Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque temps de demi-vie. L'iode 131 a une demi-vie de 8,0 jours : sur un milliard de noyaux, il en reste la moitié au bout de 8 jours, le quart au bout de 16 jours, le huitième au bout de 24 jours. Pour n'importe quelle durée $t$, tu calcules $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$.
Un noyau instable se désintègre au hasard
Certains noyaux sont instables : un jour ou l'autre, ils se transforment spontanément en un autre noyau en émettant une particule. C'est une désintégration. En radioactivité $\alpha$, le noyau éjecte un noyau d'hélium ${}^{4}_{2}\text{He}$. En radioactivité $\beta^-$, il émet un électron ${}^{0}_{-1}\text{e}$, et en radioactivité $\beta^+$ un positon ${}^{0}_{1}\text{e}$, l'antiparticule de l'électron, de charge positive. Le nouveau noyau peut ensuite libérer un surplus d'énergie sous forme de rayonnement $\gamma$, sans changer de nature.
Pour écrire l'équation d'une désintégration, deux nombres se conservent : le nombre de nucléons $A$ (protons et neutrons) et le nombre de charge $Z$. L'uranium 238 est un émetteur $\alpha$ :
$${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$$
Tu vérifies : $238 = 234 + 4$ et $92 = 90 + 2$.
Le point qui compte pour la suite : personne ne peut prédire à quel moment un noyau donné va se désintégrer. On sait seulement que, pendant chaque seconde, il a toujours la même probabilité de le faire, quel que soit son âge. Sur des milliards de noyaux, ce hasard devient très régulier, et c'est ce qui permet de calculer.
La loi de décroissance
Appelle $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs encore présents à la date $t$. Pendant une courte durée $\Delta t$, chacun a une probabilité $\lambda\,\Delta t$ de se désintégrer. Sur $N$ noyaux, il s'en désintègre donc en moyenne $\lambda N\,\Delta t$, et :
$$\Delta N = -\lambda N\,\Delta t$$
Le signe moins traduit la diminution de $N$. Quand $\Delta t$ tend vers 0, le quotient $\dfrac{\Delta N}{\Delta t}$ devient la dérivée de $N$, et on obtient une équation différentielle, c'est-à-dire une équation dont l'inconnue est une fonction :
$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$$
C'est une équation de la forme $y' = ay$, avec $a = -\lambda$ : ses solutions sont les fonctions $t \mapsto C\,e^{-\lambda t}$, et la condition $N(0) = N_0$ impose $C = N_0$. Établir cette expression fait partie du programme de terminale.
Formule : loi de décroissance radioactive
$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$
$N_0$ est le nombre de noyaux à $t = 0$. La constante radioactive $\lambda$ ne dépend que du noyau : c'est sa probabilité de se désintégrer par unité de temps. Elle s'exprime en $\text{s}^{-1}$, ou plus généralement dans l'inverse de l'unité de temps choisie.
Plus $\lambda$ est grand, plus l'échantillon décroît vite. Pour retrouver une durée, isole $t$ avec le logarithme népérien : $\dfrac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}$ donne $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_0}{N}$.
Le temps de demi-vie
Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux présents s'est désintégrée. Pour le relier à $\lambda$, écris $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ dans la loi, simplifie par $N_0$ et passe au logarithme :
$$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$$ $$-\lambda\,t_{1/2} = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2$$
Formule : $$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$
Le jour où tu l'as oubliée, refais ces deux lignes : elles tiennent dans un coin de brouillon.
La demi-vie ne dépend pas de la date de départ. Sur des durées égales, une exponentielle est toujours multipliée par le même nombre : après une demi-vie de plus, il reste la moitié de ce qu'il y avait. Au bout de $n$ demi-vies, il reste donc $\dfrac{N_0}{2^n}$ noyaux, et après 10 demi-vies, à peine un millième, puisque $2^{10} = 1\,024$.
Sur une courbe de $N$ en fonction de $t$, $t_{1/2}$ se lit à l'abscisse du point d'ordonnée $\dfrac{N_0}{2}$.
Piège classique : la décroissance n'est pas linéaire. Un échantillon qui a perdu la moitié de ses noyaux en 8 jours n'est pas vide au bout de 16 jours : il en garde le quart. Chaque demi-vie divise par 2 ce qui reste, pas la quantité de départ.
L'activité d'un échantillon
Personne ne compte les noyaux un par un. Un compteur, lui, détecte les désintégrations. L'activité $A$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en becquerels (Bq) : 1 Bq, c'est une désintégration par seconde.
Le nombre de désintégrations par seconde, c'est la vitesse à laquelle $N$ diminue : $A = -\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$, donc d'après l'équation différentielle, $A = \lambda N$.
Formule : $$A(t) = \lambda N(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$$ avec $A_0 = \lambda N_0$, l'activité à $t = 0$.
L'activité décroît donc avec la même loi et le même temps de demi-vie que le nombre de noyaux : tu peux raisonner sur l'une ou sur l'autre.
Piège classique : dans $A = \lambda N$, l'activité sort en becquerels seulement si $\lambda$ est en $\text{s}^{-1}$. Une demi-vie donnée en jours ou en années se convertit donc d'abord en secondes. Dans $e^{-\lambda t}$, en revanche, il suffit que $\lambda$ et $t$ utilisent la même unité de temps.
Dater un objet
Le carbone 14 se désintègre en azote 14 par radioactivité $\beta^-$, avec une demi-vie de 5 700 ans (valeur recommandée par le Laboratoire national Henri Becquerel en 2012). Tant qu'un être vivant respire ou se nourrit, il échange du carbone avec son milieu, et la part de carbone 14 dans son carbone reste celle de son environnement. À sa mort, les échanges s'arrêtent : son carbone 14 n'est plus renouvelé et décroît selon la loi.
On mesure l'activité $A$ d'un échantillon ancien et on la compare à l'activité $A_0$ d'un échantillon vivant contenant la même masse de carbone. Avec $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$ :
$$t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\frac{A_0}{A}$$
La méthode suppose que l'échantillon n'a ni gagné ni perdu de carbone depuis la mort de l'organisme, et que la part de carbone 14 de l'atmosphère n'a pas changé depuis. Le noyau choisi doit aussi avoir une demi-vie adaptée à l'âge cherché : au bout de dix demi-vies, il ne reste qu'environ un millième de l'activité de départ, de plus en plus difficile à mesurer. Pour des roches de plusieurs milliards d'années, on se tourne vers des noyaux plus durables, comme l'uranium 238, de demi-vie $4{,}47 \times 10^9$ ans.
Conseil : avant de calculer un âge, encadre-le en demi-vies. Si $\dfrac{A}{A_0}$ est compris entre $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{2}$, l'âge est compris entre une et deux demi-vies. Ton résultat doit tomber dans cet encadrement.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un échantillon contient $N_0 = 2{,}0 \times 10^{12}$ noyaux d'iode 131, de temps de demi-vie $t_{1/2} = 8{,}0$ jours. Combien de noyaux d'iode 131 reste-t-il au bout de 24 jours ? Calcule ensuite la constante radioactive $\lambda$ de l'iode 131 en $\text{s}^{-1}$.
Correction :
24 jours font $\dfrac{24}{8{,}0} = 3$ demi-vies. Il reste $N = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{12}}{8} = 2{,}5 \times 10^{11}$ noyaux.
En secondes, $t_{1/2} = 8{,}0 \times 24 \times 3\,600 = 6{,}912 \times 10^5$ s. Donc $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{6{,}912 \times 10^5} \approx 1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.
Exercice 2 : Un élève lit qu'un échantillon d'iode 131 ($t_{1/2} = 8{,}0$ jours) perd la moitié de ses noyaux en 8 jours. Il en conclut qu'il n'en restera plus aucun au bout de 16 jours. Explique son erreur, puis calcule au bout de combien de jours l'activité de l'échantillon est divisée par 1 000.
Correction :
L'élève raisonne comme si la décroissance était linéaire, en retirant chaque fois la moitié de la quantité de départ. Or chaque demi-vie divise par 2 ce qui reste : au bout de 16 jours, il reste le quart des noyaux.
L'activité est divisée par 1 000 quand $\dfrac{A_0}{A} = 1\,000$, donc pour $t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln 1\,000 = \dfrac{8{,}0}{0{,}693} \times 6{,}908 \approx 79{,}7$ jours, soit environ 80 jours.
Contrôle : $2^{10} = 1\,024$, et dix demi-vies font bien 80 jours.
Exercice 3 : Une source scellée de cobalt 60 a une activité $A_0 = 3{,}7 \times 10^4$ Bq le jour de sa fabrication (données fictives). Combien de noyaux de cobalt 60 contient-elle ce jour-là ? Quelle sera son activité 10 ans plus tard ? Données : temps de demi-vie du cobalt 60, $t_{1/2} = 5{,}27$ ans ; 1 an $= 3{,}16 \times 10^7$ s.
Correction :
Pour que $A = \lambda N$ donne des becquerels, il faut $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ : $t_{1/2} = 5{,}27 \times 3{,}16 \times 10^7 \approx 1{,}665 \times 10^8$ s, donc $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx 4{,}16 \times 10^{-9}\ \text{s}^{-1}$. Alors $N_0 = \dfrac{A_0}{\lambda} = \dfrac{3{,}7 \times 10^4}{4{,}16 \times 10^{-9}} \approx 8{,}9 \times 10^{12}$ noyaux.
Pour l'activité, seul le produit $\lambda t$ compte, et les années se simplifient : $\lambda t = \dfrac{\ln 2}{5{,}27} \times 10 \approx 1{,}315$. Donc $A = A_0\,e^{-1{,}315} \approx 3{,}7 \times 10^4 \times 0{,}268 \approx 9{,}9 \times 10^3$ Bq.
Contrôle : 10 ans, c'est un peu moins de deux demi-vies, et $A$ reste un peu au-dessus de $\dfrac{A_0}{4} = 9{,}25 \times 10^3$ Bq.
Exercice 4 : Un charbon de bois trouvé dans un ancien foyer a une activité due au carbone 14 égale à 30 % de celle d'un échantillon de bois vivant contenant la même masse de carbone (données fictives). Temps de demi-vie du carbone 14 : $t_{1/2} = 5\,700$ ans. Estime l'âge de ce charbon de bois.
Correction :
Le rapport $\dfrac{A}{A_0} = 0{,}30$ est compris entre $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{2}$ : l'âge est compris entre une et deux demi-vies, soit entre 5 700 et 11 400 ans.
Avec la formule de datation, $t = \dfrac{5\,700}{\ln 2} \times \ln\dfrac{1}{0{,}30} \approx 8\,223 \times 1{,}204 \approx 9{,}9 \times 10^3$ ans.
Le charbon de bois a environ 9 900 ans, ce qui tombe bien dans l'encadrement.
À retenir
À retenir :
- La désintégration d'un noyau est aléatoire, mais un grand nombre de noyaux suit la loi $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, solution de $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$.
- $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ : après $n$ demi-vies, il reste $\dfrac{N_0}{2^n}$ noyaux.
- $A = \lambda N$, en becquerels si $\lambda$ est en $\text{s}^{-1}$ ; l'activité a la même demi-vie que $N$.
- Pour dater : $t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A}$, avec un encadrement en demi-vies pour vérifier.
Sources
- Programme de physique-chimie de terminale générale, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019 : texte sur education.gouv.fr.
- Laboratoire national Henri Becquerel (LNE-LNHB/CEA), Table de radionucléides, fiches du carbone 14 (2012), de l'iode 131 (2014), du cobalt 60 (2010) et de l'uranium 238 (2006).