Niveau : BTS, du facile au difficile. Durée estimée : 50 min. 8 exercices avec corrections détaillées : à chaque fois, tu choisis la formule, puis tu poses les signes.
Rappel des notions clés
En optique, tu choisis la formule d'après ce que la lumière rencontre, puis tu poses les signes avant tout calcul. Les distances sont algébriques (munies d'un signe) : l'axe suit le sens de la lumière incidente, et une distance comptée dans ce sens est positive. Exemple : un objet réel à $25\ \text{cm}$ devant une lentille de distance focale $f' = 20\ \text{cm}$ donne $\overline{OA} = -25\ \text{cm}$, puis $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{1}{100}$ : $\overline{OA'} = +100\ \text{cm}$, l'image est réelle, un mètre derrière la lentille.
Une image est réelle quand la lumière passe vraiment par elle : un écran placé là la recueille. Pour une lentille, c'est le cas si $\overline{OA'} > 0$. Un miroir renvoie la lumière en arrière : son image est réelle si $\overline{SA'} < 0$, devant lui. Le grandissement $\gamma$, rapport de la taille de l'image à celle de l'objet, donne le sens par son signe : positif, l'image est droite ; négatif, elle est renversée. Les formules des lentilles, des miroirs et du dioptre plan supposent les conditions de Gauss : des rayons proches de l'axe et peu inclinés sur lui.
La conjugaison et le grandissement d'une lentille convergente figurent déjà dans le programme de spécialité physique-chimie de première (BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019) ; ici s'y ajoutent les lentilles divergentes, les miroirs et les surfaces planes.
Formules à retenir :
- Réfraction : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$, angles mesurés depuis la normale à la surface.
- Angle limite, vers un milieu moins réfringent (d'indice plus faible, $n_1 > n_2$) : $\sin i_L = \frac{n_2}{n_1}$ ; au-delà, la réflexion est totale.
- Dioptre plan (surface plane entre deux milieux transparents), objet dans le milieu $n_1$ : $\frac{n_1}{\overline{SA}} = \frac{n_2}{\overline{SA'}}$, où $S$ est le point de la surface le plus proche de l'objet.
- Miroir sphérique de sommet $S$ et de centre $C$ : $\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}$ et $\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}$. Son foyer $F$, image d'un point très lointain de l'axe, vérifie $\overline{SF} = \frac{\overline{SC}}{2}$.
- Lentille mince de centre $O$ : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$ et $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
- Vergence : $V = \frac{1}{f'}$, en dioptries ($\delta$) avec $f'$ en mètres ; $V > 0$ pour une lentille convergente. Lentilles accolées : $V = V_1 + V_2$.
Piège classique : un objet réel, placé devant une lentille ou un miroir, a une distance négative : $\overline{OA} < 0$ ou $\overline{SA} < 0$. Si tu entres $+4\ \text{cm}$ au lieu de $-4\ \text{cm}$, la formule rend un résultat faux sans prévenir. Écris le signe de chaque donnée avant de calculer.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Au laboratoire, un faisceau laser passe de l'air ($n_1 = 1,00$) dans un liquide inconnu, avec un angle d'incidence $i_1 = 50,0^\circ$. Tu mesures un angle de réfraction $i_2 = 34,0^\circ$. Calcule l'indice $n_2$ du liquide, puis l'angle limite pour la lumière qui sortirait de ce liquide vers l'air.
Correction :
La loi de la réfraction, retournée, donne l'indice : $n_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2} = \frac{0,766}{0,559} \approx 1,37$.
Vers l'air, $\sin i_L = \frac{1,00}{1,37} \approx 0,730$, donc $n_2 \approx 1,37$ et $i_L \approx 46,9^\circ$. Au-delà de cet angle, la lumière ne sort plus du liquide.
Exercice 2 : Une pièce repose au fond d'une piscine remplie d'eau ($n = 1,33$), à $2,00\ \text{m}$ de profondeur. Tu la regardes depuis l'air, presque à la verticale. Calcule la profondeur à laquelle tu la vois, puis justifie la précision « presque à la verticale ».
Correction :
La lumière va de la pièce vers ton œil à travers un dioptre plan, avec $n_1 = 1,33$ côté objet et $n_2 = 1,00$ côté air. L'axe orienté vers le haut donne $\overline{SA} = -2,00\ \text{m}$.
$\overline{SA'} = \frac{n_2}{n_1}\,\overline{SA} = -\frac{2,00}{1,33} \approx -1,50\ \text{m}$ : tu vois la pièce à environ $1,50\ \text{m}$ de profondeur, une image virtuelle $50\ \text{cm}$ au-dessus d'elle.
La formule suppose des rayons proches de la normale. Vue en biais, la profondeur apparente change avec l'angle et la formule ne s'applique plus.
Exercice 3 : Tu disposes d'une lentille convergente de distance focale $f'_1 = 10,0\ \text{cm}$. Quelle lentille faut-il lui accoler pour obtenir un ensemble de distance focale $f' = 25,0\ \text{cm}$ ? Calcule sa vergence et sa distance focale, puis donne sa nature.
Correction :
Les vergences de lentilles accolées s'additionnent, à condition de passer les distances en mètres.
$V_1 = \frac{1}{0,100} = 10,0\ \delta$ et $V = \frac{1}{0,250} = 4,00\ \delta$, donc $V_2 = V - V_1 = -6,00\ \delta$ et $f'_2 = \frac{1}{V_2} \approx -0,167\ \text{m}$.
Il faut une lentille divergente de vergence $-6,00\ \delta$, soit $f'_2 \approx -16,7\ \text{cm}$. Avec des centimètres, $\frac{1}{10} = 0,1$ donnerait une vergence cent fois trop petite.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Une loupe est une lentille convergente de distance focale $f' = 5,0\ \text{cm}$. Tu places un timbre de $2,0\ \text{cm}$ de haut à $4,0\ \text{cm}$ devant elle. Calcule la position de l'image et le grandissement, puis décris l'image. Un camarade trouve $\overline{OA'} \approx +2,2\ \text{cm}$ : explique son erreur.
Correction :
On applique la conjugaison de la lentille avec $\overline{OA} = -4,0\ \text{cm}$ : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{5,0} - \frac{1}{4,0} = -\frac{1}{20}$, donc $\overline{OA'} = -20\ \text{cm}$.
$\gamma = \frac{-20}{-4,0} = +5,0$ : l'image est virtuelle, droite, haute de $10\ \text{cm}$, à $20\ \text{cm}$ devant la loupe, du côté du timbre. C'est elle que ton œil regarde à travers la loupe.
Le camarade a pris $\overline{OA} = +4,0\ \text{cm}$ : $\frac{1}{5,0} + \frac{1}{4,0}$ lui donne $2,2\ \text{cm}$, une image réelle qui n'existe pas.
Exercice 5 : Un projecteur doit former, sur un écran placé à $3,00\ \text{m}$ de son objectif, l'image d'une diapositive agrandie $50$ fois et renversée. L'objectif est assimilé à une lentille mince. Calcule la distance entre la diapositive et l'objectif, puis la vergence et la distance focale de l'objectif.
Correction :
Le grandissement place l'objet, puis la conjugaison donne la vergence. Image renversée : $\gamma = -50$, avec $\overline{OA'} = +3,00\ \text{m}$.
$\overline{OA} = \frac{\overline{OA'}}{\gamma} = \frac{3,00}{-50} = -0,0600\ \text{m}$ : la diapositive est à $6,00\ \text{cm}$ de l'objectif.
$V = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{3,00} + \frac{1}{0,0600} = 17,0\ \delta$, donc $V = 17,0\ \delta$ et $f' = \frac{1}{V} \approx 5,88\ \text{cm}$. La diapositive est à peine plus loin que le foyer objet, situé à $5,88\ \text{cm}$ devant l'objectif : c'est ce qui donne un fort agrandissement.
Exercice 6 : Un miroir grossissant de salle de bains est un miroir sphérique concave de rayon $50\ \text{cm}$, donc $\overline{SC} = -50\ \text{cm}$. Ton visage est à $15\ \text{cm}$ du miroir. Calcule la position de l'image et le grandissement, puis explique pourquoi tu te vois droit et agrandi.
Correction :
C'est la formule du miroir qui s'applique, pas celle de la lentille, avec $\overline{SA} = -15\ \text{cm}$.
$\frac{1}{\overline{SA'}} = \frac{2}{\overline{SC}} - \frac{1}{\overline{SA}} = -\frac{2}{50} + \frac{1}{15} = \frac{2}{75}$, donc $\overline{SA'} = +37,5\ \text{cm}$ et $\gamma = -\frac{37,5}{-15} = +2,5$.
L'image est à $37,5\ \text{cm}$ derrière le miroir : virtuelle, droite, $2,5$ fois plus grande. Ton visage est entre le miroir et son foyer ($\overline{SF} = -25\ \text{cm}$) : dans cette zone, un miroir concave agrandit sans renverser.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : L'objectif d'un appareil photo est assimilé à une lentille mince de distance focale $f' = 50,0\ \text{mm}$. Où placer le capteur pour photographier un paysage lointain ? Tu photographies ensuite une personne de $1,80\ \text{m}$ placée à $2,00\ \text{m}$ de l'objectif : de combien l'objectif doit-il s'éloigner du capteur ? Le capteur mesure $24\ \text{mm}$ de haut : la personne y entre-t-elle en entier ?
Correction :
Un objet très lointain donne son image au foyer image : $\frac{1}{\overline{OA}} \approx 0$, donc $\overline{OA'} = f'$ et le capteur est à $50,0\ \text{mm}$ de l'objectif.
Pour la personne, $\overline{OA} = -2\,000\ \text{mm}$ : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{50,0} - \frac{1}{2\,000} = \frac{39}{2\,000}$, donc $\overline{OA'} \approx 51,3\ \text{mm}$. L'objectif doit s'éloigner du capteur d'environ $1,3\ \text{mm}$ : c'est la mise au point.
$\gamma = \frac{51,3}{-2\,000} \approx -0,0256$, et l'image mesure $1\,800 \times 0,0256 \approx 46\ \text{mm}$ : plus que les $24\ \text{mm}$ du capteur, la personne n'entre pas en entier. Il faut reculer.
Exercice 8 : Deux lentilles convergentes de même axe, $L_1$ de distance focale $f'_1 = 10\ \text{cm}$ puis $L_2$ de distance focale $f'_2 = 20\ \text{cm}$, sont séparées de $O_1O_2 = 70\ \text{cm}$. Un objet $AB$ de $1,0\ \text{cm}$ est placé $15\ \text{cm}$ devant $L_1$. Détermine la position, la taille et le sens de l'image finale. Un camarade additionne les vergences et trouve $15\ \delta$ : pourquoi a-t-il tort ?
Correction :
On enchaîne deux conjugaisons : l'image donnée par $L_1$ sert d'objet à $L_2$.
Par $L_1$ : $\frac{1}{\overline{O_1A_1}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$, donc $\overline{O_1A_1} = +30\ \text{cm}$ et $\gamma_1 = \frac{30}{-15} = -2$.
Vu de $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1A_1} = -70 + 30 = -40\ \text{cm}$, un objet réel $40\ \text{cm}$ devant $L_2$.
Par $L_2$ : $\frac{1}{\overline{O_2A'}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40}$, donc $\overline{O_2A'} = +40\ \text{cm}$ et $\gamma_2 = \frac{40}{-40} = -1$.
Avec $\gamma = \gamma_1 \gamma_2 = +2$, l'image finale est réelle, à $40\ \text{cm}$ derrière $L_2$, droite, haute de $2,0\ \text{cm}$. La somme $V_1 + V_2$ ne vaut que pour des lentilles accolées ; ici, $70\ \text{cm}$ les séparent.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : avant de calculer, repère ce que la lumière rencontre, prends la formule qui va avec et écris le signe de chaque distance. Après, lis tes signes : la position de l'image dit si elle est réelle ou virtuelle, le signe de $\gamma$ si elle est droite ou renversée.
En devoir, fais d'abord un schéma rapide, même sans échelle : il montre de quel côté l'image doit tomber. Si ton calcul la place de l'autre côté, cherche un signe oublié ou une distance restée en centimètres dans $V = \frac{1}{f'}$.
Sources
Programme de physique-chimie de première générale (enseignement de spécialité), partie « Ondes et signaux » : annexe du BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019, ministère de l'Éducation nationale.