Niveau : moyen. Durée estimée : 80 min. 10 exercices avec corrections détaillées : les exercices 1 à 6 se font dès la seconde, les exercices 7 à 10 en spécialité physique-chimie de terminale.
Rappel des notions clés
Deux corps s'attirent toujours. Pour calculer cette force, convertis les masses en kilogrammes et la distance entre leurs centres en mètres, puis applique la loi de gravitation universelle. Exemple : deux astéroïdes de $1,0\times10^{12}$ kg et $2,0\times10^{12}$ kg dont les centres sont à 50 km, soit $d = 5,0\times10^{4}$ m, s'attirent avec $F = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{1,0\times10^{12}\times2,0\times10^{12}}{(5,0\times10^{4})^2} \approx 5,3\times10^{4}$ N.
A attire B autant que B attire A, en sens opposé : c'est le principe des actions réciproques. À la surface d'un astre, le poids $P = mg$ d'un objet est pratiquement égal à l'attraction de l'astre ; $g$ est l'intensité de la pesanteur, en N/kg. En terminale, une orbite circulaire est parcourue à vitesse constante (mouvement uniforme) ; sa période de révolution $T$ est la durée d'un tour.
Formules à retenir :
- Force exercée par A sur B : $\overrightarrow{F}_{A/B} = -G\dfrac{m_A m_B}{d^2}\,\overrightarrow{u}_{AB}$, avec $\overrightarrow{u}_{AB}$ le vecteur unitaire dirigé de A vers B et $G = 6,67\times10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$ ; sa valeur est $F = G\dfrac{m_A m_B}{d^2}$.
- Pesanteur à la surface d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$ : $g = G\dfrac{M}{R^2}$.
- Orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$ (terminale) : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$, $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ et $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$.
Piège classique : $d$ se mesure entre les centres, pas entre les surfaces. Pour un satellite à l'altitude $h$ au-dessus d'une planète de rayon $R$, $d = R + h$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : La Terre ($M_T = 5,97\times10^{24}$ kg) et la Lune ($M_L = 7,35\times10^{22}$ kg) ont leurs centres séparés en moyenne de $d = 3,84\times10^{8}$ m (données NASA, valables pour toute la page). Calcule la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune. Que vaut celle exercée par la Lune sur la Terre ?
Correction :
Données déjà en kilogrammes et en mètres : $F = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{5,97\times10^{24}\times7,35\times10^{22}}{(3,84\times10^{8})^2} \approx$ $1,98\times10^{20}$ N.
D'après le principe des actions réciproques, la Lune attire la Terre avec une force de même valeur, $1,98\times10^{20}$ N, de sens opposé. Erreur à éviter : croire que la Terre, plus massive, attire plus fort.
Exercice 2 : Deux corps s'attirent avec une force de valeur $F$. Comment varie $F$ si : a) la distance entre leurs centres double ; b) la masse de l'un des corps triple et la distance est divisée par 2 ?
Correction :
$F$ est proportionnelle à chaque masse et inversement proportionnelle à $d^2$.
a) Si $d$ double, $d^2$ est multiplié par 4 : la force est divisée par 4, et non par 2.
b) Tripler la masse multiplie $F$ par 3 ; diviser $d$ par 2 multiplie $F$ par $2^2 = 4$. Au total, $F$ est multipliée par 12.
Exercice 3 : Deux élèves de 60 kg chacun ont leurs centres à 1,0 m l'un de l'autre. Calcule la force d'attraction gravitationnelle entre eux, puis compare-la au poids d'un élève, avec $g = 9,8$ N/kg. Pourquoi ne sentent-ils rien ?
Correction :
Entre les élèves : $F = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{60\times60}{1,0^2} \approx$ $2,4\times10^{-7}$ N.
Poids d'un élève : $P = 60\times9,8 \approx$ $5,9\times10^{2}$ N, plus de deux milliards de fois plus.
Entre objets du quotidien, cette attraction est négligeable : seule une masse d'astre la rend sensible.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : On assimile le poids $P = mg$ d'un objet posé au sol à l'attraction de la Terre ($M_T = 5,97\times10^{24}$ kg, $R_T = 6,37\times10^{6}$ m). Établis l'expression de $g$, puis calcule sa valeur.
Correction :
On égale les deux expressions de la même force : $mg = G\dfrac{M_T\,m}{R_T^2}$. La masse $m$ se simplifie : $g = G\dfrac{M_T}{R_T^2}$ ne dépend que de la planète.
$g = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{5,97\times10^{24}}{(6,37\times10^{6})^2} \approx$ 9,81 N/kg : on retrouve la valeur utilisée en cours.
Exercice 5 : Avec sa combinaison, un astronaute a une masse de 120 kg. La Lune a pour masse $M_L = 7,35\times10^{22}$ kg et pour rayon $R_L = 1,74\times10^{6}$ m ; sur Terre, $g_T = 9,81$ N/kg.
a) Que vaut la masse de l'astronaute sur la Lune ?
b) Calcule l'intensité de la pesanteur lunaire $g_L$, puis son poids sur la Lune.
c) Un camarade affirme : « La Lune est 81 fois moins massive que la Terre, donc on y pèse 81 fois moins. » Explique son erreur.
Correction :
a) La masse ne dépend pas du lieu : elle vaut toujours 120 kg.
b) $g_L = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{7,35\times10^{22}}{(1,74\times10^{6})^2} \approx 1,62$ N/kg, donc $P_L = 120\times1,62 \approx$ $1,94\times10^{2}$ N.
c) Il oublie le rayon. À la surface de la Lune, on est $\dfrac{R_T}{R_L} \approx 3,66$ fois plus près du centre de l'astre que sur Terre, ce qui multiplie l'attraction par $3,66^2 \approx 13,4$. Au final, $\dfrac{g_T}{g_L} \approx \dfrac{9,81}{1,62} \approx 6$ : on pèse environ 6 fois moins, pas 81.
Exercice 6 : Un satellite de 500 kg tourne à l'altitude $h = 630$ km. Données : $M_T = 5,97\times10^{24}$ kg, $R_T = 6,37\times10^{6}$ m, $g = 9,81$ N/kg au sol.
a) Calcule la force exercée par la Terre sur le satellite et compare-la à son poids au sol.
b) Un élève trouve $5,0\times10^{5}$ N. Quelle erreur a-t-il commise ?
Correction :
a) La distance entre les centres vaut $d = R_T + h = 6\,370 + 630 = 7\,000\ \text{km} = 7,00\times10^{6}\ \text{m}$.
$F = 6,67\times10^{-11}\times\dfrac{5,97\times10^{24}\times500}{(7,00\times10^{6})^2} \approx$ $4,06\times10^{3}$ N, contre $P = 500\times9,81 \approx 4,9\times10^{3}$ N au sol. À 630 km d'altitude, la Terre attire encore le satellite avec environ 83 % de son poids au sol.
b) Il a pris $d = h = 6,3\times10^{5}$ m : il a oublié d'ajouter le rayon de la Terre.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : La Lune tourne autour de la Terre ($M_T = 5,97\times10^{24}$ kg) sur une orbite modélisée par un cercle de rayon $r = 3,84\times10^{8}$ m.
a) Avec la deuxième loi de Newton, montre que son mouvement est uniforme et que $v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$.
b) Calcule $v$, puis la période de révolution $T$ en jours, et compare-la à la période mesurée, 27,3 jours.
c) La Lune est attirée par la Terre : pourquoi ne tombe-t-elle pas sur elle ?
Correction :
a) Seule l'attraction de la Terre agit : $M_L\overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}$, donc $\overrightarrow{a}$ est dirigée vers le centre, de valeur $\dfrac{GM_T}{r^2}$. Dans le repère de Frenet (un axe tangent à la trajectoire, un axe vers le centre), la composante tangentielle $\dfrac{dv}{dt}$ est nulle : $v$ est constante. La composante normale donne $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{GM_T}{r^2}$, d'où $v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$.
b) $v = \sqrt{\dfrac{6,67\times10^{-11}\times5,97\times10^{24}}{3,84\times10^{8}}} \approx$ $1,02\times10^{3}$ m/s, puis $T = \dfrac{2\pi r}{v} \approx 2,37\times10^{6}$ s, soit 27,4 jours. Moins de 1 % d'écart avec la mesure : le modèle circulaire convient.
c) Elle tombe sans cesse vers la Terre, mais sa vitesse est perpendiculaire à cette chute : sans attraction, elle filerait tout droit (principe d'inertie). L'attraction courbe seulement sa trajectoire.
Exercice 8 : La Terre tourne autour du Soleil en $T = 365,25$ jours, sur une orbite quasi circulaire de rayon $r = 1,50\times10^{11}$ m.
a) Calcule sa vitesse sur son orbite, en m/s puis en km/h.
b) Déduis-en la masse $M_S$ du Soleil.
Correction :
a) En un tour, la Terre parcourt $2\pi r$ en $T = 365,25\times86\,400 \approx 3,156\times10^{7}$ s. Donc $v = \dfrac{2\pi\times1,50\times10^{11}}{3,156\times10^{7}} \approx$ $2,99\times10^{4}$ m/s, soit environ $1,08\times10^{5}$ km/h.
b) De $v = \sqrt{\dfrac{GM_S}{r}}$, on tire $M_S = \dfrac{v^2 r}{G} = \dfrac{(2,99\times10^{4})^2\times1,50\times10^{11}}{6,67\times10^{-11}} \approx$ $2,0\times10^{30}$ kg, proche de la valeur mesurée, $1,99\times10^{30}$ kg (NASA).
Erreur à éviter : laisser $T$ en jours dans un calcul qui contient $G$.
Exercice 9 : Une antenne parabolique de télévision reste pointée vers le même point du ciel : elle vise un satellite géostationnaire, immobile pour un observateur au sol.
a) Quelles conditions son orbite doit-elle remplir ?
b) À partir de $v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$, établis la troisième loi de Kepler $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM_T}$.
c) La Terre fait un tour sur elle-même par rapport aux étoiles en 23 h 56 min 4 s, soit $T = 86\,164$ s. Avec $M_T = 5,97\times10^{24}$ kg et $R_T = 6,37\times10^{6}$ m, calcule le rayon $r$ de l'orbite géostationnaire, puis l'altitude $h$ du satellite.
Correction :
a) L'orbite est circulaire, dans le plan de l'équateur, parcourue dans le sens de rotation de la Terre, en une période égale à celle de la rotation de la Terre.
b) $T = \dfrac{2\pi r}{v}$, donc $T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^2}{v^2} = \dfrac{4\pi^2 r^2}{GM_T/r} = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GM_T}$, d'où la loi.
c) $r = \sqrt[3]{\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{6,67\times10^{-11}\times5,97\times10^{24}\times86\,164^2}{4\pi^2}} \approx 4,215\times10^{7}$ m, donc $h = r - R_T \approx 42\,150\ \text{km} - 6\,370\ \text{km} \approx$ $3,58\times10^{4}$ km. Erreur à éviter : donner $r$ comme altitude.
Exercice 10 : Mars décrit autour du Soleil une ellipse de demi-grand axe $a = 1,524$ ua (la moitié de la plus grande dimension de l'ellipse ; l'unité astronomique, ua, vaut la distance moyenne Terre-Soleil). Pour la Terre, $a = 1,00$ ua et $T = 1,00$ an.
a) Énonce la troisième loi de Kepler, puis calcule la période de révolution de Mars en années et en jours, sans utiliser $G$ ni la masse du Soleil.
b) D'après la deuxième loi de Kepler, Mars va-t-elle plus vite près du Soleil ou loin de lui ?
Correction :
a) Le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire : 1 pour la Terre, avec $T$ en années et $a$ en ua. Donc $T_M = \sqrt{1,524^3} \approx$ 1,88 an, soit $1,88\times365,25 \approx$ 687 jours, la valeur mesurée.
b) Le segment Soleil-Mars balaie des aires égales en des durées égales. Près du Soleil, ce segment est court : Mars parcourt donc un arc plus long dans le même temps et va plus vite.
Bilan et conseils
Dès que $G$ intervient, convertis tout en kilogrammes, mètres et secondes, puis contrôle l'ordre de grandeur du résultat. En terminale, sache refaire la démonstration de l'exercice 7 : elle donne $v$, puis $T$ et la troisième loi de Kepler.
Ce qu'il faut retenir : $d$ se mesure entre les centres, en mètres. Doubler $d$ divise la force par 4. La masse ne change pas d'un astre à l'autre, le poids si. En orbite circulaire, $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ne dépend pas de la masse du satellite.
Sources
Programme de physique-chimie de seconde : Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019.
Programme de physique-chimie de terminale générale : Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019.
Données des astres : NASA, Planetary Fact Sheet (version du 18 mars 2025) et ses fiches détaillées.