Niveau : Difficile — Durée estimée : 75 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
L'étude du mouvement commence par l'application de la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$. Dans un champ de pesanteur uniforme, la seule force est le poids $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$, ce qui implique l'accélération est $\vec{a} = \vec{g}$.
Pour trouver les équations horaires de la position, on intègre successivement l'accélération pour obtenir la vitesse, puis la position, en tenant compte des conditions initiales (vitesse initiale $v_0$ et angle de tir $\alpha$). La trajectoire est alors une parabole.
Pour les satellites en orbite circulaire, l'accélération est centripète : $a = \frac{v^2}{R}$. En égalisant la force gravitationnelle de Newton et le produit $m \cdot a$, on peut déterminer la vitesse orbitale et la période de révolution $T$.
Formule : $x(t) = (v_0 \cdot \cos\alpha) \cdot t$ et $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \cdot \sin\alpha) \cdot t + y_0$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Un objet est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur de 20 m. Calcule le temps de chute. On prend $g = 9,8$ m/s².
Correction :
On utilise l'équation horaire de la position verticale : $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$.
L'objet touche le sol quand $y(t) = 0$, soit $0 = -4,9t^2 + 20$.
$t^2 = \frac{20}{4,9} \approx 4,08$.
$t = \sqrt{4,08} \approx 2,02$ s. Le temps de chute est de 2,0 s.
Exercice 2 : Quelle est la direction et le sens du vecteur accélération d'un projectile en l'absence de frottements ?
Correction :
D'après la deuxième loi de Newton, $\vec{a} = \vec{g}$. Le vecteur accélération est donc vertical, dirigé vers le bas et son intensité est constante ($g$).
Exercice 3 : Donne l'expression de la force de gravitation exercée par la Terre (masse $M_T$) sur un satellite de masse $m$ situé à une distance $r$ du centre de la Terre.
Correction :
La force est donnée par la loi universelle de la gravitation de Newton : $F = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r^2}$.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Un footballeur tire un ballon avec une vitesse $v_0 = 15$ m/s et un angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. Calcule la composante horizontale $v_x$ et verticale $v_{0y}$ du vecteur vitesse initiale.
Correction :
$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(30°) = 15 \times 0,866 = 12,99$ m/s.
$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(30°) = 15 \times 0,5 = 7,5$ m/s.
Les composantes sont $v_{0x} = 13$ m/s et $v_{0y} = 7,5$ m/s.
Exercice 5 : Pour un satellite en mouvement circulaire uniforme, démontre que la vitesse est constante.
Correction :
Dans le repère de Frenet, l'accélération possèd'une composante tangentielle $a_t = \frac{dv}{dt}$. Or, la seule force (gravitation) est radiale. La somme des forces selon la tangente est nulle, donc $m \cdot \frac{dv}{dt} = 0$, ce qui implique $v$ est constant.
Exercice 6 : Un projectile atteint son sommet (flèche). Quelle est la valeur de sa vitesse verticale $v_y$ à cet instant précis ?
Correction :
Au point le plus haut de la trajectoire, l'objet change de sens de déplacement vertical. Sa vitesse verticale s'annule donc instantanément : $v_y = 0$ m/s.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Démontre la troisième loi de Kepler ($T^2/r^3 = \text{constante}$) pour un satellite en orbite circulaire autour de la Terre.
Correction :
1. $F = m \cdot a \Rightarrow G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = \frac{G M_T}{r}$.
2. Or $v = \frac{2 \pi r}{T}$, donc $v^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}$.
3. On égalise : $\frac{G M_T}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} \Rightarrow \frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G M_T}$.
Le rapport est bien constant : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G M_T}$.
Exercice 8 : Un projectile est tiré avec $v_0$ et $\alpha$. Établis l'équation de la trajectoire $y(x)$ en éliminant le temps $t$.
Correction :
On a $x = (v_0 \cos\alpha)t \Rightarrow t = \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$.
On remplace $t$ dans $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin\alpha)t$.
$y(x) = -\frac{1}{2}g \left(\frac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2 + (v_0 \sin\alpha) \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$.
En simplifiant : $y(x) = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + (\tan\alpha) x$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La méthode est toujours la même : Système, Référentiel, Bilan des forces, 2ème loi de Newton, puis intégrations successives. N'oublie jamais de projeter tes vecteurs sur les axes $x$ et $y$ dès le début de l'exercice.
Comment ORBITECH Peut T'aider
ORBITECH AI Academy met à ta disposition des outils concrets pour réviser plus efficacement et progresser à ton rythme.
- Générateur de Quiz : crée des quiz personnalisés pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.
- Générateur d'Exercices : crée des exercices d'entraînement adaptés à ton niveau avec corrections détaillées.
- Calculatrice Scientifique : effectue des calculs avancés avec historique et graphiques de fonctions.
- Tableau Périodique : explore les éléments chimiques avec toutes leurs propriétés détaillées.
Tous ces outils sont disponibles sur ta plateforme ORBITECH. Connecte-toi et explore ceux qui correspondent le mieux à tes besoins !