Diffusion et viscosité obéissent à la même règle : un flux proportionnel au gradient, qui va des fortes valeurs vers les faibles. La matière va ainsi du concentré vers le dilué (loi de Fick), la quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes (loi de Newton), et le temps de diffusion croît comme le carré de la distance : $t \sim L^2/D$. Une petite molécule dans l'eau, où $D \approx 10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$, franchit 1 mm en un quart d'heure environ, mais 1 cm en plus d'un jour.
La loi de Fick
Dans un fluide au repos, chaque molécule bouge au hasard sous l'effet de l'agitation thermique. Aucune ne cherche la zone diluée. Mais là où elles sont nombreuses, il en part plus vers la zone voisine qu'il n'en revient : le bilan est un flux net du concentré vers le dilué.
Formule : loi de Fick, pour une diffusion selon l'axe $x$ :
$$j = -D\,\frac{\partial n}{\partial x}$$
avec $j$ le flux de particules, c'est-à-dire le nombre de particules qui traversent un mètre carré par seconde, $n$ la densité de particules ($\mathrm{m^{-3}}$) et $D$ le coefficient de diffusion ($\mathrm{m^2\,s^{-1}}$).
La dérivée $\dfrac{\partial n}{\partial x}$, le gradient, dit de combien la densité augmente par mètre. Le signe moins envoie le flux vers les faibles densités. Le coefficient $D$, toujours positif, dépend du couple espèce et milieu, et de la température. En trois dimensions, la loi s'écrit $\vec{j} = -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n$.
L'équation de diffusion
Pour savoir comment le profil de densité évolue, fais le bilan des particules d'une tranche $[x\,;x+\mathrm{d}x]$ de section $S$, sans réaction chimique qui en crée ou en détruise.
Pendant $\mathrm{d}t$, il entre $j(x)\,S\,\mathrm{d}t$ particules à gauche et il en sort $j(x+\mathrm{d}x)\,S\,\mathrm{d}t$ à droite. Le nombre de particules de la tranche, $n\,S\,\mathrm{d}x$, varie donc de $\dfrac{\partial n}{\partial t}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = -\dfrac{\partial j}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t$, d'où $\dfrac{\partial n}{\partial t} = -\dfrac{\partial j}{\partial x}$. Avec la loi de Fick et $D$ uniforme :
$$\frac{\partial n}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 n}{\partial x^2}$$
Pas besoin de résoudre cette équation pour en tirer l'essentiel. Sur une durée $t$ et une distance $L$, remplace chaque dérivée par son ordre de grandeur : $\dfrac{\partial n}{\partial t} \sim \dfrac{n}{t}$ et $\dfrac{\partial^2 n}{\partial x^2} \sim \dfrac{n}{L^2}$. L'équation impose alors $\dfrac{n}{t} \sim D\,\dfrac{n}{L^2}$.
Règle : en un temps $t$, la diffusion porte la matière à une distance
$$L \sim \sqrt{D\,t} \qquad \text{soit} \qquad t \sim \frac{L^2}{D}$$
Pour aller deux fois plus loin, il faut quatre fois plus de temps.
Piège classique : la diffusion n'a pas de vitesse, car le rapport $L/t \sim D/L$ dépend de la distance. Avec $D = 10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$, 10 µm se franchissent en un dixième de seconde, et 5 cm en près d'un mois. C'est pour ça que tu remues ton café : l'écoulement que tu crées, la convection, transporte le sucre bien plus vite que la diffusion.
La viscosité, une diffusion de quantité de mouvement
Place un fluide entre deux plaques parallèles distantes de $h$ : celle du bas est fixe, celle du haut glisse à la vitesse $U$ selon $x$. Le fluide colle aux parois, et en régime permanent sa vitesse croît en ligne droite de 0 à $U$ : $v_x = U\,y/h$. Chaque couche est entraînée par celle du dessus, plus rapide, et freine celle du dessous.
Formule : loi de Newton de la viscosité. À travers un plan horizontal, le fluide du dessus exerce sur celui du dessous une force tangentielle par unité de surface
$$\tau = \eta\,\frac{\partial v_x}{\partial y}$$
avec $\tau$ la contrainte de cisaillement (en Pa), $\dfrac{\partial v_x}{\partial y}$ le taux de cisaillement (en $\mathrm{s^{-1}}$) et $\eta$ la viscosité dynamique (en $\mathrm{Pa\,s}$).
Cette loi vaut pour les fluides dits newtoniens, dont $\eta$ ne dépend pas du taux de cisaillement : l'eau et l'air, mais pas le ketchup, qui coule mieux une fois secoué.
Lis-la comme la loi de Fick. Dans un gaz, les molécules qui passent d'une couche à l'autre emportent leur quantité de mouvement ; dans un liquide, ce sont surtout les forces entre molécules voisines qui la transmettent. Dans les deux cas, le flux de quantité de mouvement vers le haut vaut $-\eta\,\dfrac{\partial v_x}{\partial y}$ : il descend le gradient de vitesse, du rapide vers le lent.
Le même bilan, mené sur la quantité de mouvement d'une tranche de fluide (écoulement selon $x$, sans gradient de pression), donne ce que devient ici l'équation de Navier-Stokes, celle du mouvement d'un fluide visqueux :
$$\frac{\partial v_x}{\partial t} = \nu\,\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} \qquad \text{avec} \qquad \nu = \frac{\eta}{\rho}$$
C'est l'équation de diffusion, avec la vitesse à la place de la densité. Quand une plaque démarre d'un coup, le fluide entraîné occupe une épaisseur qui croît comme $\sqrt{\nu\,t}$.
Viscosité dynamique et viscosité cinématique
La viscosité cinématique $\nu$ (la lettre grecque « nu ») est donc un coefficient de diffusion, en $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ comme $D$. Chaque viscosité a son usage : $\eta$ pour une force de frottement, $\nu$ pour le temps que met un mouvement à gagner le fluide. C'est aussi $\nu$ qui entre dans le nombre de Reynolds $Re = UL/\nu$, rapport du temps de diffusion $L^2/\nu$ au temps de passage $L/U$ de l'écoulement.
| À 20 °C et 1 atm (NIST) | $\eta$ ($\mathrm{Pa\,s}$) | $\rho$ ($\mathrm{kg\,m^{-3}}$) | $\nu$ ($\mathrm{m^2\,s^{-1}}$) |
|---|---|---|---|
| Eau | $1{,}00\times10^{-3}$ | $998$ | $1{,}00\times10^{-6}$ |
| Diazote, principal gaz de l'air | $1{,}76\times10^{-5}$ | $1{,}16$ | $1{,}51\times10^{-5}$ |
Piège classique : l'eau a une viscosité dynamique près de 60 fois plus grande que le diazote, mais une viscosité cinématique 15 fois plus petite. Avant de dire qu'un fluide est « plus visqueux » qu'un autre, précise de quelle viscosité tu parles.
La température agit en sens contraire selon le fluide. Dans un liquide, une molécule doit s'arracher à ses voisines pour glisser : l'agitation thermique l'y aide, et $\eta$ baisse quand $T$ monte. L'eau passe de $1{,}00$ à $0{,}80\ \mathrm{mPa\,s}$ entre 20 °C et 30 °C. Dans un gaz, ce sont les molécules en vol qui portent la quantité de mouvement : plus rapides à chaud, elles la portent mieux, et $\eta$ monte. Le diazote passe de $1{,}76$ à $1{,}80\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\,s}$ entre les mêmes températures.
Le lien entre diffusion et viscosité
Dans un gaz, matière et quantité de mouvement voyagent sur les mêmes molécules, qui parcourent en moyenne un libre parcours $\ell$ (la distance entre deux chocs) à la vitesse moyenne $\bar{v}$. La théorie cinétique donne, à un facteur numérique près, $D \sim \nu \sim \ell\,\bar{v}$. Dans l'air, les coefficients de diffusion ont donc l'ordre de grandeur de $\nu$ : $10^{-5}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$.
Dans un liquide, les deux se séparent. Une sphère de rayon $R$ qui avance lentement à la vitesse $v$ subit la force de Stokes $F = 6\pi\eta R v$. Plus elle est freinée, moins l'agitation thermique la déplace.
Formule : relation de Stokes-Einstein, pour une sphère de rayon $R$ dans un fluide de viscosité $\eta$ à la température $T$ :
$$D = \frac{k_B\,T}{6\pi\,\eta\,R}$$
avec $k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, la constante de Boltzmann (valeur exacte, NIST).
Pour une sphère de rayon 0,2 nm, la taille d'une petite molécule, dans l'eau à 20 °C :
$$D \approx \frac{1{,}38\times10^{-23}\times293}{6\pi\times1{,}00\times10^{-3}\times2\times10^{-10}} \approx 1\times10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$$
La formule est faite pour une particule bien plus grosse que les molécules du solvant : ici, elle ne donne qu'un ordre de grandeur. Il suffit pour voir l'essentiel. Dans l'eau, $D \approx 10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ est mille fois plus petit que $\nu \approx 10^{-6}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ : dans un liquide, la vitesse diffuse bien plus vite que la matière.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une plaque de $0{,}50\ \mathrm{m^2}$ glisse à 0,20 m/s sur un film d'huile de 1,0 mm d'épaisseur, posé sur un support fixe. L'huile est newtonienne, de viscosité $\eta = 0{,}10\ \mathrm{Pa\,s}$ (données fictives), et le profil de vitesse est linéaire. Quelle force faut-il exercer pour maintenir la plaque à vitesse constante ?
Correction :
Le taux de cisaillement vaut $\dfrac{U}{h} = \dfrac{0{,}20}{1{,}0\times10^{-3}} = 200\ \mathrm{s^{-1}}$, d'où $\tau = \eta\,\dfrac{U}{h} = 0{,}10\times200 = 20$ Pa.
À vitesse constante, la force exercée compense le frottement de l'huile : $F = \tau\,S = 20\times0{,}50 = 10$ N.
Exercice 2 : Dans une couche d'eau immobile d'épaisseur $e = 1{,}0$ cm, la concentration en dioxygène dissous vaut 8,0 mg/L en haut et 4,0 mg/L en bas, avec un profil linéaire. On prend $D = 2{,}0\times10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ (concentrations et $D$ : données fictives) et $M(\mathrm{O_2}) = 32\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$. Calcule le flux molaire de dioxygène et donne son sens.
Correction :
Le piège est dans les unités : $1\ \mathrm{mg\,L^{-1}} = 1\ \mathrm{g\,m^{-3}}$. En haut, $c_1 = \dfrac{8{,}0}{32} = 0{,}25\ \mathrm{mol\,m^{-3}}$ ; en bas, $c_2 = \dfrac{4{,}0}{32} = 0{,}125\ \mathrm{mol\,m^{-3}}$.
Avec un axe $x$ vers le bas : $\dfrac{\partial c}{\partial x} = \dfrac{c_2 - c_1}{e} = \dfrac{0{,}125 - 0{,}25}{1{,}0\times10^{-2}} = -12{,}5\ \mathrm{mol\,m^{-4}}$.
Loi de Fick : $j = -D\,\dfrac{\partial c}{\partial x} = 2{,}0\times10^{-9}\times12{,}5 = 2{,}5\times10^{-8}\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}$. Le flux est positif, donc dirigé vers le bas, du concentré vers le dilué. Sur une journée, cela fait environ $2{,}2\times10^{-3}$ mol par mètre carré.
Exercice 3 : Une protéine, assimilée à une sphère de rayon 5,0 nm (donnée fictive), diffuse dans l'eau à 20 °C. On donne $\eta = 1{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\,s}$, $T = 293$ K et $k_B = 1{,}38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$. Calcule son coefficient de diffusion, puis l'ordre de grandeur du temps qu'elle met à parcourir 10 µm. Que devient ce temps pour une protéine de rayon deux fois plus grand ?
Correction :
Relation de Stokes-Einstein : $D = \dfrac{k_B T}{6\pi\eta R} = \dfrac{1{,}38\times10^{-23}\times293}{6\pi\times1{,}00\times10^{-3}\times5{,}0\times10^{-9}} = \dfrac{4{,}04\times10^{-21}}{9{,}42\times10^{-11}} \approx 4{,}3\times10^{-11}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$.
Temps de diffusion : $t \sim \dfrac{L^2}{D} = \dfrac{(1{,}0\times10^{-5})^2}{4{,}3\times10^{-11}} \approx 2{,}3$ s.
$D$ est inversement proportionnel à $R$ : doubler le rayon divise $D$ par 2 et double le temps, qui passe à environ 4,7 s.
Exercice 4 : Une grande plaque plane, au repos dans un fluide immobile, démarre brusquement. Avec les valeurs du tableau à 20 °C, estime au bout de combien de temps le fluide situé à 1,0 cm de la plaque est entraîné, dans l'eau puis dans le diazote. Lequel réagit le plus vite ? Est-ce celui que laisse attendre la viscosité dynamique ?
Correction :
La quantité de mouvement diffuse avec le coefficient $\nu$, donc $t \sim \dfrac{L^2}{\nu}$ avec $L = 1{,}0\times10^{-2}$ m.
Eau : $t \sim \dfrac{10^{-4}}{1{,}00\times10^{-6}} = 100$ s. Diazote : $t \sim \dfrac{10^{-4}}{1{,}51\times10^{-5}} \approx 7$ s.
Le gaz réagit environ 15 fois plus vite. Raisonner avec $\eta$ menait à l'inverse : l'eau a une viscosité dynamique près de 60 fois plus grande, mais sa masse volumique, environ 860 fois plus grande, la rend lente à mettre en mouvement. Pour un temps de propagation, c'est $\nu$ qui compte.
À retenir
À retenir :
- Loi de Fick : $j = -D\,\dfrac{\partial n}{\partial x}$ ; avec le bilan de particules, $\dfrac{\partial n}{\partial t} = D\,\dfrac{\partial^2 n}{\partial x^2}$.
- $L \sim \sqrt{D\,t}$ : deux fois plus loin, c'est quatre fois plus de temps.
- Loi de Newton : $\tau = \eta\,\dfrac{\partial v_x}{\partial y}$. La viscosité diffuse la quantité de mouvement, avec le coefficient $\nu = \eta/\rho$.
- $\eta$ pour une force, $\nu$ pour un temps ou un nombre de Reynolds. Chauffer fait baisser la viscosité d'un liquide et monter celle d'un gaz.
- Gaz : $D \sim \nu \sim 10^{-5}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$. Liquide : $D = \dfrac{k_B T}{6\pi\eta R}$, de l'ordre de $10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ pour une petite molécule dans l'eau.
Sources
- NIST Chemistry WebBook (SRD 69), viscosité et masse volumique de l'eau et du diazote à 0,101 325 MPa, 20 °C et 30 °C, consulté le 10 octobre 2026 : webbook.nist.gov.
- NIST, valeurs recommandées CODATA 2022, constante de Boltzmann : physics.nist.gov.