La règle de base de l'électrostatique, c'est la superposition : les forces et les champs créés par plusieurs charges s'additionnent comme des vecteurs, les potentiels comme de simples nombres. Exemple : au milieu de deux charges identiques, les deux champs (même valeur, sens opposés) s'annulent, mais les deux potentiels s'ajoutent. Quand les charges ont une symétrie (boule, fil), le théorème de Gauss remplace ces sommes par quelques lignes de calcul.
Coulomb et superposition
Deux charges ponctuelles (de taille négligeable devant leur distance $r$) exercent l'une sur l'autre deux forces opposées, de même valeur, portées par la droite qui les joint.
Formule : loi de Coulomb, dans le vide,
$$F = \frac{|q_1 q_2|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
avec $\varepsilon_0 \approx 8{,}854 \times 10^{-12}$ F/m, la permittivité du vide (valeur CODATA 2022), soit $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$, arrondi à $9{,}0 \times 10^{9}$ dans les énoncés.
Piège classique : $|q_1 q_2|$ donne une valeur, jamais un sens. Le sens vient du schéma : même signe, répulsion ; signes contraires, attraction. Projette chaque force sur un axe avec son signe, et additionne seulement ensuite.
Exercice 1 : Deux charges ponctuelles $q_1 = +2\ \mu\text{C}$ et $q_2 = -3\ \mu\text{C}$ sont dans le vide, à 0,50 m l'une de l'autre. Calcule la force exercée par $q_1$ sur $q_2$ et donne son sens. Que vaut la force exercée par $q_2$ sur $q_1$ ? On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
$$F = 9{,}0 \times 10^{9} \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{0{,}50^2} \approx 0{,}22\ \text{N}$$
Signes contraires : la force sur $q_2$ est dirigée vers $q_1$. Celle exercée par $q_2$ sur $q_1$ a la même valeur, 0,22 N, et le sens opposé (principe des actions réciproques).
Exercice 2 : Sur un axe $(Ox)$ gradué en mètres, $q_1 = +1\ \mu\text{C}$ est en $x = 0$, $q_2 = -2\ \mu\text{C}$ en $x = 1$ et $q_3 = +3\ \mu\text{C}$ en $x = 2$. Calcule la force totale subie par $q_2$. On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
$q_1$ attire $q_2$ vers la gauche, $q_3$ l'attire vers la droite :
$$F_{1 \to 2} = 9{,}0 \times 10^{9} \times \frac{10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 1{,}8 \times 10^{-2}\ \text{N}$$ $$F_{3 \to 2} = 9{,}0 \times 10^{9} \times \frac{3 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 5{,}4 \times 10^{-2}\ \text{N}$$
Sur l'axe : $F_x = -1{,}8 \times 10^{-2} + 5{,}4 \times 10^{-2} = 3{,}6 \times 10^{-2}$ N. La force totale vaut 0,036 N et pointe vers $q_3$.
Le champ électrostatique
Le champ $\vec{E}$ en un point est défini par $\vec{F} = q\vec{E}$ : c'est la force subie par une charge $q$ placée là, divisée par $q$. Il ne dépend que des charges qui le créent et s'exprime en V/m (ou N/C). Une charge ponctuelle $Q$ crée un champ de valeur $\dfrac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, qui s'éloigne d'elle si $Q > 0$ et pointe vers elle si $Q < 0$.
Exercice 3 : Une charge ponctuelle $Q = +5\ \mu\text{C}$ est fixe dans le vide. Donne la valeur, la direction et le sens du champ en un point $M$ situé à 20 cm de $Q$. Quelle force subirait un électron, de charge $-1{,}6 \times 10^{-19}$ C, placé en $M$ ? On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
$E = 9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{5 \times 10^{-6}}{0{,}20^2} \approx 1{,}1 \times 10^{6}$ V/m. Le champ est porté par la droite $(QM)$ et s'éloigne de $Q$, car $Q > 0$.
Pour l'électron, $q < 0$ : la force $\vec{F} = q\vec{E}$ est opposée au champ, donc dirigée vers $Q$, et vaut $1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}125 \times 10^{6} = 1{,}8 \times 10^{-13}$ N.
Exercice 4 : Dans un repère orthonormé gradué en mètres, $q_1 = +1\ \mu\text{C}$ est en $O(0\,;0)$ et $q_2 = -2\ \mu\text{C}$ en $A(0\,;1)$. Calcule les coordonnées du champ au point $P(1\,;0)$, puis sa valeur. On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
Champ de $q_1$ : à $OP = 1$ m, il vaut $9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{10^{-6}}{1^2} = 9{,}0 \times 10^{3}$ V/m, de $O$ vers $P$.
Champ de $q_2$ : à $AP = \sqrt{2}$ m, il vaut $9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{2 \times 10^{-6}}{2} = 9{,}0 \times 10^{3}$ V/m, de $P$ vers $A$ car $q_2 < 0$, selon le vecteur unitaire $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ : $\vec{E}_2 \approx (-6{,}36\,;\,6{,}36) \times 10^{3}$ V/m.
$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \approx (9{,}00 - 6{,}36\,;\,6{,}36) \times 10^{3} = (2{,}64\,;\,6{,}36) \times 10^{3}\ \text{V/m}$$
D'où $E = \sqrt{2{,}64^2 + 6{,}36^2} \times 10^{3} \approx 6{,}9 \times 10^{3}$ V/m. Additionner les deux valeurs donnerait $1{,}8 \times 10^{4}$ V/m : faux, les champs n'ont pas la même direction.
Le théorème de Gauss
Le flux de $\vec{E}$ à travers une surface somme, morceau par morceau, la composante de $\vec{E}$ perpendiculaire à la surface multipliée par l'aire du morceau.
Propriété : le flux de $\vec{E}$ sortant d'une surface fermée $S$ ne dépend que de la charge $Q_{\text{int}}$ qu'elle enferme :
$$\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$
Ce théorème est toujours vrai, mais il ne donne $E$ que si la symétrie permet de le sortir de l'intégrale. En un point $M$, $\vec{E}$ appartient à tout plan de symétrie des charges passant par $M$ (un plan miroir qui laisse les charges inchangées), et chaque invariance, par rotation ou par translation, retire une variable à $E$. Tu choisis alors une surface de Gauss faite de morceaux où $\vec{E}$ est soit perpendiculaire à la surface et de valeur constante, soit parallèle à elle (flux nul).
Piège classique : $Q_{\text{int}}$ est la charge enfermée par la surface de Gauss, pas la charge totale de l'objet. Dans une boule chargée, une sphère de Gauss intérieure n'en enferme qu'une partie.
Exercice 5 : Une boule de centre $O$ et de rayon $R$ est chargée uniformément dans son volume, de densité volumique $\rho > 0$ (en $\text{C}\cdot\text{m}^{-3}$). Calcule le champ en un point $M$ situé à la distance $r$ de $O$, pour $r < R$ puis pour $r > R$.
Correction :
Tout plan contenant $(OM)$ est plan de symétrie, donc $\vec{E}$ est porté par $(OM)$ ; l'invariance par rotation autour de $O$ fait que $E$ ne dépend que de $r$. Sur la sphère de Gauss de rayon $r$, le flux vaut $E(r) \times 4\pi r^2$.
Pour $r < R$, la charge enfermée est $\rho \times \dfrac{4}{3}\pi r^3$, d'où $E(r) = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ : le champ est proportionnel à $r$, nul au centre.
Pour $r > R$, toute la charge $Q = \rho \times \dfrac{4}{3}\pi R^3$ est enfermée : $E(r) = \dfrac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, comme si toute la charge était en $O$. En $r = R$, les deux expressions valent $\dfrac{\rho R}{3\varepsilon_0}$ : le champ est continu, et dirigé vers l'extérieur puisque $\rho > 0$.
Exercice 6 : Un fil rectiligne infini est chargé uniformément, de densité linéique $\lambda > 0$ (en C/m). Établis l'expression du champ en un point $M$ situé à la distance $r$ du fil, puis calcule-le pour $\lambda = 10\ \text{nC/m}$ et $r = 5{,}0\ \text{cm}$. On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
Les plans de symétrie passant par $M$ (celui qui contient le fil, celui qui lui est perpendiculaire) imposent à $\vec{E}$ d'être radial ; les invariances par translation et rotation autour du fil font dépendre sa valeur de $r$ seul.
Surface de Gauss : un cylindre de même axe que le fil, de rayon $r$ et de hauteur $h$. Le flux est nul à travers ses deux disques, où $\vec{E}$ est parallèle à la surface, et vaut $E \times 2\pi r h$ sur sa face latérale. Avec $Q_{\text{int}} = \lambda h$ :
$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = 2 \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{\lambda}{r}$$
Application : $E = 2 \times 9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{10 \times 10^{-9}}{0{,}050} = 3{,}6 \times 10^{3}$ V/m.
Potentiel et énergie
Le potentiel $V$, en volts, est relié au champ par $\vec{E} = -\overrightarrow{\text{grad}}\,V$ : le champ pointe vers les potentiels qui baissent. Une charge ponctuelle $Q$ crée le potentiel $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$, nul à l'infini. Une charge $q$ au potentiel $V$ a l'énergie potentielle $E_p = qV$ ; de $A$ à $B$, la force électrique lui fournit le travail $W_{A \to B} = q(V_A - V_B)$, quel que soit le chemin.
Piège classique : garde le signe de $q$ partout. Un électron, de charge $-e$, est accéléré vers les potentiels qui montent : une énergie cinétique négative trahit un départ et une arrivée inversés.
Exercice 7 : Une charge ponctuelle $q = -4\ \mu\text{C}$ est fixe dans le vide. Calcule le potentiel qu'elle crée à 30 cm, puis à 60 cm, le potentiel étant nul à l'infini. On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
Le signe de $q$ reste dans la formule. À 30 cm : $V = 9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{-4 \times 10^{-6}}{0{,}30} = -1{,}2 \times 10^{5}$ V, soit $-120$ kV.
À 60 cm, la distance double et le potentiel est divisé par deux : $-60$ kV. Le potentiel varie en $\dfrac{1}{r}$, le champ en $\dfrac{1}{r^2}$.
Exercice 8 : Une charge $Q = +6\ \mu\text{C}$ est fixe. Les points $A$ et $B$ sont à 10 cm et à 50 cm de $Q$. Calcule $V_A - V_B$, puis le travail de la force électrique sur une charge $q = +2\ \mu\text{C}$ qui va de $A$ à $B$. On prend $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Correction :
$V_A = 9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{6 \times 10^{-6}}{0{,}10} = 5{,}4 \times 10^{5}$ V et $V_B = 9{,}0 \times 10^{9} \times \dfrac{6 \times 10^{-6}}{0{,}50} = 1{,}08 \times 10^{5}$ V, donc $V_A - V_B = 4{,}32 \times 10^{5}$ V.
$W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = 2 \times 10^{-6} \times 4{,}32 \times 10^{5} \approx 0{,}86$ J. Le travail est positif : $Q$ repousse $q$, et la force électrique accompagne son éloignement. Contrôle : l'énergie potentielle $qV$ passe de 1,08 J à 0,216 J, soit une baisse égale au travail.
Exercice 9 : Dans un canon à électrons, un électron quitte la cathode $C$ sans vitesse et est accéléré jusqu'à l'anode $A$, avec $V_A - V_C = 2{,}0\ \text{kV}$. Données : charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C, masse de l'électron $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg ; poids négligé. Calcule son énergie cinétique à l'arrivée, en joules puis en électronvolts, et sa vitesse.
Correction :
Le théorème de l'énergie cinétique, avec la seule force électrique, donne $E_c = W_{C \to A} = (-e)(V_C - V_A) = e(V_A - V_C)$, soit $E_c = 1{,}60 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^{3} = 3{,}2 \times 10^{-16}$ J.
Un électronvolt (eV) est l'énergie gagnée par un électron accéléré sous une tension de 1 V, soit $1{,}60 \times 10^{-19}$ J : ici $E_c = 2{,}0\ \text{keV}$.
$$v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 3{,}2 \times 10^{-16}}{9{,}11 \times 10^{-31}}} \approx 2{,}7 \times 10^{7}\ \text{m/s}$$
C'est environ 9 % de la vitesse de la lumière : l'approximation non relativiste reste valable.
Le dipôle électrostatique
Deux charges $+q$ et $-q$ séparées d'une petite distance $d$ forment un dipôle, modèle d'une molécule polaire comme celle de l'eau. Son moment dipolaire $\vec{p}$ va de $-q$ vers $+q$ et vaut $p = qd$, en $\text{C}\cdot\text{m}$. De loin, les deux charges se compensent presque : potentiel et champ décroissent plus vite qu'avec une charge seule.
Exercice 10 : Un dipôle est formé de $+q$ au point $\left(0\,;\dfrac{d}{2}\right)$ et de $-q$ au point $\left(0\,;-\dfrac{d}{2}\right)$. Pour un point $M$ de l'axe $(Oy)$ d'ordonnée $y > \dfrac{d}{2}$, calcule le potentiel $V(y)$, puis le champ $E_y$. Simplifie les deux résultats quand $y \gg d$.
Correction :
Les potentiels s'ajoutent :
$$V(y) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{y - d/2} - \frac{1}{y + d/2}\right) = \frac{qd}{4\pi\varepsilon_0\left(y^2 - d^2/4\right)}$$
Sur l'axe, par symétrie, $\vec{E}$ est porté par $(Oy)$ et $E_y = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}y}$ :
$$E_y = \frac{qd}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{2y}{\left(y^2 - d^2/4\right)^2}$$
Pour $y \gg d$, on néglige $\dfrac{d^2}{4}$ devant $y^2$ : $V \approx \dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 y^2}$ et $E_y \approx \dfrac{2p}{4\pi\varepsilon_0 y^3}$, positif, donc dans le sens de $\vec{p}$.
À retenir
À retenir :
- Forces et champs s'additionnent comme des vecteurs (projections avec leur signe), les potentiels comme des nombres.
- Charge ponctuelle : $E = \dfrac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ et $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
- Gauss : symétries, invariances, puis une surface adaptée ; $Q_{\text{int}}$ est la charge qu'elle enferme.
- $E_p = qV$ et $W_{A \to B} = q(V_A - V_B)$ : un électron est accéléré vers les potentiels croissants.
- Dipôle : potentiel en $\dfrac{1}{r^2}$, champ en $\dfrac{1}{r^3}$.
Sources
- Valeurs CODATA 2022 (NIST) : permittivité du vide, charge élémentaire, masse de l'électron.