En physique à l'X, un résultat ne rapporte que si tu sais d'où il sort et si tu l'as contrôlé : l'équation du cours posée sans hésiter, le calcul mené jusqu'au bout, puis la dimension et l'ordre de grandeur vérifiés. Exemple : un électron enfermé dans une boîte de largeur $L = 1$ nm a pour énergie minimale $E_1 = \dfrac{h^2}{8mL^2} \approx 6{,}0 \times 10^{-20}$ J, soit $0{,}38$ eV, un ordre de grandeur normal à l'échelle atomique. Si tu trouves $6 \times 10^{-38}$ J, tu as pris $L = 1$ m au lieu de $10^{-9}$ m.
Pour chaque domaine du titre, voici ce que le jury reproche aux candidats et le réflexe qui l'évite, puis trois exercices corrigés.
Ce que le jury attend
Le rapport de l'oral de physique MP 2025 demande de « mener la démarche jusqu'au bout afin de répondre explicitement à la question posée », de vérifier les résultats intermédiaires (dimensions, signes, orientations des vecteurs), de manier les puissances de 10 et de raisonner à voix haute. Les exercices classiques doivent être immédiats : le jury ne veut pas te voir redécouvrir l'utilité du théorème de Gauss.
À l'écrit, chaque question doit pouvoir se résoudre avec les seules connaissances et méthodes obligatoirement enseignées : tout se joue sur la maîtrise de ton cours. D'après la notice du concours 2026, les sujets portent sur le programme de deuxième année en vigueur au 1er janvier de l'année du concours et sur celui de première année en vigueur au 1er janvier de l'année précédente.
| Filière | Écrit de physique | Oral de physique |
|---|---|---|
| MP | Physique MP : 4 h, coefficient 6 | 50 min, coefficient 20 |
| PC | Physique A et Physique B : 4 h et coefficient 6 chacune | 50 min, coefficient 16, et travaux pratiques : 3 h, coefficient 8 |
Mécanique quantique : l'équation de Schrödinger à une dimension
Le jury veut te voir écrire cette équation sans hésiter. Pour une particule de masse $m$ dans un potentiel $V(x)$ :
Formule :
$$i\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi$$
Un état stationnaire s'écrit $\psi(x,t) = \varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar}$, avec $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi$.
Avant tout calcul, compare $E$ au potentiel loin à gauche et loin à droite. Si $E$ est plus petite des deux côtés, la particule est piégée : l'état est lié, normalisable, et seules certaines énergies sont permises. Sinon, l'état est libre et toutes les énergies sont permises. Le rapport exige cette distinction.
Là où $V$ vaut une constante $V_0$, la solution oscille si $E > V_0$ et devient exponentielle si $E < V_0$ :
$$E > V_0 : \quad \varphi = A\,e^{ikx} + B\,e^{-ikx}, \qquad k = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}$$
$$E < V_0 : \quad \varphi = C\,e^{qx} + D\,e^{-qx}, \qquad q = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$$
Les constantes sont complexes, rappelle le jury, qui note aussi que beaucoup de candidats peinent à dessiner l'allure de $\varphi$ sans calcul. Fais ce dessin en premier.
Pour raccorder les morceaux, $\varphi$ est continue partout, et $\varphi'$ l'est aussi là où $V$ reste fini : en intégrant l'équation entre $a - \varepsilon$ et $a + \varepsilon$, le saut de $\varphi'$ vaut $\dfrac{2m}{\hbar^2}\displaystyle\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}(V - E)\,\varphi\,\mathrm{d}x$, qui tend vers 0 avec $\varepsilon$. Contre un mur infini, $\varphi$ s'annule et $\varphi'$ peut sauter. Le puits infini de largeur $L$ donne ainsi, pour $n$ entier strictement positif :
$$\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$$
Piège classique : garder les deux exponentielles dans une région qui s'étend jusqu'à l'infini. Si $x$ peut tendre vers $+\infty$ avec $E < V_0$, le terme $C\,e^{qx}$ diverge et $\varphi$ ne serait plus normalisable : $C = 0$. De même, $n = 0$ n'existe pas dans le puits infini, car $\varphi_0$ serait nulle partout. L'énergie minimale $E_1$ n'est pas nulle.
Électromagnétisme : les symétries, puis Maxwell en local
Regarde les symétries des sources avant tout calcul. Un plan de symétrie contient $\vec{E}$ et est perpendiculaire à $\vec{B}$ ; un plan d'antisymétrie est perpendiculaire à $\vec{E}$ et contient $\vec{B}$. Chaque invariance par translation ou par rotation retire une variable. Pour un fil rectiligne infini, tu obtiens ainsi $\vec{B} = B(r)\,\vec{u}_\theta$ sans la moindre intégrale.
Pour les conducteurs en régime variable, le rapport conseille les équations de Maxwell sous forme locale. Il signale aussi que le laplacien vectoriel est particulièrement ignoré : en coordonnées cartésiennes, il applique le laplacien à chaque composante.
Formule : équations de Maxwell et double rotationnel
$$\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
$$\operatorname{div}\vec{B} = 0 \qquad \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\,\vec{\jmath} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
$$\overrightarrow{\operatorname{rot}}\big(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E}\big) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\big(\operatorname{div}\vec{E}\big) - \vec{\Delta}\vec{E}$$
Dans un conducteur ohmique de conductivité $\gamma$, la densité de charge est nulle et $\vec{\jmath} = \gamma\vec{E}$. Le rotationnel de la deuxième équation, sans le courant de déplacement, donne $\vec{\Delta}\vec{E} = \mu_0\gamma\,\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$. Pour une onde en $e^{i(\omega t - \underline{k}x)}$ qui avance vers les $x$ croissants, $\underline{k}^2 = -i\mu_0\gamma\omega$ et $\underline{k} = \dfrac{1 - i}{\delta}$, avec :
$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}$$
La partie imaginaire de $\underline{k}$ donne un facteur $e^{-x/\delta}$ : le champ s'éteint en quelques $\delta$, l'épaisseur de peau. Ce lien entre vecteur d'onde complexe et atténuation est, selon le jury, trop souvent ignoré.
Optique : le chemin optique avant la formule
Tout se ramène à la différence de chemin optique $\delta$ entre deux ondes qui se superposent en un point $M$.
Formule : pour deux ondes cohérentes de même intensité $I_0$ et de longueur d'onde dans le vide $\lambda_0$,
$$I = 2I_0\left(1 + \cos\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}\right)$$
L'ordre d'interférence $p = \dfrac{\delta}{\lambda_0}$ est entier sur une frange brillante.
Le jury reproche des tracés de rayons approximatifs, qui faussent $\delta$. Trace proprement les deux rayons, puis sers-toi du stigmatisme : entre un point et son image, tous les rayons ont le même chemin optique. Pour les trous d'Young, il faut savoir redémontrer la formule. Place $S_1$ et $S_2$ aux abscisses $\dfrac{a}{2}$ et $-\dfrac{a}{2}$, l'écran à la distance $D$, la source sur l'axe, et utilise $\sqrt{1 + u} \approx 1 + \dfrac{u}{2}$, valable car $D$ est grand devant $a$, $|x|$ et $|y|$ :
$$\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2}{2D} = \frac{ax}{D}$$
dans l'air, d'où l'interfrange $i = \dfrac{\lambda_0 D}{a}$.
Les franges ne couvrent pas tout l'écran : une source de largeur spectrale $\Delta\lambda$ a une longueur de cohérence $\ell_c \approx \dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}$, et le contraste s'effondre quand $|\delta|$ la dépasse. Le rapport regrette que cette notion vienne trop peu à l'esprit des candidats.
Piège classique : appliquer une formule du Michelson sans savoir comment il est réglé. En lame d'air (un miroir parallèle à l'image de l'autre par la séparatrice, à la distance $e$), $\delta = 2e\cos i$, où $i$ est l'angle d'incidence : anneaux à l'infini. En coin d'air (petit angle $\alpha$ entre ce miroir et cette image), $\delta \approx 2\alpha x$, où $x$ est la distance à l'arête : franges rectilignes, localisées près des miroirs.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un sujet de concours. Cherche sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un câble en cuivre a une conductivité $\gamma = 6{,}0 \times 10^{7}\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1}$. Calcule l'épaisseur de peau à 50 Hz, la fréquence du secteur, puis à 1,0 MHz, et commente. Donnée : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{H}\cdot\text{m}^{-1}$.
Correction :
Avec $\omega = 2\pi f$, à 50 Hz : $\mu_0\gamma\omega = 4\pi \times 10^{-7} \times 6{,}0 \times 10^{7} \times 2\pi \times 50 \approx 2{,}4 \times 10^{4}\ \text{m}^{-2}$, donc $\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma\omega}} \approx 9{,}2 \times 10^{-3}$ m, environ 9 mm.
$\delta$ varie comme $\dfrac{1}{\sqrt{f}}$. À 1,0 MHz, la fréquence est $2 \times 10^{4}$ fois plus grande, donc $\delta \approx \dfrac{9{,}2 \times 10^{-3}}{\sqrt{2 \times 10^{4}}} \approx 6{,}5 \times 10^{-5}$ m, soit 65 µm.
À 50 Hz, un fil de 2 mm de diamètre est parcouru dans toute sa section. À 1 MHz, le courant reste dans une peau de quelques dizaines de micromètres : le cœur du fil ne sert presque plus et sa résistance augmente.
Exercice 2 : Un électron d'énergie $E$ arrive de la gauche sur une marche : $V = 0$ pour $x < 0$ et $V = V_0$ pour $x > 0$, avec $V_0 - E = 1{,}0$ eV. Écris $\varphi$ de chaque côté, montre que l'onde est totalement réfléchie, puis estime la profondeur de pénétration dans la marche. Données : $m = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg, $\hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}$ J.
Correction :
Pour $x < 0$, $\varphi = A\,e^{ikx} + B\,e^{-ikx}$ avec $k = \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ : onde incidente et onde réfléchie. Pour $x > 0$, $E < V_0$ : a priori $\varphi = C\,e^{qx} + D\,e^{-qx}$, mais $e^{qx}$ diverge en $+\infty$, donc $C = 0$ et $\varphi = D\,e^{-qx}$.
Continuité de $\varphi$ et de $\varphi'$ en 0 : $A + B = D$ et $ik(A - B) = -qD$. On en tire $\dfrac{B}{A} = \dfrac{ik + q}{ik - q}$, de module 1 : $|B| = |A|$, tout est réfléchi.
L'onde évanescente s'atténue sur $\dfrac{1}{q} = \dfrac{\hbar}{\sqrt{2m(V_0 - E)}}$. Ici $\sqrt{2 \times 9{,}11 \times 10^{-31} \times 1{,}60 \times 10^{-19}} \approx 5{,}4 \times 10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, donc $\dfrac{1}{q} \approx 1{,}9 \times 10^{-10}$ m, de l'ordre de la taille d'un atome. L'électron entre un peu dans une zone que la mécanique classique lui interdit.
Exercice 3 : Des trous d'Young distants de $a = 0{,}50$ mm sont éclairés par une lampe filtrée : $\lambda_0 = 550$ nm, largeur spectrale $\Delta\lambda = 10$ nm. L'écran, dans l'air, est à $D = 1{,}0$ m. Calcule l'interfrange, puis estime le nombre de franges brillantes visibles de chaque côté de la frange centrale et la largeur de la zone qu'elles occupent.
Correction :
$i = \dfrac{\lambda_0 D}{a} = \dfrac{550 \times 10^{-9} \times 1{,}0}{0{,}50 \times 10^{-3}} = 1{,}1 \times 10^{-3}$ m, soit 1,1 mm.
Le contraste tient tant que $|\delta| \lesssim \ell_c = \dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda} = \dfrac{(550 \times 10^{-9})^2}{10 \times 10^{-9}} \approx 3{,}0 \times 10^{-5}$ m. L'ordre $p$ monte donc jusqu'à $\dfrac{\ell_c}{\lambda_0} = \dfrac{\lambda_0}{\Delta\lambda} = 55$ : environ 55 franges brillantes de chaque côté, sur $55 \times 1{,}1 \approx 60$ mm.
Retiens $\dfrac{\lambda_0}{\Delta\lambda}$ : plus la raie est fine, plus on compte de franges. En lumière blanche, il n'en reste que quelques-unes.
À retenir
À retenir :
- Le jury attend un raisonnement dit à voix haute, mené jusqu'au bout, avec dimensions et ordres de grandeur vérifiés.
- Quantique : compare $E$ au potentiel à l'infini (état lié ou libre), supprime les exponentielles qui divergent, raccorde $\varphi$ et $\varphi'$.
- Électromagnétisme : les symétries d'abord, puis Maxwell en local ; un vecteur d'onde complexe signale une atténuation.
- Optique : un tracé propre, puis $\delta$ ; les franges disparaissent quand $|\delta|$ dépasse la longueur de cohérence.
Sources
- École polytechnique, notice du concours d'admission, concours 2026, signée le 13 janvier 2026 (épreuves, coefficients, programme) : texte sur polytechnique.edu.
- École polytechnique, rapport de l'épreuve orale de physique, filière MP, concours 2025 : rapport sur polytechnique.edu.