Pour un conducteur ohmique, le composant qu'on appelle couramment « une résistance », la tension $U$ à ses bornes est proportionnelle à l'intensité $I$ du courant qui le traverse : $U = R \times I$, avec $U$ en volts, $I$ en ampères et $R$ en ohms ($\Omega$). Une résistance de $100\ \Omega$ traversée par 0,12 A a donc $100 \times 0{,}12 = 12$ V à ses bornes. Dans un circuit, cette loi travaille rarement seule : avec la loi des nœuds et la loi des mailles, elle te donne de proche en proche toutes les tensions et toutes les intensités.
La loi d'Ohm, lue sur une caractéristique
Un dipôle est un composant à deux bornes, une lampe ou une pile par exemple. Sa caractéristique est la courbe de la tension à ses bornes en fonction de l'intensité qui le traverse, relevée avec un ampèremètre branché en série et un voltmètre branché en dérivation.
Pour un conducteur ohmique, les points s'alignent sur une droite qui passe par l'origine : si l'intensité double, la tension double. C'est une situation de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est la résistance.
Définition : un conducteur ohmique est un dipôle dont la caractéristique $U = f(I)$ est une droite passant par l'origine. Son coefficient directeur est la résistance $R$.
La loi d'Ohm est donc l'équation de cette droite. Si tu l'oublies, repars des unités : un ohm, c'est un volt par ampère ($1\ \Omega = 1\ \text{V/A}$), donc $R = \dfrac{U}{I}$, et les deux autres écritures en découlent.
Formule : pour un conducteur ohmique,
$$U = R \times I \qquad I = \frac{U}{R} \qquad R = \frac{U}{I}$$
avec $U$ en volts, $I$ en ampères et $R$ en ohms.
Piège classique : l'intensité est souvent donnée en milliampères, la résistance en kilo-ohms. Convertis avant tout calcul : $1\ \text{mA} = 0{,}001\ \text{A}$ et $1\ \text{k}\Omega = 1\,000\ \Omega$. Avec 6,0 V et 40 mA, $R = \dfrac{6{,}0}{0{,}040} = 150\ \Omega$. En oubliant de convertir, tu trouves $0{,}15\ \Omega$, mille fois trop peu.
Le point de fonctionnement
Une lampe à filament n'est pas un conducteur ohmique : sa caractéristique se courbe, car la résistance du filament augmente quand il chauffe. Pour elle, pas de loi d'Ohm : c'est la caractéristique qui sert de loi.
Branchée seule sur un générateur, la lampe a la même tension et le même courant que lui. Le couple $(I\,;U)$ se trouve donc sur les deux caractéristiques à la fois, au point où elles se coupent : c'est le point de fonctionnement.
Si le générateur maintient 6,0 V quelle que soit l'intensité, sa caractéristique est la droite horizontale $U = 6{,}0$ V. Tu cherches sur la courbe de la lampe le point d'ordonnée 6,0 V, et son abscisse est l'intensité qui traverse la lampe.
La loi des nœuds et la loi des mailles
Au collège, tu en as vu des cas particuliers : la loi d'additivité des intensités et la loi d'additivité des tensions. Le programme de seconde te demande de les exploiter dans un circuit d'au plus deux mailles.
Un nœud est un point où se rejoignent au moins trois fils. Une maille est une boucle fermée du circuit, que tu parcours en revenant à ton point de départ.
Loi des nœuds : la somme des intensités des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en repartent.
Les charges électriques ne s'entassent nulle part : tout ce qui arrive à un nœud en repart. Entre deux nœuds, des dipôles en série sont donc traversés par le même courant.
Loi des mailles : dans une maille, la somme algébrique des tensions est nulle. Choisis un sens de parcours : une tension dont la flèche va dans ce sens compte en positif, une tension fléchée en sens inverse compte en négatif.
Pense à une randonnée en boucle : quand tu reviens au départ, tes montées et tes descentes se compensent exactement. Une tension est un écart entre deux points du circuit, comme un dénivelé.
Deux conséquences reviennent dans presque tous les exercices. Dans une maille formée du générateur et de récepteurs placés à la suite, la tension du générateur est égale à la somme des tensions des récepteurs. Et deux dipôles en dérivation forment à eux seuls une maille : ils ont la même tension.
Résoudre un circuit à deux mailles
Pour un circuit de conducteurs ohmiques, la loi d'Ohm et ces deux lois suffisent. Ce qui compte, c'est l'ordre.
Étape 1 : repère les nœuds et les mailles, puis nomme et flèche chaque intensité et chaque tension sur le schéma.
Étape 2 : pars des données. Pour chaque conducteur ohmique dont tu connais deux grandeurs sur trois, la loi d'Ohm donne la troisième.
Étape 3 : avance de proche en proche. Une maille te donne une tension manquante, un nœud une intensité manquante, puis la loi d'Ohm reprend la main.
Étape 4 : contrôle l'ordre de grandeur. Quelques volts aux bornes de résistances de quelques centaines d'ohms donnent des milliampères, pas des ampères.
Piège classique : en dérivation, c'est la tension qui est commune, pas l'intensité. Le courant ne se partage pas en parts égales : sous la même tension, d'après $I = \dfrac{U}{R}$, la branche de plus faible résistance prend le plus de courant. Tu le vérifieras dans l'exercice 3.
Mesurer avec un capteur résistif
Un capteur résistif est un dipôle dont la résistance dépend d'une grandeur extérieure. Celle d'une thermistance CTN (coefficient de température négatif) diminue quand la température monte, celle d'une photorésistance quand la lumière augmente. Un thermomètre électronique peut utiliser une thermistance, une veilleuse qui s'allume à la nuit tombée une photorésistance.
Pour mesurer une température avec une thermistance, on relève $U$ et $I$ à ses bornes et on calcule $R = \dfrac{U}{I}$. La courbe d'étalonnage, tracée une fois pour toutes en comparant le capteur à un thermomètre de référence, associe ensuite une température à cette résistance.
Exercices corrigés
Du plus court au niveau d'un contrôle. Fais chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Sur la caractéristique d'un conducteur ohmique, tu lis le point d'abscisse 25 mA et d'ordonnée 5,5 V. Calcule sa résistance, puis l'intensité qui le traverse sous une tension de 9,0 V, en milliampères.
Correction :
On convertit : $25\ \text{mA} = 0{,}025\ \text{A}$. Donc $R = \dfrac{5{,}5}{0{,}025} = 220\ \Omega$.
Sous 9,0 V : $I = \dfrac{9{,}0}{220} \approx 0{,}041\ \text{A}$, soit environ 41 mA. Sans conversion, tu aurais trouvé $0{,}22\ \Omega$, mille fois trop peu.
Exercice 2 : Un thermomètre de serre utilise une thermistance CTN. D'après sa courbe d'étalonnage, sa résistance vaut $12{,}5\ \text{k}\Omega$ à 20 °C, $10{,}0\ \text{k}\Omega$ à 25 °C, $8{,}0\ \text{k}\Omega$ à 30 °C et $6{,}5\ \text{k}\Omega$ à 35 °C. On mesure 4,0 V à ses bornes pour une intensité de 0,50 mA. Quelle température indique le thermomètre ? Le soleil chauffe ensuite la serre, et la tension reste de 4,0 V : l'intensité augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Correction :
On convertit : $0{,}50\ \text{mA} = 0{,}00050\ \text{A}$. Donc $R = \dfrac{4{,}0}{0{,}00050} = 8\,000\ \Omega$, soit $8{,}0\ \text{k}\Omega$ : la courbe d'étalonnage donne 30 °C.
Quand la température monte, la résistance de la CTN diminue, comme le montre l'étalonnage. Sous une tension fixe, $I = \dfrac{U}{R}$ augmente quand $R$ diminue : l'intensité augmente.
Exercice 3 : Un générateur maintient 12 V entre ses bornes. Il alimente un conducteur ohmique $R_1 = 100\ \Omega$, puis le circuit se sépare en deux branches en dérivation, l'une avec $R_2 = 300\ \Omega$, l'autre avec une résistance $R_3$ inconnue. Les deux branches se rejoignent avant de revenir au générateur. Un ampèremètre placé en série avec le générateur indique 60 mA. Calcule les tensions aux bornes des trois résistances, les intensités dans $R_2$ et $R_3$, puis la valeur de $R_3$.
Correction :
Le générateur et $R_1$ sont en série : $I_1 = 60\ \text{mA} = 0{,}060\ \text{A}$. Loi d'Ohm : $U_1 = 100 \times 0{,}060 = 6{,}0$ V.
Loi des mailles dans la maille formée du générateur, de $R_1$ et de $R_2$ : $12 = U_1 + U_2$, donc $U_2 = 12 - 6{,}0 = 6{,}0$ V. $R_2$ et $R_3$ sont en dérivation, donc $U_3 = U_2 = 6{,}0$ V.
Loi d'Ohm pour $R_2$ : $I_2 = \dfrac{6{,}0}{300} = 0{,}020$ A, soit 20 mA. Loi des nœuds au point où les branches se séparent : $I_3 = I_1 - I_2 = 60 - 20 = 40$ mA.
Enfin $R_3 = \dfrac{U_3}{I_3} = \dfrac{6{,}0}{0{,}040} = 150\ \Omega$. Contrôle : la branche de $150\ \Omega$ reçoit deux fois plus de courant que celle de $300\ \Omega$, comme prévu.
À retenir
À retenir :
- La loi d'Ohm $U = R \times I$ vaut pour un conducteur ohmique, dont la caractéristique est une droite passant par l'origine.
- Pour un dipôle non ohmique, le point de fonctionnement se lit à l'intersection des caractéristiques.
- Loi des nœuds : ce qui arrive à un nœud en repart.
- Loi des mailles : la somme algébrique des tensions d'une maille est nulle, et deux dipôles en dérivation ont la même tension.
- Un capteur résistif se lit avec $R = \dfrac{U}{I}$, puis sa courbe d'étalonnage.
- Avant tout calcul, intensités en ampères et résistances en ohms.
Sources
- Programme de physique-chimie de seconde générale et technologique, Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019, partie « Signaux et capteurs » : texte sur education.gouv.fr.