Salut à toi, futur ingénieur ! Prêt à explorer les mystères de la thermodynamique ? Cette série d'exercices est conçue pour t'aider à maîtriser le premier et le second principe de la thermodynamique, des concepts clés en Sciences de l'Ingénieur au lycée. Tu vas jongler avec l'énergie interne, le travail, la chaleur et l'entropie, des notions essentielles pour comprendre le fonctionnement des systèmes énergétiques qui nous entourent. Accroche-toi, on va progresser ensemble !
Compétences travaillées :
- Appliquer le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie).
- Calculer le travail et la chaleur échangés par un système.
- Utiliser le second principe de la thermodynamique (évolution de l'entropie).
- Analyser les rendements des systèmes thermiques.
- Interpréter les diagrammes d'état (P-V, T-S).
Attention aux erreurs fréquentes !
- Signe du travail et de la chaleur : N'oublie jamais les conventions ! Le travail $W$ est positif s'il est reçu par le système, négatif s'il est fourni. La chaleur $Q$ est positive si elle est reçue, négative si elle est fournie.
- Unités : Toujours vérifier et convertir les unités (Joules, Watts, Kelvin pour les températures absolues).
- Processus réversible/irréversible : La distinction est cruciale pour l'entropie. Ne confonds pas $\Delta S = \int \frac{\delta Q_{rév}}{T}$ avec $\Delta S \ge \int \frac{\delta Q}{T}$.
- Température en Kelvin : Pour les calculs d'entropie et de rendement de Carnot, utilise impérativement les températures en Kelvin.
Exercice 1 : Chauffer de l'eau
Un chauffe-eau électrique fournit une puissance de 2 kW pendant 10 minutes pour élever la température de 50 litres d'eau de 20°C à 40°C.
a) Calcule l'énergie électrique totale fournie à l'eau en Joules.
b) En supposant que toute l'énergie électrique est convertie en chaleur et est absorbée par l'eau, quelle est la chaleur $Q$ reçue par l'eau ?
Données : Masse volumique de l'eau $\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3$, Capacité thermique massique de l'eau $c_{eau} = 4180 \text{ J/(kg.K)}$.
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 1 :
a) Calcul de l'énergie électrique totale fournie :
Étape 1 : Conversion des unités.
La puissance $P = 2 \text{ kW} = 2000 \text{ W}$.
Le temps $\Delta t = 10 \text{ min} = 10 \times 60 = 600 \text{ s}$.
Étape 2 : Calcul de l'énergie.
L'énergie électrique $E_{elec}$ est donnée par $E_{elec} = P \times \Delta t$.
$E_{elec} = 2000 \text{ W} \times 600 \text{ s} = 1 \ 200 \ 000 \text{ J}$.
L'énergie électrique totale fournie est $1,2 \times 10^6 \text{ J}$.
b) Chaleur $Q$ reçue par l'eau :
Étape 1 : Hypothèse et signe de la chaleur.
Si toute l'énergie électrique est convertie en chaleur et absorbée par l'eau, alors $Q = E_{elec}$. La chaleur est reçue par le système (l'eau), donc elle est positive.
$Q = 1 \ 200 \ 000 \text{ J}$.
La chaleur reçue par l'eau est $1,2 \times 10^6 \text{ J}$.
Astuce méthode : Pour les calculs de chaleur sensible ($Q = m \cdot c \cdot \Delta T$), pense toujours à la masse en kg et à la température en °C ou K (la variation $\Delta T$ est la même dans les deux échelles).
Exercice 2 : Compression d'un gaz parfait
Un gaz parfait est contenu dans un cylindre muni d'un piston. Il subit une compression quasi-statique à température constante (isotherme) de 10 L à 2 L. Pendant cette compression, le gaz reçoit un travail de $W = 1500 \text{ J}$.
a) Quel est le signe du travail reçu par le gaz ? Est-ce cohérent avec une compression ?
b) Applique le premier principe de la thermodynamique pour déterminer la chaleur échangée par le gaz. Précise si le gaz reçoit ou cède la chaleur.
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 2 :
a) Signe du travail :
Étape 1 : Analyse du signe.
Le travail $W = 1500 \text{ J}$ est positif. Par convention, un travail positif signifie que le système (le gaz) reçoit du travail de l'extérieur.
Étape 2 : Cohérence avec la compression.
Lors d'une compression, le volume du gaz diminue, l'environnement exerce une force sur le piston et fournit de l'énergie au gaz. Le gaz reçoit donc du travail. Le signe positif est tout à fait cohérent avec une compression.
Le travail $W$ est positif, ce qui est cohérent avec une compression car le gaz reçoit de l'énergie de l'extérieur.
b) Chaleur échangée par le gaz :
Étape 1 : Rappel du premier principe.
Pour un système fermé, la variation d'énergie interne $\Delta U$ est donnée par $\Delta U = Q + W$.
Étape 2 : Cas d'un gaz parfait en transformation isotherme.
Pour un gaz parfait, l'énergie interne $U$ ne dépend que de la température $T$. Puisque la transformation est isotherme ($\Delta T = 0$), la variation d'énergie interne est nulle : $\Delta U = 0$.
Étape 3 : Calcul de la chaleur $Q$.
En appliquant le premier principe : $0 = Q + W \implies Q = -W$.
$Q = -1500 \text{ J}$.
Étape 4 : Interprétation du signe de $Q$.
La chaleur $Q$ est négative, ce qui signifie que le gaz cède la chaleur à l'extérieur.
Le gaz cède $1500 \text{ J}$ de chaleur à l'extérieur ($Q = -1500 \text{ J}$).
Point méthode : Pour les gaz parfaits, souviens-toi que l'énergie interne $U$ et l'enthalpie $H$ ne dépendent que de la température. C'est une propriété fondamentale qui simplifie de nombreux problèmes !
Exercice 3 : Fusion de la glace
Un bloc de glace de 500 g à 0°C fond complètement pour devenir de l'eau liquide à 0°C. Ce processus se déroule à pression constante.
a) Calcule la chaleur $Q$ reçue par la glace pendant sa fusion.
b) Quel est le travail $W$ échangé lors de cette fusion ? (On peut négliger la variation de volume lors de la fusion de la glace pour simplifier).
c) Quelle est la variation d'énergie interne $\Delta U$ de la glace ?
Données : Chaleur latente de fusion de la glace $L_f = 334 \text{ kJ/kg}$.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 3 :
a) Chaleur $Q$ reçue par la glace :
Étape 1 : Conversion des unités et masse.
La masse $m = 500 \text{ g} = 0,5 \text{ kg}$.
La chaleur latente de fusion $L_f = 334 \text{ kJ/kg} = 334 \ 000 \text{ J/kg}$.
Étape 2 : Calcul de la chaleur de fusion.
La chaleur $Q$ nécessaire pour la fusion est donnée par $Q = m \times L_f$.
$Q = 0,5 \text{ kg} \times 334 \ 000 \text{ J/kg} = 167 \ 000 \text{ J}$.
La chaleur est reçue par la glace, donc positive.
La chaleur reçue par la glace est $167 \ 000 \text{ J}$ (ou $167 \text{ kJ}$).
b) Travail $W$ échangé :
Étape 1 : Hypothèse de volume.
Le travail des forces de pression est $W = -P \Delta V$. Si l'on néglige la variation de volume ($\Delta V \approx 0$) lors de la fusion, alors le travail $W$ est nul.
Le travail $W$ échangé est nul ($W = 0 \text{ J}$).
c) Variation d'énergie interne $\Delta U$ :
Étape 1 : Application du premier principe.
$\Delta U = Q + W$.
Avec $Q = 167 \ 000 \text{ J}$ et $W = 0 \text{ J}$.
$\Delta U = 167 \ 000 \text{ J} + 0 \text{ J} = 167 \ 000 \text{ J}$.
La variation d'énergie interne de la glace est $167 \ 000 \text{ J}$.
Astuce méthode : Les changements d'état (fusion, vaporisation) sont des transformations isothermes et isobares où le système échange de la chaleur latente. La variation d'énergie interne est égale à la chaleur échangée si le travail est négligeable.
Exercice 4 : Moteur thermique idéal
Un moteur thermique idéal fonctionne entre une source chaude à $T_C = 500 \text{ K}$ et une source froide à $T_F = 300 \text{ K}$.
a) Calcule le rendement maximal (rendement de Carnot) de ce moteur.
b) Si ce moteur absorbe $Q_C = 1000 \text{ J}$ de la source chaude par cycle, quelle est la quantité de chaleur $Q_F$ rejetée à la source froide ?
c) Quel est le travail $W$ fourni par le moteur par cycle ?
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 4 :
a) Rendement de Carnot :
Étape 1 : Formule du rendement de Carnot.
Le rendement maximal d'un moteur thermique (rendement de Carnot) est donné par $\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_F}{T_C}$. Les températures doivent être exprimées en Kelvin.
Étape 2 : Calcul.
$\eta_{Carnot} = 1 - \frac{300 \text{ K}}{500 \text{ K}} = 1 - 0,6 = 0,4$.
Le rendement maximal de ce moteur est de $0,4$ ou $40 \%$.
b) Chaleur rejetée $Q_F$ :
Étape 1 : Relation pour un moteur idéal.
Pour un moteur de Carnot, le rendement peut aussi s'exprimer par $\eta = \frac{W}{Q_C} = 1 - \frac{T_F}{T_C}$. On a aussi la relation $\frac{|Q_F|}{T_F} = \frac{|Q_C|}{T_C}$.
Étape 2 : Calcul de $|Q_F|$.
$|Q_F| = |Q_C| \times \frac{T_F}{T_C} = 1000 \text{ J} \times \frac{300 \text{ K}}{500 \text{ K}} = 1000 \text{ J} \times 0,6 = 600 \text{ J}$.
Puisque la chaleur est rejetée par le système, $Q_F$ est négatif par convention.
La quantité de chaleur rejetée à la source froide est $Q_F = -600 \text{ J}$.
c) Travail $W$ fourni par le moteur :
Étape 1 : Bilan énergétique pour un cycle.
Pour un cycle, la variation d'énergie interne est nulle ($\Delta U = 0$). D'après le premier principe : $\Delta U = Q_{cycle} + W_{cycle} = 0$, donc $W_{cycle} = -Q_{cycle}$.
$Q_{cycle} = Q_C + Q_F = 1000 \text{ J} + (-600 \text{ J}) = 400 \text{ J}$.
Étape 2 : Calcul du travail.
$W = -Q_{cycle} = -400 \text{ J}$.
Le travail est fourni par le moteur, donc $W$ est négatif par convention.
Le travail fourni par le moteur est $W = -400 \text{ J}$.
Point méthode : Le rendement $\eta$ est une grandeur sans unité, toujours comprise entre 0 et 1 (ou la majorité). Pour un moteur, il représente la fraction de l'énergie thermique absorbée qui est convertie en travail utile.
Exercice 5 : Réfrigérateur domestique
Un réfrigérateur fonctionne en extrayant de la chaleur d'un compartiment froid à $T_F = 278 \text{ K}$ et en la rejetant dans l'air ambiant à $T_C = 298 \text{ K}$.
a) Calcule le coefficient de performance (COP) idéal de ce réfrigérateur.
b) Si le réfrigérateur extrait $Q_F = 5000 \text{ J}$ du compartiment froid, quelle est la quantité de chaleur $Q_C$ rejetée à l'air ambiant, en supposant un fonctionnement idéal ?
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 5 :
a) Coefficient de performance (COP) idéal :
Étape 1 : Formule du COP idéal d'un réfrigérateur.
Le COP idéal pour un réfrigérateur est donné par $COP_{réfrigérateur} = \frac{T_F}{T_C - T_F}$. Les températures doivent être en Kelvin.
Étape 2 : Calcul.
$COP_{réfrigérateur} = \frac{278 \text{ K}}{298 \text{ K} - 278 \text{ K}} = \frac{278}{20} = 13,9$.
Le coefficient de performance idéal de ce réfrigérateur est $13,9$.
b) Chaleur rejetée $Q_C$ :
Étape 1 : Relation pour un réfrigérateur idéal.
Pour un réfrigérateur idéal, on a la relation $\frac{|Q_F|}{T_F} = \frac{|Q_C|}{T_C}$.
Le réfrigérateur extrait $Q_F = 5000 \text{ J}$ du compartiment froid, donc $Q_F$ est positif par convention (reçu par le système du compartiment froid).
Étape 2 : Calcul de $|Q_C|$.
$|Q_C| = |Q_F| \times \frac{T_C}{T_F} = 5000 \text{ J} \times \frac{298 \text{ K}}{278 \text{ K}} \approx 5000 \text{ J} \times 1,0719 \approx 5359,7 \text{ J}$.
La chaleur est rejetée à l'air ambiant, donc $Q_C$ est négatif par convention. Mais souvent, on demande la quantité de chaleur, qui est une valeur absolue.
La quantité de chaleur rejetée à l'air ambiant est d'environ $5360 \text{ J}$.
Astuce : Le COP des réfrigérateurs et pompes à chaleur est souvent supérieur à 1, contrairement au rendement des moteurs thermiques. Cela signifie qu'ils peuvent déplacer plus d'énergie thermique qu'ils n'en consomment sous forme de travail.
Exercice 6 : Entropie et évaporation d'eau
1 kg d'eau liquide à 100°C et sous pression atmosphérique est entièrement transformé en vapeur d'eau à 100°C et sous la même pression.
a) Calcule la chaleur latente de vaporisation $Q_v$ absorbée par l'eau.
b) Calcule la variation d'entropie $\Delta S_{eau}$ de l'eau pendant cette évaporation.
c) Pourquoi la variation d'entropie du système est-elle positive ?
Données : Chaleur latente de vaporisation de l'eau $L_v = 2260 \text{ kJ/kg}$ à 100°C.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 6 :
a) Chaleur latente de vaporisation $Q_v$ :
Étape 1 : Conversion des unités et masse.
La masse $m = 1 \text{ kg}$.
La chaleur latente de vaporisation $L_v = 2260 \text{ kJ/kg} = 2 \ 260 \ 000 \text{ J/kg}$.
Étape 2 : Calcul de la chaleur de vaporisation.
$Q_v = m \times L_v = 1 \text{ kg} \times 2 \ 260 \ 000 \text{ J/kg} = 2 \ 260 \ 000 \text{ J}$.
La chaleur latente de vaporisation absorbée par l'eau est $2,26 \times 10^6 \text{ J}$ (ou $2260 \text{ kJ}$).
b) Variation d'entropie $\Delta S_{eau}$ :
Étape 1 : Formule de la variation d'entropie pour un changement d'état réversible.
Un changement d'état se produit à température constante. Pour un processus réversible (ce qu'on suppose pour un changement d'état pur), la variation d'entropie est $\Delta S = \frac{Q}{T}$.
La température doit être en Kelvin : $T = 100^\circ\text{C} = 100 + 273,15 = 373,15 \text{ K}$.
Étape 2 : Calcul.
$\Delta S_{eau} = \frac{2 \ 260 \ 000 \text{ J}}{373,15 \text{ K}} \approx 6056,5 \text{ J/K}$.
La variation d'entropie de l'eau est d'environ $6057 \text{ J/K}$.
c) Interprétation du signe :
Explication :
La variation d'entropie est positive. Cela s'explique par le fait que la phase vapeur est beaucoup plus désordonnée que la phase liquide. Lorsque l'eau passe de l'état liquide à l'état gazeux, les molécules sont beaucoup plus libres de se déplacer, occupent un volume plus grand et ont une plus grande dispersion d'énergie, ce qui correspond à une augmentation du désordre microscopique du système. L'entropie est une mesure de ce désordre.
La variation d'entropie est positive car l'état gazeux est plus désordonné que l'état liquide, ce qui correspond à une augmentation de l'agitation moléculaire et des possibilités d'arrangement.
Point méthode : L'entropie est une fonction d'état. Pour un changement d'état, on peut la calculer directement si le processus est réversible. Pour tout processus irréversible, $\Delta S_{système} + \Delta S_{environnement} > 0$ (Second Principe).
Exercice 7 : Cycle de Carnot inversé
Une pompe à chaleur fonctionne selon un cycle de Carnot inversé entre une source froide à $T_F = 273 \text{ K}$ (extérieur) et une source chaude à $T_C = 293 \text{ K}$ (intérieur de la maison).
a) Calcule le coefficient de performance (COP) idéal en mode chauffage.
b) Si la pompe à chaleur consomme $W = 10 \text{ kJ}$ de travail par cycle, quelle est la chaleur $Q_C$ fournie à la maison ?
c) Quelle est la variation d'entropie de l'univers pour un cycle de cette pompe à chaleur idéale ? Justifie ta réponse.
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 7 :
a) COP idéal en mode chauffage :
Étape 1 : Formule du COP idéal d'une pompe à chaleur.
Le COP idéal pour une pompe à chaleur est donné par $COP_{PAC} = \frac{T_C}{T_C - T_F}$. Les températures doivent être en Kelvin.
Étape 2 : Calcul.
$COP_{PAC} = \frac{293 \text{ K}}{293 \text{ K} - 273 \text{ K}} = \frac{293}{20} = 14,65$.
Le coefficient de performance idéal de cette pompe à chaleur est $14,65$.
b) Chaleur $Q_C$ fournie à la maison :
Étape 1 : Relation entre COP, travail et chaleur.
Par définition, $COP_{PAC} = \frac{|Q_C|}{|W|}$.
Le travail consommé $W = 10 \text{ kJ} = 10 \ 000 \text{ J}$. (Le travail est reçu par la PAC, donc $W_{système} = +10 \text{ kJ}$)
Étape 2 : Calcul de $|Q_C|$.
$|Q_C| = COP_{PAC} \times |W| = 14,65 \times 10 \ 000 \text{ J} = 146 \ 500 \text{ J}$.
La chaleur est fournie à la maison (source chaude), donc elle est reçue par la source chaude. Par convention pour le système PAC, $Q_C$ serait négatif si le système cède à la source chaude. Ici, on demande la quantité, donc on donne la valeur absolue.
La chaleur fournie à la maison est $146 \ 500 \text{ J}$ (ou $146,5 \text{ kJ}$).
c) Variation d'entropie de l'univers :
Explication :
Une pompe à chaleur fonctionnant selon un cycle de Carnot est un système idéal réversible. Pour tout cycle réversible, la variation d'entropie de l'univers (système + environnement) est nulle.
$\Delta S_{univers} = \Delta S_{système} + \Delta S_{sources}$.
Pour un cycle, $\Delta S_{système} = 0$.
Pour des sources idéales fonctionnant de manière réversible, $\Delta S_{sources} = \frac{Q_F}{T_F} + \frac{Q_C}{T_C}$.
On sait que pour un cycle de Carnot inversé, $\frac{|Q_F|}{T_F} = \frac{|Q_C|}{T_C}$.
En respectant les signes pour le système (PAC) : $Q_F$ est reçu (+), $Q_C$ est cédé (-).
Donc $\frac{Q_F}{T_F} = \frac{-Q_C}{T_C}$ ou $\frac{Q_F}{T_F} + \frac{Q_C}{T_C} = 0$.
Ainsi, $\Delta S_{univers} = 0 + 0 = 0$.
Pour une pompe à chaleur idéale fonctionnant selon un cycle de Carnot inversé, la variation d'entropie de l'univers est nulle ($\Delta S_{univers} = 0$). Cela est dû au caractère réversible du cycle de Carnot.
Astuce : Le second principe de la thermodynamique stipule que l'entropie de l'univers ne peut qu'augmenter ou rester constante pour des processus réversibles. Un processus réversible est une idéalisation qui n'existe pas parfaitement dans la réalité.
Exercice 8 : Dégradation de l'énergie
Un bloc de métal chaud (masse $m_1 = 2 \text{ kg}$, capacité thermique $c_1 = 400 \text{ J/(kg.K)}$) initialement à $T_1 = 400 \text{ K}$ est plongé dans un grand réservoir d'eau à $T_2 = 300 \text{ K}$. Le réservoir est si grand que sa température reste constante.
a) Calcule la chaleur $Q$ transférée du bloc de métal à l'eau.
b) Calcule la variation d'entropie du bloc de métal $\Delta S_1$.
c) Calcule la variation d'entropie de l'eau (du réservoir) $\Delta S_2$.
d) Calcule la variation d'entropie de l'univers $\Delta S_{univers}$. Commente le résultat.
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 8 :
a) Chaleur $Q$ transférée :
Étape 1 : Température finale.
Le bloc de métal va se refroidir jusqu'à atteindre la température du réservoir d'eau, soit $T_f = 300 \text{ K}$.
Étape 2 : Calcul de la chaleur cédée par le métal.
La chaleur cédée par le bloc de métal est $Q = m_1 c_1 (T_f - T_1)$.
$Q = 2 \text{ kg} \times 400 \text{ J/(kg.K)} \times (300 \text{ K} - 400 \text{ K}) = 800 \text{ J/K} \times (-100 \text{ K}) = -80 \ 000 \text{ J}$.
La chaleur est cédée par le métal (donc $Q$ est négatif pour le métal) et reçue par l'eau (donc $|Q|$ est positif pour l'eau).
La chaleur transférée du bloc de métal à l'eau est de $80 \ 000 \text{ J}$ (le métal cède $80 \text{ kJ}$).
b) Variation d'entropie du bloc de métal $\Delta S_1$ :
Étape 1 : Formule de la variation d'entropie.
Pour une substance dont la température varie, la variation d'entropie est $\Delta S = \int \frac{\delta Q}{T} = \int_{T_{initial}}^{T_{final}} \frac{mc dT}{T} = mc \ln\left(\frac{T_{final}}{T_{initial}}\right)$.
Étape 2 : Calcul.
$\Delta S_1 = m_1 c_1 \ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right) = 2 \text{ kg} \times 400 \text{ J/(kg.K)} \times \ln\left(\frac{300 \text{ K}}{400 \text{ K}}\right)$.
$\Delta S_1 = 800 \text{ J/K} \times \ln(0,75) \approx 800 \text{ J/K} \times (-0,2877) \approx -230,16 \text{ J/K}$.
La variation d'entropie du bloc de métal est d'environ $-230,2 \text{ J/K}$.
c) Variation d'entropie de l'eau (du réservoir) $\Delta S_2$ :
Étape 1 : Chaleur reçue par l'eau.
L'eau reçoit la chaleur cédée par le métal, soit $Q_{eau} = +80 \ 000 \text{ J}$.
Étape 2 : Température constante du réservoir.
La température du réservoir reste constante à $T_2 = 300 \text{ K}$.
Étape 3 : Calcul.
$\Delta S_2 = \frac{Q_{eau}}{T_2} = \frac{80 \ 000 \text{ J}}{300 \text{ K}} \approx 266,67 \text{ J/K}$.
La variation d'entropie de l'eau est d'environ $+266,7 \text{ J/K}$.
d) Variation d'entropie de l'univers $\Delta S_{univers}$ :
Étape 1 : Calcul.
$\Delta S_{univers} = \Delta S_1 + \Delta S_2 = -230,16 \text{ J/K} + 266,67 \text{ J/K} = 36,51 \text{ J/K}$.
Étape 2 : Commentaire.
La variation d'entropie de l'univers est positive ($\Delta S_{univers} > 0$). Cela est en accord avec le second principe de la thermodynamique, qui stipule que l'entropie de l'univers ne peut qu'augmenter ou rester constante pour tout processus réel (irréversible). Le transfert de chaleur d'un corps chaud à un corps froid sans production de travail utile est un processus irréversible qui mène à une augmentation de l'entropie globale.
La variation d'entropie de l'univers est d'environ $+36,5 \text{ J/K}$. Ce résultat positif confirme le caractère irréversible de l'échange thermique spontané et l'augmentation globale du désordre de l'univers.
Point méthode : Pour les processus irréversibles, l'entropie de l'univers augmente. C'est une conséquence fondamentale du second principe, qui traduit la "flèche du temps" et la dégradation de l'énergie vers des formes moins "utilisables".
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