Maîtrise les Forces : Inertie & Newton

Solution :

a) L'état de mouvement du conteneur est le repos. Il ne bouge pas.

b) Puisque le conteneur est au repos (un cas particulier de mouvement rectiligne uniforme, avec $v=0$), et qu'il est dans un référentiel supposé galiléen (le quai), le principe d'inertie s'applique. La somme des forces extérieures est donc nulle : $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} + \vec{N} = \vec{0} $. Cela signifie que $ \vec{P} $ et $ \vec{N} $ sont opposés et de même intensité.

c) Représentation graphique : Trace un point pour le conteneur. Dessine une flèche vers le bas pour le poids $ \vec{P} $ (provenant du centre de masse vers le bas) et une flèche vers le haut de même longueur pour la force normale $ \vec{N} $ (perpendiculaire au sol, vers le haut).

Solution :

a) Le livre est immobile, donc, dans un référentiel galiléen, la somme des forces est nulle : $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{f} = \vec{0} $. Les trois forces se compensent vectoriellement.

b) Puisque $ \vec{P} + \vec{N} + \vec{f} = \vec{0} $, cela signifie que $ \vec{P} = -(\vec{N} + \vec{f}) $. En termes d'intensités, cela implique $P = N + f$ si $ \vec{N} $ et $ \vec{f} $ étaient colinéaires et de même sens, ce qui n'est pas le cas ici. Il faut décomposer $ \vec{P} $. Si $ \alpha $ est l'angle d'inclinaison de la table, alors :

• Composante du poids parallèle à la pente : $P_{\parallel} = P \sin(\alpha)$. C'est cette composante qui tend à faire glisser le livre.
• Composante du poids perpendiculaire à la pente : $P_{\perp} = P \cos(\alpha)$.

Pour que le livre reste immobile :

• La somme des forces perpendiculaires à la table est nulle : $N - P_{\perp} = 0 \implies N = P \cos(\alpha)$.
• La somme des forces parallèles à la table est nulle : $P_{\parallel} - f = 0 \implies f = P \sin(\alpha)$.

La relation entre les intensités est donc $N = P \cos(\alpha)$ et $f = P \sin(\alpha)$ (dans ce cas précis d'immobilité).

Solution :

a) L'état de mouvement initial est le repos ($v_0 = 0$).

b) La voiture accélère, donc son état de mouvement change. Par le principe d'inertie, la somme des forces extérieures n'est pas nulle. Il y a une force résultante qui provoque cette accélération.

c) Calcul de l'accélération : Mouvement rectiligne uniformément accéléré (URAA). $v_f = 20 \, \text{m/s}$, $v_0 = 0 \, \text{m/s}$, $t = 10 \, \text{s}$.

$a = \frac{v_f - v_0}{t} = \frac{20 - 0}{10} = 2 \, \text{m/s}^2$.

d) Calcul de la somme des forces : $ \sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} $. Les forces agissant sont le poids $ \vec{P} $ (vertical vers le bas), la normale $ \vec{N} $ (vertical vers le haut) et la force motrice $ \vec{F}_{motrice} $ (horizontale, dans le sens du mouvement). Les forces verticales se compensent ($N=P$). La somme des forces horizontales est donc juste $ \vec{F}_{motrice} $.

$F_{motrice} = m \cdot a = 1200 \, \text{kg} \times 2 \, \text{m/s}^2 = 2400 \, \text{N}$.

La somme des forces est donc une force horizontale de 2400 N dans le sens du mouvement.

Solution :

a) Le parachutiste tombe à vitesse constante (chute stabilisée) lorsque son mouvement ne change plus. Cela signifie que son accélération est nulle ($ \vec{a} = \vec{0} $). D'après la première loi de Newton, cela arrive quand les forces extérieures se compensent.

b) Dans ce cas, la somme des forces est nulle : $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} + \vec{f}_{air} = \vec{0} $. Cela signifie que $ \vec{P} $ et $ \vec{f}_{air} $ sont opposés et de même intensité : $ P = f_{air} $ (où $f_{air}$ est l'intensité de la résistance de l'air).

c) Juste après l'ouverture du parachute, la surface offerte à l'air augmente, ce qui crée une force de résistance $ \vec{f}_{air}' $ beaucoup plus grande, telle que son intensité $f_{air}' > P$. La somme des forces devient alors $ \vec{P} + \vec{f}_{air}' $. Comme $f_{air}'$ est plus grande que $P$ et dirigée vers le haut (opposée au mouvement), la somme des forces est $ \vec{F}_{resultante} = \vec{f}_{air}' - \vec{P} $ (en intensité, dans le sens du mouvement initial). Cette force résultante est dirigée vers le haut, ce qui provoque une décélération (une accélération négative dans le sens de la chute). Le parachutiste ralentit jusqu'à atteindre un nouveau régime de chute stabilisée, à une vitesse plus faible.

Solution :

a) Forces : Poids $ \vec{P} $ (vers le bas), Normale $ \vec{N} $ (vers le haut), Force de tirage $ \vec{F}_{tirage} $ (horizontale, dans le sens du mouvement), Force de frottement $ \vec{f} $ (horizontale, opposée au mouvement).

b) Somme des forces : Les forces verticales $ \vec{P} $ et $ \vec{N} $ se compensent ($N=P$). Les forces horizontales sont $ \vec{F}_{tirage} $ et $ \vec{f} $. La somme vectorielle des forces horizontales est $ \vec{F}_{resultante\_horizontale} = \vec{F}_{tirage} + \vec{f} $. Puisqu'elles sont opposées, on fait la différence de leurs intensités :

$F_{resultante\_horizontale} = F_{tirage} - f = 50 \, \text{N} - 10 \, \text{N} = 40 \, \text{N}$.

La somme des forces est donc de 40 N dans le sens du mouvement.

c) Accélération : $ \sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} $. Dans la direction horizontale :

$F_{resultante\_horizontale} = m \cdot a$

$40 \, \text{N} = 20 \, \text{kg} \cdot a$

$a = \frac{40}{20} = 2 \, \text{m/s}^2$.

Le traîneau accélère à 2 m/s².

Solution :

a) La force résultante est ici la force de propulsion car les autres forces sont négligées : $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{F}_{propulsion} $. Son intensité est de 100 N.

b) Accélération moyenne : $ \sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_{moyenne} $.

$100 \, \text{N} = 0,05 \, \text{kg} \cdot a_{moyenne}$

$a_{moyenne} = \frac{100}{0,05} = 2000 \, \text{m/s}^2$.

Cette accélération est très grande car la masse est faible et la force appliquée est importante sur une courte durée.

c) Vitesse à la fin de la propulsion : On utilise la formule du mouvement uniformément accéléré (car l'accélération est considérée constante pendant ce court instant) : $v_f = v_0 + a_{moyenne} \cdot \Delta t$. Avec $v_0 = 0$.

$v_f = 0 + 2000 \, \text{m/s}^2 \times 0,01 \, \text{s} = 20 \, \text{m/s}$.

Le caillou est lancé à 20 m/s.

Solution :

a) La somme des forces extérieures n'est pas nulle. Elle est égale à la force gravitationnelle $ \vec{F}_{grav} $ qui agit comme force centripète.

b) Le satellite n'est pas soumis au principe d'inertie dans son référentiel orbital. Pourquoi ? Parce que le référentiel lié au satellite en orbite autour de la Terre n'est pas galiléen : il est en mouvement circulaire, donc soumis à une accélération centripète. Le principe d'inertie s'applique dans les référentiels galiléens. Cependant, on peut dire que la force gravitationnelle est la seule force agissant et qu'elle est responsable de l'accélération centripète.

c) Le satellite décrit un mouvement circulaire uniforme (ou elliptique, si l'orbite n'est pas parfaitement circulaire) autour de la Terre, sous l'effet constant de la force gravitationnelle.

Solution :

a) Les forces agissant sur la navette sont la poussée $ \vec{F}_{poussée} $ (vers le haut) et le poids $ \vec{P} $ (vers le bas). La somme des forces est $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{F}_{poussée} + \vec{P} $. Dans la direction verticale ascendante :

$F_{poussée} - P = m \cdot a$

$F_{poussée} = P + m \cdot a$

On a $m = 80000 \, \text{kg}$ et $P = 784000 \, \text{N}$.

$F_{poussée} = 784000 \, \text{N} + (80000 \, \text{kg} \times 2 \, \text{m/s}^2)$

$F_{poussée} = 784000 \, \text{N} + 160000 \, \text{N} = 944000 \, \text{N}$.

La force de poussée doit être de 944000 N.

b) Si $F_{poussée} = P$, alors la somme des forces $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{F}_{poussée} + \vec{P} = \vec{0} $ (car elles sont opposées et de même intensité). Dans ce cas, $ m \vec{a} = \vec{0} $, ce qui implique $ \vec{a} = \vec{0} $. La navette aurait alors un mouvement de vitesse constante. Si elle était déjà au repos, elle resterait au repos. Si elle avait une vitesse initiale, elle continuerait en ligne droite à cette vitesse constante.

Solution :

a) Si la montgolfière est immobile, la somme des forces est nulle : $ \vec{P} + \vec{F}_A = \vec{0} $. Donc, $ P = F_A $. L'intensité du poids est égale à l'intensité de la poussée d'Archimède.

b) Si la montgolfière monte avec une accélération $a = 1 \, \text{m/s}^2$, la somme des forces est $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{F}_A + \vec{P} = m \vec{a} $. Dans la direction ascendante :

$F_A - P = m \cdot a$

Donc, $F_A = P + m \cdot a$. La poussée d'Archimède doit être supérieure au poids pour que la montgolfière monte et accélère.

Solution :

Les forces agissant sur le wagon sont son poids $ \vec{P} $, la normale $ \vec{N} $, et la force de traction $ \vec{F}_{traction} $. Les forces verticales $ \vec{P} $ et $ \vec{N} $ se compensent. Les forces horizontales sont $ \vec{F}_{traction} $ (supposée dans le sens du mouvement) et les frottements (ici négligés).

a) Au repos : Le wagon est immobile, donc $ \vec{a} = \vec{0} $. D'après la première loi de Newton, $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} $. Donc, $ \vec{F}_{traction} = \vec{0} $.

b) Mouvement rectiligne uniforme : La vitesse est constante, donc $ \vec{a} = \vec{0} $. Par la première loi de Newton, $ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} $. Donc, $ \vec{F}_{traction} = \vec{0} $.

c) Accélération : $ \sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} $. Dans la direction du mouvement, la somme des forces est $F_{traction}$.

$F_{traction} = m \cdot a = 1000 \, \text{kg} \times 0,5 \, \text{m/s}^2 = 500 \, \text{N}$.

Il faut une force de traction de 500 N pour provoquer cette accélération.