Maîtrise des Circuits RC et RLC : Exercices Corrigés

Correction :

a. La constante de temps $\tau$ d'un circuit RC série est donnée par la formule $\tau = RC$.

Commençons par convertir les unités si nécessaire :

• $R = 10 \, k\Omega = 10 \times 10^3 \, \Omega$
• $C = 220 \, \mu F = 220 \times 10^{-6} \, F$

Maintenant, appliquons la formule :

$$ \tau = (10 \times 10^3 \, \Omega) \times (220 \times 10^{-6} \, F) $$ $$ \tau = 10 \times 220 \times 10^{-3} \, s $$ $$ \tau = 2200 \times 10^{-3} \, s $$ $$ \tau = 2.2 \, s $$

b. La constante de temps $\tau$ représente le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur (lors de sa charge) atteigne environ 63% de sa valeur finale, ou pour qu'elle diminue à environ 37% de sa valeur initiale (lors de sa décharge). C'est un indicateur de la rapidité avec laquelle le circuit réagit à une modification de la tension d'alimentation.

Correction :

En régime permanent, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert pour un courant continu. Cela signifie qu'aucun courant ne le traverse une fois qu'il est complètement chargé.

Puisque le condensateur est en série avec la résistance et la source de tension, et qu'il n'y a pas de courant en régime permanent, la chute de tension aux bornes de la résistance sera nulle ($U_R = R \times I = R \times 0 = 0$).

Par conséquent, toute la tension de la source se retrouvera aux bornes du condensateur.

$$ U_C(\infty) = E $$ $$ U_C(\infty) = 12 \, V $$

Correction :

La fréquence propre $f_0$ d'un circuit LC série est donnée par la formule :

$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

Convertissons les unités :

• $L = 250 \, mH = 250 \times 10^{-3} \, H$
• $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$

Maintenant, substituons les valeurs dans la formule :

$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(250 \times 10^{-3}) \times (10 \times 10^{-6})}} $$ $$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2500 \times 10^{-9}}} $$ $$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-6}}} $$ $$ f_0 = \frac{1}{2\pi \times \sqrt{2.5} \times 10^{-3}} $$ $$ f_0 \approx \frac{1}{2\pi \times 1.581 \times 10^{-3}} $$ $$ f_0 \approx \frac{1}{9.934 \times 10^{-3}} $$ $$ f_0 \approx 100.66 \, Hz $$

Correction :

Pour établir l'équation différentielle, nous allons utiliser la loi des mailles et les relations caractéristiques des composants.

1. Loi des mailles : Dans un circuit série, la somme des tensions est égale à la tension du générateur. $$ E = u_R(t) + u_C(t) $$
2. Relations caractéristiques des composants :
   • Pour la résistance : $u_R(t) = R \times i(t)$
   • Pour le condensateur : $i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}$
3. Substitution : Remplace $i(t)$ dans l'équation de la résistance : $$ u_R(t) = R \times C \frac{du_C(t)}{dt} $$
4. Intégration dans la loi des mailles : $$ E = R \times C \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) $$
5. Réorganisation : Pour obtenir la forme standard de l'équation différentielle : $$ RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E $$

Correction :

a. La tension aux bornes d'un condensateur en décharge est donnée par $u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}$.

Nous savons qu'au bout d'une constante de temps $\tau$, la tension a diminué à $U_0 \times e^{-1} \approx U_0 \times 0.368$.

Calculons cette valeur pour $U_0 = 10 \, V$ :

$$ 10 \, V \times 0.368 = 3.68 \, V $$

L'énoncé indique la tension atteint $3.7 \, V$ (qui est très proche de $3.68 \, V$) après $1 \, ms$. Donc, par définition, $t = \tau = 1 \, ms$.

b. Nous savons que $\tau = RC$. Nous avons $\tau = 1 \times 10^{-3} \, s$ et $R = 100 \, \Omega$.

On peut donc isoler $C$ :

$$ C = \frac{\tau}{R} $$ $$ C = \frac{1 \times 10^{-3} \, s}{100 \, \Omega} $$ $$ C = 0.01 \times 10^{-3} \, F $$ $$ C = 10 \times 10^{-6} \, F $$ $$ C = 10 \, \mu F $$

Correction :

a. Établissement de l'équation différentielle :

1. Loi des mailles : $E = u_R(t) + u_L(t)$
2. Relations caractéristiques :
   • $u_R(t) = R \times i(t)$
   • $u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}$
3. Substitution : $$ E = R \times i(t) + L \frac{di(t)}{dt} $$
4. Réorganisation : $$ L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) = E $$

b. Résolution de l'équation différentielle :

Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. La solution est de la forme $i(t) = i_p + i_h$, où $i_p$ est la solution particulière (régime permanent) et $i_h$ est la solution homogène (régime transitoire).

1. Solution particulière (régime permanent, $t \to \infty$) : En régime permanent, la bobine se comporte comme un court-circuit. Le courant est alors constant, $di/dt = 0$. $$ R i_p = E \Rightarrow i_p = \frac{E}{R} $$ $$ i_p = \frac{10 \, V}{50 \, \Omega} = 0.2 \, A $$
2. Solution homogène : L'équation homogène est $L \frac{di_h(t)}{dt} + R i_h(t) = 0$. Sa solution est de la forme $i_h(t) = A e^{-t/\tau_{RL}}$. La constante de temps $\tau_{RL}$ d'un circuit RL est $\tau_{RL} = L/R$. $$ \tau_{RL} = \frac{200 \times 10^{-3} \, H}{50 \, \Omega} = \frac{0.2}{50} = 0.004 \, s = 4 \, ms $$ Donc, $i_h(t) = A e^{-t/(4 \times 10^{-3})}$.
3. Solution générale : $$ i(t) = i_p + i_h = \frac{E}{R} + A e^{-t/\tau_{RL}} = 0.2 + A e^{-t/(4 \times 10^{-3})} $$
4. Conditions initiales : À $t=0^+$, la bobine s'oppose à l'établissement du courant. Si le courant était nul avant ($i(0^-)=0$), il reste nul juste après la fermeture de l'interrupteur ($i(0^+)=0$). $$ i(0) = 0.2 + A e^0 = 0.2 + A $$ Donc, $0.2 + A = 0 \Rightarrow A = -0.2$.
5. Expression finale du courant : $$ i(t) = 0.2 - 0.2 e^{-t/(4 \times 10^{-3})} $$ $$ i(t) = 0.2 (1 - e^{-t/(4 \times 10^{-3})}) \, A $$

Correction :

a. Tension $u_C(0^-)$ :

L'interrupteur K est ouvert depuis très longtemps, le circuit est en régime permanent. Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert. Puisque K est ouvert, aucune branche contenant $R_2$ et $C$ n'est connectée. Le circuit se résume donc à $E$ et $R_1$.

Le condensateur est déconnecté du générateur. S'il n'était pas chargé initialement ou s'il a pu se décharger, sa tension est nulle.

b. Tension $u_C(0^+)$ :

À $t=0^+$, l'interrupteur est fermé. La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas varier instantanément. Donc, la tension aux bornes du condensateur juste après la fermeture est la même que juste avant.

$$ u_C(0^+) = u_C(0^-) $$

c. Tension $u_C(\infty)$ :

En régime permanent ($t \to \infty$), le condensateur se comporte à nouveau comme un circuit ouvert. L'interrupteur K est fermé.

Le circuit est maintenant $E$, $R_1$ en série avec le parallèle de $R_2$ et le "circuit ouvert" du condensateur. Puisque le condensateur est un circuit ouvert, aucun courant ne le traverse. Par contre, le courant peut passer par $R_2$.

Le circuit équivalent en régime permanent est donc $E$, $R_1$ en série avec $R_2$.

Le courant total $I_{total}$ qui traverse $R_1$ est :

$$ I_{total} = \frac{E}{R_1 + R_2} $$ $$ I_{total} = \frac{10 \, V}{100 \, \Omega + 200 \, \Omega} = \frac{10}{300} = \frac{1}{30} \, A $$

La tension aux bornes du condensateur ($u_C(\infty)$) est la même que la tension aux bornes de $R_2$, car ils sont en parallèle.

$$ u_C(\infty) = u_{R2}(\infty) = R_2 \times I_{total} $$ $$ u_C(\infty) = 200 \, \Omega \times \frac{1}{30} \, A = \frac{200}{30} = \frac{20}{3} \, V $$ $$ u_C(\infty) \approx 6.67 \, V $$

Correction :

En régime permanent pour un circuit alimenté en courant continu :

• Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
• La bobine se comporte comme un court-circuit.

Dans notre circuit RLC série, cela signifie qu'en régime permanent, le courant $I_{perm}$ qui circule dans le circuit est déterminé par la résistance seule (puisque la bobine est un court-circuit et le condensateur est un circuit ouvert, il n'y aura pas de courant dans la branche contenant le condensateur si elle est en série).

Ah, attention ! Si le condensateur est en série dans un circuit alimenté en continu, son comportement en circuit ouvert signifie qu'aucun courant ne peut circuler du tout en régime permanent dans la boucle RLC. Le courant sera donc nul.

$$ I_{perm} = 0 \, A $$

Maintenant, calculons l'énergie emmagasinée dans chaque composant.

1. Énergie stockée dans le condensateur ($E_C$) : La tension aux bornes du condensateur en régime permanent est égale à la tension du générateur car il n'y a pas de chute de tension aux bornes de R (puisque I=0) et L (qui est un court-circuit). $$ U_C(\infty) = E = 20 \, V $$ L'énergie est donnée par $E_C = \frac{1}{2} C U_C^2$. $$ E_C = \frac{1}{2} \times (100 \times 10^{-6} \, F) \times (20 \, V)^2 $$ $$ E_C = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times 400 $$ $$ E_C = 50 \times 400 \times 10^{-6} $$ $$ E_C = 20000 \times 10^{-6} = 0.02 \, J $$
2. Énergie stockée dans la bobine ($E_L$) : L'énergie dans une bobine est donnée par $E_L = \frac{1}{2} L I_L^2$. En régime permanent, nous avons établi que le courant est nul ($I_{perm} = 0 \, A$). $$ E_L = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3} \, H) \times (0 \, A)^2 $$ $$ E_L = 0 \, J $$
3. Énergie dissipée dans la résistance : La résistance dissipe de l'énergie, elle n'en stocke pas. En régime permanent, comme le courant est nul, la puissance dissipée est également nulle.

L'énergie totale emmagasinée dans le circuit est la somme des énergies stockées dans les condensateurs et les bobines.

$$ E_{totale} = E_C + E_L $$ $$ E_{totale} = 0.02 \, J + 0 \, J $$ $$ E_{totale} = 0.02 \, J $$

Correction :

a. Échange d'énergie :

Initialement, l'énergie est stockée dans le condensateur sous forme électrique ($E_C = \frac{1}{2} C U^2$).

1. Le condensateur commence à se décharger à travers la résistance et l'inductance. Le courant augmente dans l'inductance, l'énergie électrique du condensateur est convertie en énergie magnétique dans la bobine ($E_L = \frac{1}{2} L I^2$) et dissipée en chaleur dans la résistance ($P_R = R I^2$).
2. Lorsque le condensateur est complètement déchargé (tension nulle), toute l'énergie restante est sous forme magnétique dans l'inductance et a été dissipée dans la résistance. La bobine s'oppose à la variation de courant et maintient le courant, rechargeant le condensateur avec une polarité inverse.
3. Ce cycle se répète : l'énergie magnétique est convertie en énergie électrique dans le condensateur (avec la polarité inversée), puis le condensateur se décharge à nouveau, et ainsi de suite.

Cet échange est constant entre le condensateur et l'inductance, mais l'énergie totale du système diminue à chaque cycle à cause de la dissipation par effet Joule dans la résistance.

b. Rôle de la résistance $R$ :

La résistance $R$ est l'élément dissipatif du circuit. Son rôle est de convertir une partie de l'énergie électrique et magnétique en chaleur par effet Joule. C'est elle qui est responsable de l'amortissement des oscillations. Sans résistance, le circuit oscillerait indéfiniment (oscillations non amorties). Plus la résistance est faible (en parallèle, une faible R "court-circuite" plus fort), plus l'amortissement est fort. Pour un circuit RLC parallèle, le facteur d'amortissement dépend de $R$, $L$ et $C$.

c. Allure de la tension en régime pseudo-périodique :

En régime pseudo-périodique, la tension aux bornes du circuit (et donc aux bornes de chaque composant puisque c'est un montage parallèle) présentera des oscillations. Cependant, en raison de l'amortissement par la résistance, l'amplitude de ces oscillations diminuera exponentiellement au cours du temps. La tension oscillera autour de zéro (si le générateur est déconnecté) avec une période légèrement supérieure à la période propre du circuit LC idéal, et son amplitude diminuera jusqu'à s'annuler complètement.