $\mathsf{N}$ et l'intensité lumineuse $\mathsf{J}$ (brochure du SI, section 2.3.3). Les autres dimensions s'en déduisent par les équations de la physique.
Définition : la dimension d'une grandeur $X$, notée $[X]$, est un produit de puissances des dimensions de base, par exemple $[X] = \mathsf{M}^{\alpha}\,\mathsf{L}^{\beta}\,\mathsf{T}^{\gamma}$. Si tous les exposants sont nuls, $X$ est sans dimension : c'est un nombre pur, comme le rapport de deux longueurs.
| Grandeur | Relation | Dimension | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Vitesse | $v = \dfrac{d}{t}$ | $\mathsf{L\,T^{-1}}$ | $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ |
| Accélération | $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ | $\mathsf{L\,T^{-2}}$ | $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ |
| Force | $F = ma$ | $\mathsf{M\,L\,T^{-2}}$ | N |
| Énergie | $E_c = \dfrac{1}{2} m v^{2}$ | $\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}$ | J |
| Puissance | $P = \dfrac{E}{t}$ | $\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-3}}$ | W |
| Pression | $p = \dfrac{F}{S}$ | $\mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-2}}$ | Pa |
| Masse volumique | $\rho = \dfrac{m}{V}$ | $\mathsf{M\,L^{-3}}$ | $\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ |
| Charge électrique | $q = I\,t$ | $\mathsf{I\,T}$ | C |
Chaque ligne se retrouve avec sa relation : inutile d'apprendre le tableau.
Vérifier une formule : l'homogénéité
Règle : les deux membres d'une égalité ont la même dimension, et on n'additionne que des termes de même dimension. L'argument d'une exponentielle, d'un logarithme, d'un cosinus ou d'un sinus est sans dimension.
La raison : une loi physique ne dépend pas des unités choisies. Une somme de mètres et de secondes changerait de valeur en passant des mètres aux centimètres, elle n'a donc aucun sens. Pour l'exponentielle, $e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \cdots$ additionne $1$, $x$ et $x^{2}$, ce qui exige que $x$ soit un nombre pur.
Exemple : en chute libre, axe vertical vers le haut, $z(t) = -\dfrac{1}{2} g t^{2} + v_0 t + z_0$. Chaque terme est une longueur : $[g t^{2}] = \mathsf{L\,T^{-2}} \times \mathsf{T^{2}} = \mathsf{L}$ et $[v_0 t] = \mathsf{L\,T^{-1}} \times \mathsf{T} = \mathsf{L}$. Un $\dfrac{1}{2} g t$ écrit par erreur aurait la dimension d'une vitesse : l'erreur se voit sans refaire le calcul.
Piège classique : une formule homogène n'est pas forcément juste. L'analyse ne voit ni les facteurs numériques comme $\dfrac{1}{2}$ ou $2\pi$, ni les angles, sans dimension dans le SI. Elle ne distingue pas non plus deux grandeurs de même dimension : le moment d'une force, en $\mathrm{N\cdot m}$, et une énergie, en joules, ont la même, $\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}$. Une formule non homogène, elle, est toujours fausse.
Trouver une loi sans la démontrer
La même règle, prise à l'envers, fabrique des lois. Tout repose sur la liste des grandeurs dont dépend le résultat : si elle est incomplète, la loi trouvée est fausse. Voici la méthode sur la période d'un pendule simple, notée $\tau$ pour ne pas la confondre avec la dimension $\mathsf{T}$.
Étape 1 : liste les grandeurs en jeu : la masse $m$, la longueur du fil $\ell$ et $g$.
Étape 2 : écris $\tau = C\, m^{\alpha}\, \ell^{\beta}\, g^{\gamma}$, où $C$ est un nombre sans dimension.
Étape 3 : égale les dimensions : $\mathsf{T} = \mathsf{M}^{\alpha}\,\mathsf{L}^{\beta}\,(\mathsf{L\,T^{-2}})^{\gamma} = \mathsf{M}^{\alpha}\,\mathsf{L}^{\beta+\gamma}\,\mathsf{T}^{-2\gamma}$.
Étape 4 : identifie les exposants. Pour $\mathsf{M}$ : $\alpha = 0$. Pour $\mathsf{T}$ : $-2\gamma = 1$, donc $\gamma = -\dfrac{1}{2}$. Pour $\mathsf{L}$ : $\beta + \gamma = 0$, donc $\beta = \dfrac{1}{2}$.
Résultat : $\tau = C\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$. La masse a disparu d'elle-même : c'est la seule grandeur qui contient $\mathsf{M}$, rien ne peut la compenser. L'équation du mouvement, résolue pour de petites oscillations, donne $C = 2\pi$.
L'analyse a deux limites. Elle ne donne jamais $C$. Et elle reste muette sur les grandeurs sans dimension : l'amplitude $\theta_0$ est un angle, donc on peut seulement écrire $\tau = \sqrt{\ell/g}\; f(\theta_0)$, avec une fonction $f$ inconnue. Le théorème de Vaschy-Buckingham le dit en général : $n$ grandeurs, résultat compris, qui font intervenir $k$ dimensions indépendantes se ramènent à $n - k$ nombres sans dimension. S'il n'en reste qu'un, il est constant et la loi est trouvée à $C$ près ; sinon, une fonction reste inconnue.
De la loi à l'ordre de grandeur
L'ordre de grandeur d'une valeur est la puissance de dix la plus proche. Écris-la $a \times 10^{n}$, avec $1 \leqslant a < 10$ : l'ordre de grandeur est $10^{n}$ si $a$ est petit, $10^{n+1}$ si $a$ est grand.
La frontière se trouve en raisonnant en rapports, pas en écarts : $\sqrt{10} \times 10^{n}$ est à la fois $\sqrt{10}$ fois plus grand que $10^{n}$ et $\sqrt{10}$ fois plus petit que $10^{n+1}$. Elle vaut donc $a = \sqrt{10} \approx 3{,}16$. Certaines fiches de lycée prennent $a = 5$ ; les deux règles ne divergent qu'entre $3{,}16$ et $5$, et là, mieux vaut écrire « quelques $10^{n}$ ».
L'analyse dimensionnelle donne la forme de la loi ; la constante manquante fait le reste. Sur cette page, elle vaut $\sqrt{2}$ pour la chute, $2\pi$ pour le pendule et $1$ pour la vague de l'exercice 3 : jamais un facteur 100, mais parfois de quoi changer d'ordre de grandeur.
Piège classique : pour un pendule de 25 cm, avec $g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, $\sqrt{\ell/g} \approx 0{,}16$ s, d'ordre de grandeur $10^{-1}$ s. Pour de petites oscillations, la vraie période vaut $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g} \approx 1{,}0$ s, d'ordre de grandeur $10^{0}$ s. Le facteur $2\pi \approx 6{,}3$ a fait sauter un ordre de grandeur. Si tu connais la constante, garde-la ; sinon, annonce ton estimation « à un facteur de quelques unités près ».
Exercices corrigés
Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une voiture roulant à la vitesse $v$ freine jusqu'à l'arrêt avec une décélération constante de valeur $a$. Pour la distance de freinage $d$, on hésite entre $d = \dfrac{v}{2a}$ et $d = \dfrac{v^{2}}{2a}$. Laquelle peut être juste ? Calcule $d$ avec elle pour $v = 20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et $a = 8{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.
Correction :
$\left[\dfrac{v}{2a}\right] = \dfrac{\mathsf{L\,T^{-1}}}{\mathsf{L\,T^{-2}}} = \mathsf{T}$ : la première formule donne une durée, elle est fausse.
$\left[\dfrac{v^{2}}{2a}\right] = \dfrac{\mathsf{L^{2}\,T^{-2}}}{\mathsf{L\,T^{-2}}} = \mathsf{L}$ : la seconde est homogène. Elle est d'ailleurs juste, puisque la cinématique donne $v^{2} = 2ad$, mais c'est le calcul qui le prouve, pas l'homogénéité.
$d = \dfrac{20^{2}}{2 \times 8{,}0} = \dfrac{400}{16} = 25$ m.
Exercice 2 : La loi de la gravitation s'écrit $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$, avec $F$ une force, $m_1$ et $m_2$ des masses et $r$ une distance. Donne la dimension de $G$ et son unité SI. La valeur recommandée en 2022 par le comité international CODATA est $G = 6{,}674\,30 \times 10^{-11}$ dans cette unité (NIST) : quel est son ordre de grandeur ?
Correction :
On isole $G = \dfrac{F r^{2}}{m_1 m_2}$, d'où $[G] = \dfrac{\mathsf{M\,L\,T^{-2}} \times \mathsf{L^{2}}}{\mathsf{M^{2}}} = \mathsf{M^{-1}\,L^{3}\,T^{-2}}$. L'unité SI est donc $\mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$.
Ici $a = 6{,}674$ dépasse $\sqrt{10}$, et même 5 : l'ordre de grandeur de $G$ est $10^{-10}\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$, pas $10^{-11}$. L'exposant de la notation scientifique n'est pas toujours l'ordre de grandeur.
Exercice 3 : Une vague dont la longueur d'onde est très grande devant la profondeur $h$ de l'eau, comme un tsunami en plein océan, avance à une vitesse $v$ qui ne peut dépendre que de $h$, de $g$ et de la masse volumique $\rho$ de l'eau. Trouve la forme de $v$ par analyse dimensionnelle. La théorie complète donne une constante égale à 1 : calcule $v$ et son ordre de grandeur pour $h = 4\,000$ m et $g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.
Correction :
On pose $v = C\, h^{\alpha}\, g^{\beta}\, \rho^{\gamma}$, d'où $\mathsf{L\,T^{-1}} = \mathsf{L}^{\alpha}\,(\mathsf{L\,T^{-2}})^{\beta}\,(\mathsf{M\,L^{-3}})^{\gamma} = \mathsf{M}^{\gamma}\,\mathsf{L}^{\alpha+\beta-3\gamma}\,\mathsf{T}^{-2\beta}$.
Pour $\mathsf{M}$ : $\gamma = 0$, la masse volumique ne joue aucun rôle. Pour $\mathsf{T}$ : $-2\beta = -1$, donc $\beta = \dfrac{1}{2}$. Pour $\mathsf{L}$ : $\alpha + \beta = 1$, donc $\alpha = \dfrac{1}{2}$. Ainsi $v = C\sqrt{g h}$.
Avec $C = 1$ : $v = \sqrt{9{,}8 \times 4\,000} = \sqrt{39\,200} \approx 198\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, soit environ $710\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Comme $198 = 1{,}98 \times 10^{2}$ et $1{,}98 < 3{,}16$, l'ordre de grandeur est $10^{2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
Exercice 4 : Un condensateur de capacité $C$ se charge à travers une résistance $R$ sous une tension constante $E$. Une copie donne pour la tension à ses bornes $u(t) = E\left(1 - e^{-RCt}\right)$. Sans refaire la résolution, montre que c'est faux et corrige. Tu disposes de $U = RI$, de $q = Cu$ et de $q = It$ pour un courant constant.
Correction :
Avec $U = RI$, $[R] = \dfrac{[U]}{\mathsf{I}}$. Avec $q = Cu$ et $q = It$, $[C] = \dfrac{\mathsf{I\,T}}{[U]}$. Donc $[RC] = \dfrac{[U]}{\mathsf{I}} \times \dfrac{\mathsf{I\,T}}{[U]} = \mathsf{T}$ : $RC$ est une durée, sans qu'il soit utile de connaître la dimension d'une tension.
Alors $[RCt] = \mathsf{T^{2}}$ : l'argument de l'exponentielle a une dimension, l'expression est fausse. Il faut diviser $t$ par $RC$ : $u(t) = E\left(1 - e^{-t/(RC)}\right)$, où $RC$ est la constante de temps du circuit.
À retenir
À retenir :
- Sept dimensions de base dans le SI ; toute dimension est un produit de leurs puissances.
- Membres d'une égalité et termes d'une somme ont la même dimension ; l'argument d'une exponentielle, d'un logarithme ou d'un cosinus n'en a pas.
- Non homogène veut dire faux ; homogène ne veut pas dire juste.
- Pour trouver une loi : produit de puissances, puis exposants identifiés dimension par dimension. La constante reste inconnue.
- Ordre de grandeur : la puissance de dix la plus proche en rapport, frontière $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. Une constante comme $2\pi$ peut le faire changer.
Sources
- Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), 9e édition 2019, version 4.01 de juin 2026, section 2.3.3 et tableaux 4 et 6 : brochure sur bipm.org.
- CODATA 2022, valeur recommandée de la constante de gravitation $G$, publiée par le NIST : physics.nist.gov.