Niveau : Moyen / Difficile — Durée estimée : 90 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
L'étude du mouvement d'un système nécessite avant tout de définir un référentiel (souvent terrestre supposé galiléen) et de faire un bilan des forces extérieures s'exerçant sur le centre de masse du système. La deuxième loi de Newton, ou Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), est l'outil central : elle stipule que la somme vectorielle des forces est égale au produit de la masse par le vecteur accélération.
Pour résoudre un problème de chute libre ou de mouvement parabolique, tu dois projeter cette relation vectorielle sur les axes d'un repère cartésien. Cela te permet d'obtenir les composantes de l'accélération, puis par intégrations successives en tenant compte des conditions initiales, les composantes de la vitesse et les équations horaires de la position.
N'oublie jamais que dans le cas d'une chute libre sans frottements, l'accélération est constante et égale au vecteur pesanteur g. Le mouvement est donc uniformément accéléré. Dans le cas d'un mouvement parabolique avec une vitesse initiale non verticale, la trajectoire est obtenue en éliminant le temps entre les équations horaires de la position.
Formule : $$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$$ ; $$\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$$ ; $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Un solide de masse m = 2,0 kg est posé sur un plan horizontal sans frottements. On lui appliqu'une force constante horizontale F = 10 N. Calcule la valeur de l'accélération du solide. Si le solide part du repos, quelle sera sa vitesse après 3 secondes ?
Correction :
1. On applique la deuxième loi de Newton au solide dans le référentiel terrestre : ΣF = m.a. Les forces sont le poids, la réaction du support et la force F. Horizontalement, seule F travaille.
2. Projection sur l'axe horizontal : F = m * a. Donc a = F / m = 10 / 2,0 = 5,0 m/s².
3. Pour la vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (v0 = 0). L'équation de la vitesse est v(t) = a * t.
4. À t = 3 s : v(3) = 5,0 * 3 = 15 m/s.
Exercice 2 : Un objet tombe d'un pont sans vitesse initiale. En négligeant les frottements de l'air, quelle est la valeur de son accélération ? Calcule la distance parcourue après 2 secondes de chute (on prendra g = 9,8 m/s²).
Correction :
1. Le système est en chute libre, la seule force exercée est le poids P = m.g. D'après le PFD : m.g = m.a, d'où a = g. L'accélération est donc 9,8 m/s².
2. L'équation horaire de la position suivant l'axe vertical (orienté vers le bas) est z(t) = 1/2 g t² + v0 * t + z0. Ici v0 = 0 et z0 = 0.
3. z(2) = 0,5 9,8 2² = 0,5 9,8 4 = 19,6 m.
Exercice 3 : Un palet de hockey glisse sur la glace (sans frottements) à une vitesse constante de 12 m/s. Quelles sont les forces qui s'exercent sur lui ? Que vaut la somme de ces forces ?
Correction :
1. Les forces en présence sont le poids (vertical, vers le bas) et la réaction normale de la glace (verticale, vers le haut).
2. D'après la première loi de Newton (principe d'inertie), si le mouvement est rectiligne et uniforme, alors la somme vectorielle des forces est nulle.
3. ΣF = 0. La réaction compense exactement le poids.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Une voiture de 1200 kg freine uniformément et passe de 25 m/s à l'arrêt complet sur une distance de 50 mètres. Détermine la valeur de la force de freinage supposée constante.
Correction :
1. Calcul de l'accélération : on utilise la relation v² - v0² = 2 a d. Ici v = 0, v0 = 25 et d = 50.
2. 0 - 25² = 2 a 50 => -625 = 100 * a => a = -6,25 m/s².
3. D'après le PFD : F = m a = 1200 (-6,25) = -7500 N.
4. La force de freinage est de 7500 N (le signe moins indique qu'elle est opposée au mouvement).
Exercice 5 : On lance une balle verticalement vers le haut avec une vitesse initiale v0 = 15 m/s depuis une hauteur de 1,6 m. Quelle hauteur maximale la balle atteindra-t-elle ? (g = 9,81 m/s²)
Correction :
1. On prend un axe vertical Oz orienté vers le haut, origine au sol. a = -g. L'équation de la vitesse est v(t) = -g*t + v0.
2. À la hauteur maximale, la vitesse est nulle : 0 = -9,81*t + 15 => t = 15 / 9,81 = 1,53 s.
3. Équation horaire de position : z(t) = -1/2*g*t² + v0*t + z0.
4. z(1,53) = -0,5 9,81 (1,53)² + 15 * 1,53 + 1,6 = -11,48 + 22,95 + 1,6 = 13,07 m.
Exercice 6 : Un skieur de 80 kg descend une pente inclinée de 20° par rapport à l'horizontale. On néglige les frottements. Calcule son accélération le long de la pente.
Correction :
1. Système : skieur. Référentiel : terrestre. Forces : Poids P et Réaction normale R.
2. On choisit un axe Ox parallèle à la pente, dirigé vers le bas. La composante du poids sur cet axe est Px = m g sin(20°).
3. PFD sur Ox : m g sin(20°) = m * a.
4. a = g sin(20°) = 9,8 0,342 = 3,35 m/s².
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Mouvement parabolique. Un footballeur tire un ballon avec une vitesse v0 = 20 m/s faisant un angle α = 30° avec l'horizontale. Détermine l'équation de la trajectoire y(x). À quelle distance le ballon retombe-t-il au sol ?
Correction :
1. Conditions initiales : x0=0, y0=0, v0x = v0.cosα, v0y = v0.sinα. Accélération : ax=0, ay=-g.
2. Vitesse : vx = v0.cosα, vy = -gt + v0.sinα. Position : x(t) = (v0.cosα)t et y(t) = -1/2gt² + (v0.sinα)t.
3. On exprime t en fonction de x : t = x / (v0.cosα). On injecte dans y(t) : y(x) = -g / (2.v0².cos²α) x² + tanα x.
4. Portée (y=0) : x * [tanα - g.x / (2.v0².cos²α)] = 0. Soit x = (2.v0².sinα.cosα) / g = (v0².sin(2α)) / g.
5. Calcul : x = (20² sin(60°)) / 9,81 = (400 0,866) / 9,81 = 35,3 m.
Attention : Lors du calcul de la portée, n'oublie pas de vérifier si le départ se fait du sol (y0=0) ou d'une certaine hauteur, ce qui change l'équation finale !
Exercice 8 : Un projectile est lancé horizontalement depuis le haut d'une falaise de hauteur H = 45 m avec une vitesse v0 = 10 m/s. Au bout de combien de temps touche-t-il l'eau ? Quelle est sa vitesse d'impact ?
Correction :
1. Temps de chute : sur l'axe vertical (vers le bas), z(t) = 1/2.g.t² (car v0y = 0 et z0 = 0). 45 = 0,5 9,8 t² => t² = 45 / 4,9 = 9,18. t = 3,03 s.
2. Vitesse d'impact : vx = v0 = 10 m/s. vy = g t = 9,8 3,03 = 29,7 m/s.
3. Norme de la vitesse v = √(vx² + vy²) = √(10² + 29,7²) = √(100 + 882) = 31,3 m/s.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Pour réussir ces exercices, commence toujours par un schéma clair. Identifie ton système et ton repère. La clé réside dans la rigueur des projections vectorielles et le calcul correct des constantes d'intégration grâce aux conditions initiales (t=0).
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