Cinématique & Dynamique du Solide au Lycée : Exercices

Correction :

a. Conversion de la vitesse :

Pour convertir des $km/h$ en $m/s$, tu dois diviser par $3.6$.

$$ V = \frac{90 \, km/h}{3.6} = 25 \, m/s $$

b. Distance parcourue :

Le mouvement est rectiligne uniforme, donc la distance $d$ est donnée par $d = V \times t$.

Convertis le temps en secondes : $t = 5 \, minutes = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$.

$$ d = 25 \, m/s \times 300 \, s = 7500 \, m $$

Correction :

a. Référentiel d'étude :

Pour l'application des lois de Newton, on utilise généralement un référentiel galiléen. Pour un objet sur Terre, le référentiel terrestre (lié à la Terre et supposé galiléen sur de courtes durées) est approprié.

b. Calcul de l'accélération :

Faisons le bilan des forces :

• Le poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas).
• La réaction normale de la surface $\vec{N}$ (vertical, vers le haut).
• La force appliquée $\vec{F}$ (horizontale).

La 2ème loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) énonce que $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.

Sur l'axe vertical, $\vec{P} + \vec{N} = \vec{0}$ (pas de mouvement vertical). Sur l'axe horizontal :

$$ \vec{F} = m \vec{a} $$

Puisque la force est horizontale et qu'il n'y a pas de frottement, l'accélération sera aussi horizontale.

$$ a = \frac{F}{m} $$ $$ a = \frac{10 \, N}{2 \, kg} = 5 \, m/s^2 $$

Correction :

Le travail $W$ d'une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement rectiligne $\vec{d}$ est donné par la formule :

$$ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \times d \times \cos(\alpha) $$

Ici, la force est orientée dans le sens du déplacement, donc l'angle $\alpha$ entre $\vec{F}$ et $\vec{d}$ est $0^\circ$. Or $\cos(0^\circ) = 1$.

$$ W = 50 \, N \times 20 \, m \times \cos(0^\circ) $$ $$ W = 50 \times 20 \times 1 = 1000 \, J $$

Correction :

1. Bilan des forces :

• Poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (vertical vers le bas).
• Réaction normale $\vec{N}$ (perpendiculaire au plan, vers le haut).
• Force de frottement cinétique $\vec{f}$ (parallèle au plan, opposée au mouvement, donc vers le bas du plan).
• Force de traction $\vec{F_T}$ (parallèle au plan, vers le haut).

1. Repère : Choisissons un repère dont l'axe $Ox$ est parallèle au plan incliné (vers le haut) et l'axe $Oy$ est perpendiculaire au plan (vers le haut).

1. Projections des forces :

• $\vec{F_T}$: $(F_T, 0)$
• $\vec{N}$: $(0, N)$
• $\vec{f}$: $(-f, 0)$ où $f = \mu_c N$.
• $\vec{P}$: Ses composantes sont $(-P\sin\theta, -P\cos\theta)$ où $\theta = 30^\circ$.
• $P_x = -mg\sin\theta = -5 \times 9.81 \times \sin(30^\circ) = -5 \times 9.81 \times 0.5 = -24.525 \, N$.
• $P_y = -mg\cos\theta = -5 \times 9.81 \times \cos(30^\circ) = -5 \times 9.81 \times 0.866 = -42.47 \, N$.

1. 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.

• Sur l'axe Oy (pas de mouvement) :

$$ \sum F_y = N + P_y = 0 \Rightarrow N = -P_y = mg\cos\theta $$ $$ N = 5 \times 9.81 \times \cos(30^\circ) = 42.47 \, N $$ Maintenant, on peut calculer la force de frottement : $f = \mu_c N = 0.2 \times 42.47 = 8.494 \, N$.

• Sur l'axe Ox :

$$ \sum F_x = F_T + P_x - f = m a_x $$ $$ 40 \, N - 24.525 \, N - 8.494 \, N = 5 \, kg \times a_x $$ $$ 7.981 \, N = 5 \, kg \times a_x $$ $$ a_x = \frac{7.981}{5} = 1.5962 \, m/s^2 $$

Correction :

1. Référentiel et repère : Référentiel terrestre supposé galiléen. Axe $Oy$ vertical, orienté vers le haut, origine au sol ($y=0$).

2. Bilan des forces : Seulement le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (vers le bas).

3. 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} \Rightarrow m\vec{g} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g}$. En projection sur l'axe $Oy$ : $a_y = -g = -9.81 \, m/s^2$.

4. Équations horaires :

• Vitesse : $v_y(t) = a_y t + v_0 = -gt + v_0$
• Position : $y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_0 t + y_0 = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t$ (car $y_0 = 0$).

a. Hauteur maximale :

Au sommet de sa trajectoire, la vitesse verticale du ballon est nulle ($v_y = 0$).

$$ -gt_{max} + v_0 = 0 \Rightarrow t_{max} = \frac{v_0}{g} $$ $$ t_{max} = \frac{15 \, m/s}{9.81 \, m/s^2} \approx 1.529 \, s $$

Maintenant, remplace $t_{max}$ dans l'équation de position pour trouver la hauteur maximale $h_{max}$ :

$$ h_{max} = -\frac{1}{2}g t_{max}^2 + v_0 t_{max} $$ $$ h_{max} = -\frac{1}{2}g \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 + v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) $$ $$ h_{max} = -\frac{v_0^2}{2g} + \frac{v_0^2}{g} = \frac{v_0^2}{2g} $$ $$ h_{max} = \frac{(15 \, m/s)^2}{2 \times 9.81 \, m/s^2} = \frac{225}{19.62} \approx 11.468 \, m $$

b. Temps pour atteindre la hauteur maximale :

Nous avons déjà calculé ce temps :

$$ t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{15}{9.81} \approx 1.53 \, s $$

Correction :

a. Énergie cinétique finale :

Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation de l'énergie cinétique d'un corps entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s'exercent sur lui.

$$ \Delta E_c = E_{c, finale} - E_{c, initiale} = \sum W_{ext} $$

L'objet est initialement au repos, donc $E_{c, initiale} = 0$.

Les forces extérieures sont :

• Le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{N}$ : leur travail est nul car elles sont perpendiculaires au déplacement.
• La force appliquée $\vec{F}$ : son travail $W_F = F \times d = 20 \, N \times 10 \, m = 200 \, J$.
• La force de frottement $\vec{f}$ : son travail est donné, $W_f = -50 \, J$.

La somme des travaux des forces extérieures est :

$$ \sum W_{ext} = W_P + W_N + W_F + W_f = 0 + 0 + 200 \, J - 50 \, J = 150 \, J $$

Donc, l'énergie cinétique finale est :

$$ E_{c, finale} = \sum W_{ext} = 150 \, J $$

b. Vitesse finale :

Nous savons que l'énergie cinétique est donnée par $E_c = \frac{1}{2} m v^2$.

Convertis la masse : $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$.

$$ 150 \, J = \frac{1}{2} \times 0.5 \, kg \times v_{finale}^2 $$ $$ 150 = 0.25 \, v_{finale}^2 $$ $$ v_{finale}^2 = \frac{150}{0.25} = 600 $$ $$ v_{finale} = \sqrt{600} \approx 24.49 \, m/s $$

Correction :

1. Référentiel et repère : Référentiel terrestre, axe $Ox$ horizontal et $Oy$ vertical vers le haut, origine au point de tir $(0,0)$.

2. Conditions initiales :

• $x_0 = 0$, $y_0 = 0$
• $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = 100 \cos(45^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 70.71 \, m/s$
• $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) = 100 \sin(45^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 70.71 \, m/s$

3. Accélération : Seul le poids agit, donc $\vec{a} = \vec{g}$.

• $a_x = 0$
• $a_y = -g = -9.81 \, m/s^2$

4. Équations horaires :

• Vitesse :
• $v_x(t) = v_{0x} = 70.71$
• $v_y(t) = a_y t + v_{0y} = -gt + 70.71$
• Position :
• $x(t) = v_{0x} t = 70.71 t$
• $y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_{0y} t = -\frac{1}{2}gt^2 + 70.71 t$

5. Calcul de la portée : Le projectile touche le sol lorsque $y(t) = 0$ (pour $t > 0$). $$ -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} t = 0 $$ $$ t \left(-\frac{1}{2}gt + v_{0y}\right) = 0 $$ Deux solutions : $t=0$ (point de départ) ou $-\frac{1}{2}gt + v_{0y} = 0$. $$ t_{sol} = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 70.71}{9.81} \approx 14.41 \, s $$ Maintenant, remplace ce temps dans l'équation de position horizontale pour trouver la portée $X_{portee}$ : $$ X_{portee} = x(t_{sol}) = v_{0x} \times t_{sol} $$ $$ X_{portee} = 70.71 \, m/s \times 14.41 \, s \approx 1018.9 \, m $$

Correction :

1. Référentiel : Terrestre, supposé galiléen.

2. Forces : Le poids $\vec{P}$ et la tension du fil $\vec{T}$. La tension ne travaille pas car elle est toujours perpendiculaire au déplacement. Le poids est une force conservative.

3. Conservation de l'énergie mécanique : Puisque seules des forces conservatives travaillent (ou des forces qui ne travaillent pas), l'énergie mécanique $E_m$ est conservée.

$$ E_m = E_c + E_p = constante $$

Choisissons l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur ($E_p = 0$) à la position d'équilibre (le point le plus bas de la trajectoire du pendule).

4. Position initiale (A) : Le pendule est lâché sans vitesse initiale.

• $v_A = 0 \Rightarrow E_{c,A} = 0$.
• La hauteur $h_A$ par rapport à l'origine ($E_p=0$) :

Dans la position inclinée, le centre de masse du pendule est à une hauteur $L\cos(\theta)$ du point d'accroche. Le point le plus bas (origine $E_p=0$) est à $L$ du point d'accroche. Donc $h_A = L - L\cos(\theta) = L(1 - \cos(\theta))$. $$ h_A = 0.80 \, m \times (1 - \cos(60^\circ)) = 0.80 \times (1 - 0.5) = 0.80 \times 0.5 = 0.40 \, m $$

• $E_{p,A} = mgh_A = 0.2 \, kg \times 9.81 \, m/s^2 \times 0.40 \, m = 0.7848 \, J$.
• $E_{m,A} = E_{c,A} + E_{p,A} = 0 + 0.7848 = 0.7848 \, J$.

5. Position d'équilibre (B) : Le pendule passe par sa position verticale.

• $h_B = 0$ (par définition de l'origine de $E_p$) $\Rightarrow E_{p,B} = 0$.
• $E_{c,B} = \frac{1}{2} m v_B^2$.
• $E_{m,B} = E_{c,B} + E_{p,B} = \frac{1}{2} m v_B^2 + 0 = \frac{1}{2} m v_B^2$.

6. Conservation de l'énergie mécanique : $$ E_{m,A} = E_{m,B} $$ $$ 0.7848 \, J = \frac{1}{2} m v_B^2 $$ $$ 0.7848 = \frac{1}{2} \times 0.2 \, kg \times v_B^2 $$ $$ 0.7848 = 0.1 \times v_B^2 $$ $$ v_B^2 = \frac{0.7848}{0.1} = 7.848 $$ $$ v_B = \sqrt{7.848} \approx 2.801 \, m/s $$