La relativité restreinte repose sur un fait que l'expérience confirme : la lumière va toujours à la même vitesse dans le vide, environ 300 000 km/s, quel que soit le mouvement de celui qui la mesure. Pour que ce soit possible, le temps ne s'écoule pas au même rythme pour tout le monde : pendant que l'horloge d'un vaisseau qui file à 80 % de la vitesse de la lumière compte 3 secondes, les horloges du sol en comptent 5. La même théorie donne E = mc², qui explique pourquoi le Soleil perd de la masse en brillant.
Les deux principes de départ
Un référentiel, c'est ce par rapport à quoi tu décris un mouvement : le quai, le train, la Terre. Il est dit galiléen quand le principe d'inertie y est vrai : un objet sur lequel les forces se compensent y reste immobile, ou continue en ligne droite à vitesse constante.
Les deux principes :
1. Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.
2. La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens : c = 299 792 458 m/s, qu'on arrondit à 3,00 × 10⁸ m/s.
Le premier : dans un train qui roule sans à-coups, une balle lâchée tombe à tes pieds comme sur le quai, et sans regarder dehors, rien ne te dit que tu roules.
Le second est plus surprenant. Avec les vitesses de tous les jours, on additionne : si tu marches à 1 m/s vers l'avant d'un train qui roule à 30 m/s, tu avances à 31 m/s par rapport au quai. Avec la lumière, non. Un vaisseau qui file à 0,5c allume ses phares : la lumière va à c pour le pilote, et à c aussi pour quelqu'un resté au sol, pas à 1,5c.
Or une vitesse, c'est une distance divisée par une durée. Si celle de la lumière est la même pour tous, ce sont les durées et les distances qui changent d'un référentiel à l'autre.
Piège classique : « avec Einstein, tout est relatif » est un contresens. La vitesse de la lumière est la même pour tout le monde, et c'est justement pour ça que les durées et les longueurs dépendent du référentiel.
La dilatation des durées
Imagine une horloge de lumière : un éclair fait des allers-retours entre deux miroirs placés l'un au-dessus de l'autre, à la distance L. Chaque aller-retour est un « tic ».
Pose cette horloge dans un vaisseau qui avance à la vitesse v par rapport au sol. À bord, la lumière parcourt 2L à la verticale, à la vitesse c : un tic dure Δt₀ = 2L/c. Vu du sol, les miroirs avancent pendant le trajet, et la lumière suit deux diagonales, plus longues : comme elle va toujours à c, le tic dure plus longtemps pour le sol.
Vu du sol, pendant un demi-tic de durée Δt/2, la lumière parcourt la diagonale cΔt/2 pendant que le vaisseau avance de vΔt/2. La hauteur L = cΔt₀/2, l'avancée et la diagonale forment un triangle rectangle, et Pythagore donne :
(cΔt/2)² = (cΔt₀/2)² + (vΔt/2)²
On multiplie par 4 et on divise par c² : Δt² = Δt₀² + (v²/c²)Δt², donc Δt²(1 − v²/c²) = Δt₀², et Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²).
Formule : Δt = γ × Δt₀, avec γ = 1/√(1 − v²/c²)
Δt₀ est la durée propre : celle que mesure une horloge pour laquelle les deux événements ont lieu au même endroit (ici, l'horloge du vaisseau). Δt est la durée mesurée dans le référentiel où cette horloge se déplace à la vitesse v. Le coefficient γ (gamma), appelé facteur de Lorentz, n'a pas d'unité et vaut toujours au moins 1.
Prends v = 0,8c. Alors v²/c² = 0,64, puis 1 − 0,64 = 0,36, √0,36 = 0,6 et γ = 1/0,6 ≈ 1,67. Quand l'horloge du vaisseau compte 3,0 s, celles du sol comptent 3,0/0,6 = 5,0 s. Ce n'est pas un défaut des montres : vu du sol, tout ce qui se passe à bord est ralenti, battements de cœur compris.
Piège classique : mettre γ du mauvais côté et trouver une durée plus courte au sol. Pour ne pas te tromper, repère d'abord l'horloge qui voit les deux événements au même endroit : elle mesure la durée propre Δt₀, et c'est toujours la plus courte. L'autre durée s'obtient en multipliant par γ.
Pourquoi tu ne le remarques pas au quotidien
Tout dépend du rapport v/c.
| v/c | γ |
|---|---|
| 8,3 × 10⁻⁷ (avion de ligne à 900 km/h) | 1 + 3,5 × 10⁻¹³ |
| 0,1 | 1,005 |
| 0,5 | 1,15 |
| 0,8 | 1,67 |
| 0,99 | 7,09 |
| 0,999 | 22,4 |
Pour un avion, γ dépasse 1 de 3,5 × 10⁻¹³ : sur un vol de 8 heures, la vitesse seule décale l'horloge de bord d'environ 10⁻⁸ s, un centième de microseconde. Ta calculatrice affiche d'ailleurs γ = 1, faute de chiffres.
À l'inverse, quand v se rapproche de c, γ grandit sans limite (pour v = c, on diviserait par zéro) : un objet qui a une masse ne peut pas atteindre la vitesse de la lumière. À 0,99c, un astronaute qui voyagerait un an selon son horloge, aller et retour, retrouverait une Terre où un peu plus de sept ans se sont écoulés (en négligeant les accélérations) : c'est le « paradoxe des jumeaux ».
La contraction des longueurs
La longueur propre L₀ d'un objet est sa longueur mesurée dans le référentiel où il est immobile. Dans un référentiel où il se déplace à la vitesse v, sa longueur dans le sens du mouvement est plus courte :
L = L₀/γ
Les dimensions perpendiculaires au mouvement ne changent pas. Un vaisseau de 100 m de long, à 0,8c, ne mesure plus que 100 × 0,6 = 60 m pour le sol.
Pour ne pas mélanger les deux formules : la durée propre est la plus courte, la longueur propre la plus longue.
E = mc² : l'équivalence masse-énergie
La relativité restreinte a une autre conséquence : un objet possède de l'énergie du seul fait de sa masse, même immobile. C'est son énergie de masse.
Formule : E = m × c², avec E en joules (J), m en kilogrammes (kg) et c en mètres par seconde (m/s).
En pratique, un système qui cède une énergie E à l'extérieur voit sa masse baisser de Δm = E/c². Comme c² ≈ 9,0 × 10¹⁶ m²/s², une perte de masse minuscule correspond à une énergie énorme. Un seul gramme représente 10⁻³ × 9,0 × 10¹⁶ = 9,0 × 10¹³ J, de quoi faire tourner un radiateur de 1 000 W pendant environ 2 850 ans.
C'est ce qui se passe dans le Soleil. En son cœur, des noyaux d'hydrogène fusionnent : ils s'assemblent pour former des noyaux plus lourds, d'hélium. Les noyaux produits ont une masse totale un peu plus faible que ceux de départ, et l'énergie libérée vaut cette différence de masse multipliée par c². Le programme d'enseignement scientifique de Première le dit ainsi : ces réactions « s'accompagnent d'une diminution de la masse solaire au cours du temps ». L'exercice 2 te fait calculer cette perte.
Piège classique : travaille en unités du Système international. Avec m en grammes, ton résultat est 1 000 fois trop grand ; avec c en km/s, un million de fois trop petit. Et la masse ne « disparaît » pas en énergie pure : l'énergie emportée par le rayonnement s'accompagne d'une baisse de masse, et l'énergie totale se conserve.
Exercices corrigés
Prends c = 3,00 × 10⁸ m/s et cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un vaisseau (données fictives) passe devant la Terre à v = 180 000 km/s. Dans son propre référentiel, il mesure 100 m de long, et son horloge de bord mesure 2,0 h entre deux messages envoyés depuis le vaisseau.
a) Calcule γ.
b) Quelle longueur du vaisseau mesure-t-on depuis la Terre ?
c) Quelle durée sépare les deux envois dans le référentiel terrestre ?
Correction :
a) Le piège est dans les unités : v = 180 000 km/s = 1,80 × 10⁸ m/s, donc v/c = 1,80 × 10⁸/(3,00 × 10⁸) = 0,60. Alors γ = 1/√(1 − 0,36) = 1/√0,64 = 1/0,8 = 1,25.
b) 100 m est la longueur propre : on divise par γ. L = 100/1,25 = 80 m.
c) Les deux envois ont lieu au même endroit du vaisseau : 2,0 h est une durée propre, on multiplie par γ. Δt = 1,25 × 2,0 = 2,5 h, soit 2 h 30 min.
Contrôle : la longueur a diminué et la durée a augmenté, comme prévu.
Exercice 2 : Le Soleil rayonne une puissance P = 3,83 × 10²⁶ W (valeur de la NASA, 2024). Quelle masse perd-il chaque seconde à cause de ce rayonnement ?
Correction :
Une puissance est une énergie par seconde : en 1 s, le Soleil rayonne E = 3,83 × 10²⁶ J.
Δm = E/c² = 3,83 × 10²⁶/(3,00 × 10⁸)² = 3,83 × 10²⁶/(9,00 × 10¹⁶) ≈ 4,26 × 10⁹ kg, soit environ 4 millions de tonnes par seconde.
Exercice 3 : Les muons sont des particules instables, créées dans l'atmosphère par les rayons cosmiques. Au repos, un muon vit en moyenne τ₀ = 2,2 μs, soit 2,2 × 10⁻⁶ s (Particle Data Group, 2024). Données fictives pour la suite : un muon est créé à 10 km d'altitude et descend vers le sol à v = 0,998c.
a) Sans tenir compte de la relativité, quelle distance parcourt-il pendant τ₀ ?
b) Calcule γ, puis sa durée de vie moyenne dans le référentiel terrestre et la distance correspondante. Conclus.
Correction :
a) v = 0,998 × 3,00 × 10⁸ ≈ 2,99 × 10⁸ m/s, donc d = v × τ₀ = 2,99 × 10⁸ × 2,2 × 10⁻⁶ ≈ 660 m. Bien moins que 10 km : presque aucun muon n'arriverait au sol. C'est le piège de l'exercice : τ₀ est mesurée dans le référentiel du muon, pas dans celui de la Terre.
b) γ = 1/√(1 − 0,998²) = 1/√0,003996 ≈ 15,8. Dans le référentiel terrestre, le muon vit en moyenne Δt = 15,8 × 2,2 ≈ 34,8 μs et parcourt 2,99 × 10⁸ × 34,8 × 10⁻⁶ ≈ 1,04 × 10⁴ m, soit 10,4 km.
En moyenne, il parcourt plus que les 10 km à traverser : sans la dilatation des durées, il n'atteindrait pas le sol. On observe d'ailleurs que la plupart des muons de haute énergie l'atteignent sans se désintégrer (Particle Data Group, 2024).
À retenir
À retenir :
- Les lois de la physique et la vitesse de la lumière dans le vide, c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s, sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.
- γ = 1/√(1 − v²/c²), toujours au moins égal à 1.
- Dilatation des durées : Δt = γ × Δt₀, la durée propre Δt₀ étant la plus courte.
- Contraction des longueurs : L = L₀/γ dans le sens du mouvement, la longueur propre L₀ étant la plus longue.
- E = mc² : un système qui cède une énergie E perd une masse E/c², calcul fait en unités SI.
Sources
- Programme d'enseignement scientifique de première générale, Bulletin officiel n° 25 du 22 juin 2023 : texte sur education.gouv.fr.
- NASA, fiche de données du Soleil (Sun Fact Sheet), mise à jour le 9 mai 2024 : nssdc.gsfc.nasa.gov.
- Particle Data Group, Review of Particle Physics, 2024 : durée de vie du muon et chapitre sur les rayons cosmiques.