Niveau : Moyen / Difficile — Durée estimée : 60 min — 8 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La radioactivité est un phénomène aléatoire, spontané et inéluctable par lequel un noyau instable se désintègre en un autre noyau en émettant une particule (alpha, bêta) et souvent un rayonnement gamma. Bien qu'imprévisible à l'échelle d'un seul noyau, l'évolution d'une population de noyaux suit une loi mathématique précise : la loi de décroissance exponentielle.
Le nombre de noyaux restants à l'instant t est donné par N(t) = N0 * exp(-λt). L'activité A(t), qui représente le nombre de désintégrations par seconde (en Becquerels), suit la même loi. Un paramètre essentiel est la demi-vie (t1/2), qui est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents se désintègrent.
Formule : $$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$ ; $$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$ ; $$A = \lambda \cdot N$$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : La demi-vie de l'iode 131 est de 8 jours. Si on possèd'un échantillon de 100 g, quelle masse restera-t-il après 24 jours ?
Correction :
1. On calcule le nombre de demi-vies écoulées : n = 24 / 8 = 3 demi-vies.
2. Après chaque demi-vie, la masse est divisée par 2. Après 3 demi-vies, elle est divisée par 2³ = 8.
3. m = 100 / 8 = 12,5 g.
Exercice 2 : Calcule la constante radioactive λ du Carbone 14 sachant que sa demi-vie est de 5730 ans. (Donne le résultat en an⁻¹).
Correction :
1. Formule : λ = ln(2) / t1/2.
2. λ = 0,693 / 5730.
3. λ ≈ 1,21.10^-4 an⁻¹.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 3 : Une source radioactive a une activité initiale A0 = 4000 Bq. Sa constante radioactive est λ = 0,05 h⁻¹. Quelle sera son activité après 20 heures ?
Correction :
1. Loi de décroissance de l'activité : A(t) = A0 * exp(-λt).
2. A(20) = 4000 exp(-0,05 20) = 4000 * exp(-1).
3. A(20) = 4000 * 0,368 ≈ 1472 Bq.
Exercice 4 : Datation : On analyse un morceau de bois ancien. Son activité en carbone 14 est de 4 désintégrations par minute par gramme de carbone. Un échantillon de bois vivant a une activité de 16 désintégrations par minute par gramme. Quel est l'âge du bois ancien ? (t1/2 = 5730 ans).
Correction :
1. On remarque l'activité est passée de 16 à 4. 16 / 4 = 4 = 2².
2. Cela correspond à exactement 2 demi-vies.
3. Âge = 2 * 5730 = 11 460 ans.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 5 : Un patient absorbe une dose d'iode 131 (t1/2 = 8 jours). Au bout de combien de temps l'activité de la substance dans son corps aura-t-elle réduire significativement ?
Correction :
1. Si l'activité a réduire significativement les coûts, il reste une partie de l'activité initiale : A(t) = 0,10 * A0.
2. 0,10 = exp(-λt) => ln(0,10) = -λt => t = -ln(0,10) / λ.
3. λ = ln(2) / 8 = 0,0866 j⁻¹.
4. t = -(-2,30) / 0,0866 = 26,6 jours.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La décroissance est exponentielle. Ne confonds pas λ (constante) et t1/2 (durée). Pour les calculs de temps, l'utilisation du logarithme népérien (ln) est indispensable.
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