Salut à toi, futur professionnel de l'optique ! L'optique géométrique est un pilier de ton programme de BTS. Pour bien la maîtriser, il est essentiel de connaître et de savoir appliquer les bonnes formules. Cette série d'exercices progressifs est conçue pour t'aider à réviser et à solidifier tes connaissances, des bases aux applications plus complexes. Accroche-toi, la clarté est à portée de main !
Compétences travaillées :
- Maîtriser les lois de Snell-Descartes et la relation de conjugaison.
- Calculer la vergence et le grandissement d'un système optique.
- Appliquer les formules aux lentilles minces, miroirs sphériques et dioptres plans.
- Résoudre des problèmes complexes impliquant plusieurs éléments optiques.
Erreurs fréquentes à éviter :
- Confondre les conventions de signe : Rappelle-toi que les distances peuvent être positives ou négatives selon leur orientation par rapport au sommet ou au centre optique. Une erreur de signe peut invalider tout ton calcul.
- Oublier les unités : La vergence s'exprime en dioptries (D) si les distances sont en mètres (m). La plupart des autres grandeurs sont sans unité ou en mètres. Sois rigoureux !
- Mélanger les formules pour lentilles et miroirs : Bien que similaires, certaines relations de conjugaison ont des spécificités. Vérifie toujours si tu utilises la bonne formule pour le bon type de système optique.
- Négliger les schémas : Un bon schéma à l'échelle (même mental) aide énormément à visualiser la situation et à vérifier la cohérence de tes résultats.
Série d'exercices : Maîtrise des formules d'optique géométrique
Exercice 1 : Lois de Snell-Descartes (Facile)
Un rayon lumineux passe de l'air (indice $n_1 = 1$) vers un verre d'indice $n_2 = 1,5$. L'angle d'incidence est de $30^\circ$.
- Calcule l'angle de réfraction.
- Si le rayon passe du verre vers l'air avec un angle d'incidence de $45^\circ$, y aura-t-il réfraction ou réflexion totale interne ? Justifie ta réponse.
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 1
-
La loi de Snell-Descartes s'écrit $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$.
On a $n_1 = 1$, $n_2 = 1,5$, $i_1 = 30^\circ$.
Donc $1 \times \sin(30^\circ) = 1,5 \times \sin(i_2)$.
$\sin(30^\circ) = 0,5$.
$0,5 = 1,5 \times \sin(i_2)$.
$\sin(i_2) = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3} \approx 0,333$.
$i_2 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19,47^\circ$.
L'angle de réfraction est d'environ $19,47^\circ$.
-
Pour savoir s'il y a réfraction ou réflexion totale interne, il faut calculer l'angle limite $i_L$.
L'angle limite est donné par $\sin(i_L) = \frac{n_{milieu\ moins\ réfringent}}{n_{milieu\ plus\ réfringent}} = \frac{n_{air}}{n_{verre}} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}$.
$i_L = \arcsin(\frac{2}{3}) \approx 41,81^\circ$.
L'angle d'incidence ($45^\circ$) est supérieur à l'angle limite ($41,81^\circ$).
Il y aura donc réflexion totale interne. Le rayon ne passera pas dans l'air, il sera entièrement réfléchi à l'intérieur du verre.
Exercice 2 : Vergence et Focale (Facile)
Une lentille mince convergente a une distance focale image $f' = 20 \text{ cm}$.
- Calcule sa vergence $V$.
- Si tu as besoin d'une lentille de vergence $V = -2,5 \text{ D}$, quelle est sa distance focale image $f'$ et de quel type de lentille s'agit-il ?
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 2
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La vergence $V$ est l'inverse de la distance focale image $f'$, exprimée en mètres.
$f' = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m}$.
$V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,20} = 5 \text{ D}$.
La vergence de la lentille est de $5$ dioptries.
-
On a $V = -2,5 \text{ D}$.
$f' = \frac{1}{V} = \frac{1}{-2,5} = -0,4 \text{ m} = -40 \text{ cm}$.
La distance focale image est de $-40 \text{ cm}$. Puisque $V < 0$ et $f' < 0$, il s'agit d'une lentille divergente.
Exercice 3 : Relation de conjugaison (Facile)
Un objet $AB$ de $2 \text{ cm}$ de hauteur est placé à $30 \text{ cm}$ devant une lentille convergente de distance focale $f' = 10 \text{ cm}$.
- Détermine la position de l'image $A'B'$.
- Calcule le grandissement $\gamma$ et la taille de l'image $A'B'$.
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 3
-
On utilise la relation de conjugaison pour les lentilles minces : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$.
Avec les conventions de signe : $\overline{OA} = -30 \text{ cm}$ (objet réel placé avant la lentille), $f' = 10 \text{ cm}$ (lentille convergente).
$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
$\overline{OA'} = 15 \text{ cm}$.
L'image $A'B'$ se forme à $15 \text{ cm}$ après la lentille (image réelle).
-
Le grandissement $\gamma$ est donné par $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
$\gamma = \frac{15}{-30} = -0,5$.
La taille de l'image $A'B' = \gamma \times \overline{AB} = -0,5 \times 2 \text{ cm} = -1 \text{ cm}$.
L'image est deux fois plus petite que l'objet, inversée (signe négatif) et mesure $1 \text{ cm}$.
Exercice 4 : Miroir sphérique (Moyen)
Un miroir sphérique concave a un rayon de courbure $R = -40 \text{ cm}$ (sa face réfléchissante est tournée vers l'objet).
- Calcule sa distance focale $f$.
- Un objet ponctuel $A$ est placé à $60 \text{ cm}$ devant le miroir. Où se forme son image $A'$ ?
Barème indicatif : 2,5 points
Correction Exercice 4
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Pour un miroir sphérique, la distance focale $f$ est la moitié du rayon de courbure $R$.
$f = \frac{R}{2}$.
$f = \frac{-40 \text{ cm}}{2} = -20 \text{ cm}$.
La distance focale du miroir est de $-20 \text{ cm}$. Note que pour un miroir concave, le foyer F est réel, donc $f$ est négatif dans la convention des opticiens.
-
On utilise la relation de conjugaison pour les miroirs sphériques : $\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{1}{f}$.
Avec les conventions de signe : $\overline{SA} = -60 \text{ cm}$ (objet réel placé avant le miroir), $f = -20 \text{ cm}$.
$\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{\overline{SA'}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{60} = \frac{-3}{60} + \frac{1}{60} = \frac{-2}{60} = \frac{-1}{30}$.
$\overline{SA'} = -30 \text{ cm}$.
L'image $A'$ se forme à $30 \text{ cm}$ devant le miroir (image réelle).
Exercice 5 : Association de lentilles minces (Moyen)
Deux lentilles minces $L_1$ et $L_2$ sont accolées. Leurs vergences sont respectivement $V_1 = +3 \text{ D}$ et $V_2 = -1 \text{ D}$.
- Calcule la vergence équivalente $V_{eq}$ de l'ensemble.
- Déduis-en la distance focale image $f'_{eq}$ de l'ensemble.
- De quel type est le système optique résultant ?
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 5
-
Pour des lentilles minces accolées, la vergence équivalente est la somme des vergences individuelles : $V_{eq} = V_1 + V_2$.
$V_{eq} = +3 \text{ D} + (-1 \text{ D}) = +2 \text{ D}$.
La vergence équivalente de l'ensemble est de $+2$ dioptries.
-
La distance focale image équivalente $f'_{eq}$ est l'inverse de la vergence équivalente, exprimée en mètres.
$f'_{eq} = \frac{1}{V_{eq}} = \frac{1}{+2} = +0,5 \text{ m} = +50 \text{ cm}$.
La distance focale image de l'ensemble est de $+50 \text{ cm}$.
-
Puisque la vergence équivalente est positive ($V_{eq} > 0$) et la distance focale image est positive ($f'_{eq} > 0$), le système optique résultant est une lentille convergente.
Exercice 6 : Dioptre plan (Moyen)
Un poisson se trouve à une profondeur de $50 \text{ cm}$ dans un aquarium rempli d'eau (indice $n_{eau} = 1,33$). Un observateur regarde le poisson à la verticale depuis l'air (indice $n_{air} = 1$).
À quelle profondeur apparente l'observateur voit-il le poisson ?
Barème indicatif : 2,5 points
Correction Exercice 6
Pour un dioptre plan, la relation entre la position réelle $\overline{SA}$ et la position apparente $\overline{SA'}$ d'un objet est donnée par :
$\frac{\overline{SA'}}{n_{milieu\ image}} = \frac{\overline{SA}}{n_{milieu\ objet}}$.
Ici, l'objet est le poisson dans l'eau, donc $n_{milieu\ objet} = n_{eau} = 1,33$.
L'observateur est dans l'air, donc le milieu image est l'air, $n_{milieu\ image} = n_{air} = 1$.
La position réelle du poisson par rapport à la surface (le dioptre) est $\overline{SA} = -50 \text{ cm}$ (l'objet est avant le dioptre).
Donc, $\frac{\overline{SA'}}{1} = \frac{-50}{1,33}$.
$\overline{SA'} = \frac{-50}{1,33} \approx -37,59 \text{ cm}$.
L'observateur voit le poisson à une profondeur apparente d'environ $37,59 \text{ cm}$. Il le voit donc plus proche de la surface qu'il ne l'est réellement.
Exercice 7 : Système de deux lentilles (Difficile)
Un système optique est constitué de deux lentilles minces convergentes $L_1$ et $L_2$, de distances focales respectives $f'_1 = 10 \text{ cm}$ et $f'_2 = 20 \text{ cm}$. Les deux lentilles sont séparées par une distance $d = O_1O_2 = 30 \text{ cm}$.
Un objet $AB$ de $1 \text{ cm}$ de hauteur est placé à $15 \text{ cm}$ devant la première lentille $L_1$ ($\overline{O_1A} = -15 \text{ cm}$).
- Détermine la position et la taille de l'image intermédiaire $A_1B_1$ donnée par $L_1$.
- Détermine la position et la taille de l'image finale $A_2B_2$ donnée par $L_2$.
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 7
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Pour la lentille $L_1$ :
On utilise la relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{O_1A_1}} - \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{f'_1}$.
$\overline{O_1A} = -15 \text{ cm}$ et $f'_1 = 10 \text{ cm}$.
$\frac{1}{\overline{O_1A_1}} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{\overline{O_1A_1}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}$.
$\overline{O_1A_1} = 30 \text{ cm}$.
L'image intermédiaire $A_1B_1$ se forme à $30 \text{ cm}$ après $L_1$.
Calcul du grandissement $\gamma_1 = \frac{\overline{A_1B_1}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}}$.
$\gamma_1 = \frac{30}{-15} = -2$.
Taille de l'image $A_1B_1 = \gamma_1 \times \overline{AB} = -2 \times 1 \text{ cm} = -2 \text{ cm}$.
L'image $A_1B_1$ est réelle, inversée et mesure $2 \text{ cm}$.
-
Pour la lentille $L_2$ :
L'image $A_1B_1$ de $L_1$ devient l'objet pour $L_2$. On doit d'abord calculer sa position par rapport à $O_2$.
$\overline{O_2A_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1A_1}$. (ou $\overline{O_2A_1} = \overline{O_1A_1} - d$)
Attention aux signes. $O_1O_2 = 30 \text{ cm}$. $\overline{O_1A_1} = 30 \text{ cm}$.
L'image $A_1$ est située à $30 \text{ cm}$ de $O_1$. La lentille $L_2$ est située à $30 \text{ cm}$ de $O_1$. Donc l'image $A_1$ se trouve exactement sur le centre optique $O_2$ de la deuxième lentille.
$\overline{O_2A_1} = \overline{O_1A_1} - \overline{O_1O_2} = 30 \text{ cm} - 30 \text{ cm} = 0 \text{ cm}$.
L'objet pour $L_2$ est $A_1B_1$, et il est situé au centre optique $O_2$ de $L_2$.
Pour un objet placé au centre optique d'une lentille mince, l'image se forme aussi au centre optique avec un grandissement de 1 (ou l'image est à l'infini si c'est le foyer objet, mais ici c'est le centre optique, le rayon n'est pas dévié).
On utilise la relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{O_2A_2}} - \frac{1}{\overline{O_2A_1}} = \frac{1}{f'_2}$.
$\frac{1}{\overline{O_2A_2}} - \frac{1}{0}$... Attention, cette formulation est problématique. Si l'objet est sur le centre optique, l'image est aussi sur le centre optique, et a la même taille.
En effet, un rayon passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié. Donc si $A_1$ est en $O_2$, $A_2$ est aussi en $O_2$.
Donc $\overline{O_2A_2} = 0 \text{ cm}$.
Calcul du grandissement $\gamma_2 = \frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}} = \frac{\overline{O_2A_2}}{\overline{O_2A_1}}$. Ce calcul est indéterminé si $O_2A_1 = 0$.
Un objet situé sur le centre optique d'une lentille mince donne une image au même endroit, de même taille et de même sens.
Donc $\overline{A_2B_2} = \overline{A_1B_1} = -2 \text{ cm}$.
L'image finale $A_2B_2$ se forme au centre optique de $L_2$ (c'est-à-dire $O_2$), est inversée et mesure $2 \text{ cm}$.
Exercice 8 : Détermination de vergence à partir d'un grandissement (Difficile)
Une lentille mince $L$ forme une image réelle $A'B'$ d'un objet réel $AB$. L'objet $AB$ est placé à $20 \text{ cm}$ de la lentille ($\overline{OA} = -20 \text{ cm}$). Le grandissement transverse est $\gamma = -1,5$.
- Détermine la position de l'image $A'B'$.
- Calcule la distance focale image $f'$ de la lentille.
- Déduis-en la vergence $V$ de cette lentille.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 8
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On sait que le grandissement $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
On a $\gamma = -1,5$ et $\overline{OA} = -20 \text{ cm}$.
Donc $-1,5 = \frac{\overline{OA'}}{-20}$.
$\overline{OA'} = -1,5 \times (-20) = 30 \text{ cm}$.
L'image $A'B'$ se forme à $30 \text{ cm}$ après la lentille.
-
On utilise la relation de conjugaison pour les lentilles minces : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$.
$\frac{1}{30} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{f'}$.
$\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{1}{f'}$.
Pour additionner les fractions, on trouve un dénominateur commun (60) :
$\frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{1}{f'}$.
$\frac{5}{60} = \frac{1}{f'}$.
$\frac{1}{12} = \frac{1}{f'}$.
$f' = 12 \text{ cm}$.
La distance focale image de la lentille est de $12 \text{ cm}$.
-
La vergence $V$ est l'inverse de la distance focale image $f'$ exprimée en mètres.
$f' = 12 \text{ cm} = 0,12 \text{ m}$.
$V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,12} \approx 8,33 \text{ D}$.
La vergence de cette lentille est d'environ $8,33$ dioptries. C'est une lentille convergente.
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