Ondes Progressives et Stationnaires : Exercices Essentiels

Introduction : La Danse des Ondes

Les ondes sont partout autour de nous, transportant de l'énergie sans transporter de matière. Des vagues à la surface de l'eau aux ondes radio qui nous connectent, en passant par la lumière qui nous éclaire, les ondes sont un phénomène physique fondamental. En terminale, l'étude des ondes progressives et stationnaires constitue un chapitre clé de la physique-chimie, indispensable pour aborder de nombreux sujets scientifiques et technologiques, et surtout pour réussir ton baccalauréat.

Comprendre comment une onde se propage, comment elle interagit avec son environnement et comment elle peut être réfléchie ou interférer, te donnera les clés pour analyser des situations complexes. Les ondes progressives se déplacent dans l'espace, tandis que les ondes stationnaires, bien que résultant souvent de la superposition d'ondes progressives, restent localisées. Pour te familiariser avec ces concepts et t'entraîner à résoudre les problèmes typiques du bac, nous avons préparé 10 exercices corrigés couvrant les aspects essentiels des ondes progressives et stationnaires.

Les Ondes Progressives : Propagation et Caractéristiques

Une onde progressive est une perturbation qui se propage dans l'espace et dans le temps, transportant de l'énergie sans transporter de matière. Elle peut être mécanique (nécessitant un milieu matériel pour se propager, comme le son ou les vagues) ou électromagnétique (pouvant se propager dans le vide, comme la lumière ou les ondes radio).

Les caractéristiques principales d'une onde progressive sont :

• La célérité ($v$) : C'est la vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu. Elle dépend du milieu de propagation.
• La longueur d'onde ($\lambda$) : C'est la distance spatiale minimale entre deux points qui vibrent en phase. Elle correspond à la "taille" de l'onde.
• La période ($T$) : C'est la durée minimale pour qu'un point du milieu effectue une oscillation complète. C'est aussi la durée entre deux passages consécutifs d'une même forme d'onde en un point donné.
• La fréquence ($f$) : C'est l'inverse de la période ($f = 1/T$). Elle représente le nombre d'oscillations par unité de temps.

Ces grandeurs sont liées par la relation fondamentale :

Ou, en utilisant la période :

L'équation d'une onde progressive le long d'un axe $x$ peut s'écrire sous différentes formes, par exemple $y(x, t) = f(x - vt)$ pour une onde se propageant dans le sens des $x$ positifs, où $f$ est une fonction décrivant la forme de l'onde. Pour une onde sinusoïdale, on a :

Où $A$ est l'amplitude et $\phi$ est la phase initiale.

Exercice 1 : Caractéristiques d'une onde sonore

Une onde sonore se propage dans l'air avec une célérité de $v = 340$ m/s. La période de l'onde est $T = 2 \times 10^{-3}$ s.

Questions :

1. Calcule la fréquence de l'onde sonore.
2. Calcule la longueur d'onde de cette onde sonore.
3. Si cette onde sonore traverse de l'eau où sa célérité est de $1500$ m/s, quelle sera sa nouvelle longueur d'onde ? (La fréquence reste la même).

Correction :

1. La fréquence est $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \times 10^{-3} \, \text{s}} = \frac{1}{0,002} = 500$ Hz.

2. La longueur d'onde est $\lambda = v \times T = 340 \, \text{m/s} \times 2 \times 10^{-3} \, \text{s} = 0,68$ m.

3. Dans l'eau, la célérité est $v' = 1500$ m/s. La fréquence reste $f = 500$ Hz. La nouvelle longueur d'onde est $\lambda' = v' \times T = 1500 \, \text{m/s} \times 2 \times 10^{-3} \, \text{s} = 3$ m.

Exercice 2 : Propagation d'une onde sur une corde

Une onde transversale se propage le long d'une corde avec une célérité de $v = 10$ m/s. La forme de l'onde à l'instant $t=0$ est décrite par l'équation : $y(x, 0) = 5 \cos(2\pi x)$, où $x$ est en mètres et $y$ en centimètres.

Questions :

1. Quelle est la longueur d'onde de cette onde ?
2. Quelle est la période de l'onde ?
3. Écris l'équation de l'onde $y(x, t)$.

Correction :

1. L'équation à $t=0$ est $y(x, 0) = 5 \cos(2\pi x)$. En comparant avec la forme générale $y(x,t) = A \cos(\frac{2\pi}{\lambda}x + \phi)$, on voit que $\frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi$. Donc, $\lambda = 1$ m.

2. La période est liée à la célérité et à la longueur d'onde : $T = \frac{\lambda}{v} = \frac{1 \, \text{m}}{10 \, \text{m/s}} = 0,1$ s.

3. L'équation de l'onde est $y(x, t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}(x - vt) + \phi\right)$. Ici, $A = 5$ cm, $\lambda = 1$ m, $v = 10$ m/s, et la phase initiale $\phi = 0$ (d'après $y(x, 0)$).

Donc, $y(x, t) = 5 \cos\left(2\pi(x - 10t)\right)$ (en centimètres).

Les Interférences et les Ondes Stationnaires

Lorsque deux ondes progressives de même fréquence et de même amplitude se propagent dans des directions opposées, elles peuvent se superposer pour former une onde stationnaire. Ce phénomène se produit souvent lors de la réflexion d'une onde sur un obstacle ou aux extrémités d'un milieu confiné.

Une onde stationnaire est caractérisée par des points fixes appelés nœuds où l'amplitude de vibration est nulle, et des points appelés ventres où l'amplitude de vibration est maximale. Contrairement à une onde progressive, une onde stationnaire ne transporte pas d'énergie nette.

La formation d'ondes stationnaires est cruciale pour comprendre des phénomènes comme le son dans les instruments de musique (cordes vibrantes, tuyaux sonores) ou la lumière dans les lasers.

Pour qu'une onde stationnaire se forme dans un milieu de longueur finie, les conditions aux limites doivent être satisfaites. Par exemple, sur une corde fixée à ses deux extrémités de longueur $L$, les harmoniques (ondes stationnaires possibles) ont des longueurs d'onde telles que $L = n \frac{\lambda_n}{2}$, où $n$ est un entier positif (1, 2, 3, .).

La longueur d'onde de l'harmonique $n$ est donc $\lambda_n = \frac{2L}{n}$.

La fréquence de l'harmonique $n$ est $f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{2L/n} = n \frac{v}{2L}$.

La fréquence fondamentale (premier harmonique, $n=1$) est $f_1 = \frac{v}{2L}$. Les fréquences des harmoniques supérieurs sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale : $f_n = n f_1$. Ces fréquences sont appelées fréquences propres du système.

Exercice 3 : Formation d'une onde stationnaire sur une corde

Une corde de longueur $L = 2$ m est fixée à ses deux extrémités. Une onde progressive de célérité $v = 20$ m/s se propage le long de la corde. On observe la formation d'une onde stationnaire.

Questions :

1. Quelles sont les longueurs d'onde possibles pour les ondes stationnaires dans ce cas ?
2. Quelle est la fréquence fondamentale ?
3. Quelle est la fréquence du troisième harmonique ?

Correction :

1. Les longueurs d'onde possibles sont données par $\lambda_n = \frac{2L}{n} = \frac{2 \times 2 \, \text{m}}{n} = \frac{4}{n}$ m, pour $n = 1, 2, 3, .$. Par exemple, $\lambda_1 = 4$ m, $\lambda_2 = 2$ m, $\lambda_3 = 4/3$ m, etc.

2. La fréquence fondamentale ($n=1$) est $f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{20 \, \text{m/s}}{2 \times 2 \, \text{m}} = \frac{20}{4} = 5$ Hz.

3. La fréquence du troisième harmonique ($n=3$) est $f_3 = 3 f_1 = 3 \times 5$ Hz $= 15$ Hz.

Exercice 4 : Le tube sonore

Un tuyau d'orgue ouvert aux deux extrémités produit un son dont la longueur d'onde fondamentale est de 1,2 m. La célérité du son dans l'air est de 340 m/s.

Questions :

1. Quel est le mode de vibration correspondant à la longueur d'onde fondamentale ?
2. Quelle est la longueur du tuyau ?
3. Quelles sont les longueurs d'onde des deux premiers harmoniques supérieurs ?

Correction :

1. Pour un tuyau ouvert aux deux extrémités, la longueur d'onde fondamentale correspond au premier harmonique ($n=1$), où la longueur du tuyau est $L = \lambda_1 / 2$. La longueur d'onde est donc liée à la longueur du tuyau par $\lambda_n = \frac{2L}{n}$.

2. Sachant que $\lambda_1 = 1,2$ m pour $n=1$, on a $L = \frac{\lambda_1}{2} = \frac{1,2 \, \text{m}}{2} = 0,6$ m.

3. Les harmoniques supérieurs sont donnés par $n=2, 3, .$. Les deux premiers harmoniques supérieurs correspondent à $n=2$ et $n=3$.

Pour $n=2$ (deuxième harmonique), $\lambda_2 = \frac{2L}{2} = L = 0,6$ m.

Pour $n=3$ (troisième harmonique), $\lambda_3 = \frac{2L}{3} = \frac{2 \times 0,6 \, \text{m}}{3} = \frac{1,2}{3} = 0,4$ m.

Exercice 5 : Différence de marche et interférences

Deux sources synchrones émettent des ondes de même fréquence et de même amplitude. La distance entre les deux sources est de $d = 5$ cm. On observe un point P situé à des distances $d_1 = 20$ cm de la source S1 et $d_2 = 25$ cm de la source S2. La longueur d'onde des ondes émises est $\lambda = 1$ cm.

Questions :

1. Calcule la différence de marche $\delta = |d_2 - d_1|$.
2. Détermine si le point P est un point d'interférences constructives ou destructives.

Correction :

1. La différence de marche est $\delta = |d_2 - d_1| = |25 \, \text{cm} - 20 \, \text{cm}| = 5$ cm.

2. Pour des interférences constructives, la différence de marche doit être un multiple entier de la longueur d'onde : $\delta = k \lambda$, où $k$ est un entier. Pour des interférences destructives, $\delta = (k + \frac{1}{2}) \lambda$, où $k$ est un entier.

Ici, $\delta = 5$ cm et $\lambda = 1$ cm. Donc $\delta = 5 \lambda$. Comme $5$ est un entier, le point P est un point d'interférences constructives.

Exercice 6 : La résonance dans un circuit RLC

Bien que ce soit un circuit électrique, le phénomène de résonance est similaire à celui des ondes stationnaires. Un circuit RLC série est constitué d'une résistance $R = 10 \, \Omega$, d'une bobine d'inductance $L = 20$ mH et d'un condensateur de capacité $C = 2 \, \mu$F. Il est alimenté par un générateur de tension de fréquence variable.

Questions :

1. Calcule la pulsation propre $\omega_0$ du circuit RLC idéal (sans résistance).
2. Calcule la pulsation de résonance $\omega_r$ du circuit RLC (avec résistance).
3. Que devient la résistance du circuit à la résonance ?

Correction :

1. La pulsation propre d'un circuit LC idéal est $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. Convertissons les valeurs : $L = 20 \times 10^{-3}$ H, $C = 2 \times 10^{-6}$ F.

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{20 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2\sqrt{10} \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{2\sqrt{10}} = 5000\sqrt{10}$ rad/s $\approx 15811$ rad/s.

2. Dans un circuit RLC, la pulsation de résonance $\omega_r$ est très proche de $\omega_0$ si la résistance $R$ est faible : $\omega_r \approx \omega_0$. Plus précisément, $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{R^2}{2L^2}}$. Pour $R$ faible, $\omega_r \approx \omega_0$. Dans ce cas, $\frac{R^2}{2L^2} = \frac{10^2}{2 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{100}{2 \times 400 \times 10^{-6}} = \frac{100}{800 \times 10^{-6}} = \frac{1}{8000} = 1,25 \times 10^{-4}$. $\omega_0^2 = 40 \times 10^{-9} = 4 \times 10^{-8}$. La valeur de $\frac{R^2}{2L^2}$ est négligeable comparée à $\omega_0^2$. Donc, $\omega_r \approx \omega_0 \approx 15811$ rad/s.

3. À la résonance, l'impédance $Z$ du circuit RLC est minimale et égale à la résistance $R$. Le courant $I$ est alors maximal pour une tension donnée. $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$. À la résonance, $L\omega_r = \frac{1}{C\omega_r}$, donc le terme entre parenthèses s'annule et $Z = R$. La résistance $R$ est donc la seule opposition au courant.

Exercice 7 : Polarisation d'une onde lumineuse

La lumière est une onde électromagnétique transversale. La polarisation décrit l'orientation des oscillations du champ électrique.

Questions :

1. Qu'est-ce qu'une onde lumineuse polarisée linéairement ?
2. Comment peut-on polariser de la lumière non polarisée ?
3. Qu'est-ce qu'un filtre polariseur ?

Correction :

1. Une onde lumineuse est polarisée linéairement si le vecteur champ électrique oscille uniquement dans une seule direction fixe.

2. La lumière peut être polarisée de plusieurs manières :

• Par réflexion : la lumière réfléchie par une surface non métallique est partiellement ou totalement polarisée.
• Par diffusion : la lumière diffusée par de petites particules (comme dans le ciel) est polarisée.
• Par transmission à travers certains cristaux (comme la tourmaline).
• Par transmission à travers des filtres polariseurs.

3. Un filtre polariseur est un matériau qui ne laisse passer que la lumière dont le vecteur champ électrique oscille dans une direction particulière (l'axe de transmission du filtre).

Exercice 8 : Spectre et diffraction

Lorsque de la lumière blanche traverse un réseau de diffraction, elle se décompose en ses différentes couleurs, formant un spectre. Ceci est dû au phénomène de diffraction et d'interférences.

Questions :

1. Pourquoi la lumière blanche se sépare-t-elle en différentes couleurs lorsqu'elle passe par un réseau de diffraction ?
2. Pour un réseau de diffraction, la relation est $d \sin(\theta) = k\lambda$, où $d$ est le pas du réseau, $\theta$ l'angle de diffraction, $k$ un entier et $\lambda$ la longueur d'onde. Comment cela explique-t-il la formation du spectre ?

Correction :

1. La lumière blanche est un mélange de lumières de différentes longueurs d'onde (couleurs). Un réseau de diffraction agit différemment sur chaque longueur d'onde. Les conditions d'interférences constructives (qui déterminent les directions où l'on observe la lumière) dépendent de la longueur d'onde.

2. La relation $d \sin(\theta) = k\lambda$ montre que pour une même valeur de $k$ (même ordre de diffraction), l'angle de diffraction $\theta$ est proportionnel à la longueur d'onde $\lambda$ (plus précisément, $\sin(\theta)$ est proportionnel à $\lambda$). Ainsi, les différentes couleurs (qui ont des longueurs d'onde différentes) seront diffractées selon des angles différents, créant ainsi un spectre de couleurs.

Exercice 9 : Onde lumineuse et index de réfraction

La célérité de la lumière dans le vide est $c = 3 \times 10^8$ m/s. Dans un milieu transparent donné, sa célérité est $v$. L'indice de réfraction $n$ de ce milieu est défini par $n = c/v$. Une lumière laser de longueur d'onde $\lambda_{vide} = 633$ nm dans le vide se propage dans du verre d'indice de réfraction $n = 1,5$.

Questions :

1. Calcule la célérité de la lumière dans le verre.
2. Calcule la longueur d'onde de cette lumière dans le verre. (La fréquence reste la même).

Correction :

1. $v = c/n = (3 \times 10^8 \, \text{m/s}) / 1,5 = 2 \times 10^8$ m/s.

2. La fréquence $f$ est liée à la célérité et à la longueur d'onde par $c = \lambda_{vide} f$ et $v = \lambda_{verre} f$. Donc $f = c / \lambda_{vide} = v / \lambda_{verre}$.

On obtient $\lambda_{verre} = v / f = v / (c / \lambda_{vide}) = \lambda_{vide} \times (v/c) = \lambda_{vide} / n$.

$\lambda_{verre} = 633 \, \text{nm} / 1,5 = 422$ nm.

Exercice 10 : Ondes sismiques

Les tremblements de terre génèrent différents types d'ondes. Les ondes P (primaires) sont des ondes longitudinales, et les ondes S (secondaires) sont des ondes transversales. Les ondes P se propagent plus vite que les ondes S.

Un sismographe enregistre l'arrivée des ondes P et S d'un séisme. L'arrivée des ondes P se fait à $t_P = 10$ s après le séisme, et celle des ondes S à $t_S = 16$ s après le séisme. La célérité des ondes P est $v_P = 8$ km/s.

Questions :

1. Calcule la distance entre le sismographe et l'épicentre du séisme.
2. Calcule la célérité des ondes S.

Correction :

1. La distance $d$ est donnée par $d = v_P \times t_P$. Convertissons $t_P$ en secondes : $t_P = 10$ s. Il est plus simple de convertir $v_P$ en m/s : $v_P = 8 \times 10^3$ m/s.

$d = 8 \times 10^3 \, \text{m/s} \times 10 \, \text{s} = 80 \times 10^3$ m $= 80$ km.

2. La distance est la même pour les ondes S : $d = v_S \times t_S$. On isole $v_S$ :

$v_S = d / t_S = 80 \times 10^3 \, \text{m} / 16 \, \text{s} = 5 \times 10^3$ m/s $= 5$ km/s.

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