Le rendement d'un moteur thermique est le travail qu'il fournit divisé par la chaleur qu'il reçoit de la source chaude, et il ne dépasse jamais la limite de Carnot $1 - \dfrac{T_f}{T_c}$, températures en kelvins. Entre $800\,\text{K}$ et $300\,\text{K}$, aucun moteur ne fait mieux que $1 - \dfrac{300}{800} = 62{,}5\,\%$. Une machine frigorifique ou une pompe à chaleur consomme au contraire du travail pour déplacer de la chaleur : on la juge à son coefficient de performance (COP), qui peut dépasser 1.
Le bilan d'un cycle : deux principes
Un cycle ramène le fluide à son état de départ, donc son énergie interne reprend sa valeur : $\Delta U = 0$. On compte positivement ce que le fluide reçoit : $W$ est le travail reçu, $Q_c$ la chaleur reçue de la source chaude à la température $T_c$, $Q_f$ celle reçue de la source froide à $T_f$. Avec ces deux sources seulement, la machine est dite ditherme.
Propriété : sur un cycle d'une machine ditherme,
$$W + Q_c + Q_f = 0 \qquad \text{(premier principe)}$$
$$\frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \leqslant 0 \qquad \text{(second principe)}$$
L'égalité n'a lieu que pour un cycle réversible (sans frottement ni écart de température entre le fluide et ses sources), cas limite qu'aucune machine n'atteint.
Dans le diagramme de Clapeyron $(P, V)$, l'aire du cycle vaut $|W|$ : sens horaire pour un moteur, sens inverse pour une machine frigorifique ou une pompe à chaleur.
Le BUT GTE s'appelle officiellement MT2E (France compétences) ; son programme national de 2022 traite ces deux principes aux semestres 1 et 2.
Moteur : rendement et cycle de Carnot
Un moteur reçoit $Q_c \gt 0$ de la source chaude, rend $Q_f \lt 0$ à la source froide et fournit du travail, donc $W \lt 0$. Son rendement compare ce qu'on récupère à ce qu'on paie :
$$\eta = \frac{-W}{Q_c} = 1 + \frac{Q_f}{Q_c}$$
Le second principe donne $\dfrac{Q_f}{T_f} \leqslant -\dfrac{Q_c}{T_c}$. En multipliant par $\dfrac{T_f}{Q_c}$, qui est positif, on obtient $\dfrac{Q_f}{Q_c} \leqslant -\dfrac{T_f}{T_c}$, qu'on reporte dans $\eta$.
Propriété : pour un moteur ditherme,
$$\eta \leqslant \eta_C = 1 - \frac{T_f}{T_c}$$
avec égalité seulement pour un cycle réversible.
Ce cycle réversible est le cycle de Carnot : détente isotherme (à température constante) à $T_c$, où le fluide reçoit $Q_c$, détente adiabatique réversible (sans échange de chaleur) jusqu'à $T_f$, compression isotherme à $T_f$, où il rend de la chaleur à la source froide, puis compression adiabatique réversible jusqu'à $T_c$.
Il ne reçoit de chaleur qu'à $T_c$ et n'en rend qu'à $T_f$ : c'est ce qui le rend parfait, et ce qui manque au cycle de Rankine (exercice 2).
Piège classique : dans la formule de Carnot, les températures sont en kelvins, $T = \theta + 273{,}15$ avec $\theta$ en degrés Celsius. En degrés Celsius, le résultat est faux, et souvent bien trop beau.
Moteurs à piston : Beau de Rochas et Diesel
On modélise le gaz par de l'air, gaz parfait de coefficient $\gamma = \dfrac{c_p}{c_v} = 1{,}4$, rapport de ses capacités thermiques massiques à pression et à volume constants. La compression et la détente, très rapides, sont prises adiabatiques réversibles : la loi de Laplace $TV^{\gamma-1} = \text{constante}$ s'y applique.
Le moteur à essence se modélise par le cycle de Beau de Rochas, appelé cycle d'Otto hors de France : compression adiabatique ($1 \to 2$), combustion à volume constant ($2 \to 3$), détente adiabatique ($3 \to 4$), échappement à volume constant ($4 \to 1$). Ici $Q_c = m c_v (T_3 - T_2)$ et $Q_f = m c_v (T_1 - T_4)$, et la loi de Laplace sur les deux adiabatiques ramène tout au taux de compression $a = \dfrac{V_{\max}}{V_{\min}}$.
Le moteur Diesel comprime de l'air seul, bien plus fort, puis injecte le gazole, qui s'enflamme tout seul dans cet air très chaud. Sa combustion est modélisée à pression constante, $Q_c = m c_p (T_3 - T_2)$, alors que l'échappement reste à volume constant. D'où le $\gamma$ au dénominateur de son rendement.
Formule : rendements théoriques des deux cycles,
$$\eta_{\text{Beau de Rochas}} = 1 - \frac{1}{a^{\gamma - 1}}$$
$$\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{\gamma\,(T_3 - T_2)}$$
Le rendement monte avec $a$, qui est un rapport de volumes et non de pressions : $58{,}5\,\%$ pour $a = 9$. Dans un moteur à essence, $a$ est limité par l'auto-inflammation du mélange, qui fait cliqueter le moteur. Le Diesel n'a pas cette limite : à $a$ égal il fait moins bien, mais son $a$ est bien plus grand.
Cycle de Rankine et rendement isentropique
Dans une centrale à vapeur, l'eau tourne en boucle dans quatre appareils : pompe ($1 \to 2$), chaudière ($2 \to 3$), turbine ($3 \to 4$) et condenseur ($4 \to 1$). Chacun est un système ouvert, traversé en continu. Le bilan se fait par kilogramme, avec l'enthalpie massique $h = u + Pv$, où $u$ est l'énergie interne massique et $v$ le volume massique.
Propriété : en écoulement permanent, énergies cinétique et potentielle négligées,
$$w_u + q = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}}$$
où $w_u$ est le travail utile reçu des pièces mobiles et $q$ la chaleur reçue, par kilogramme de fluide.
Pompe et turbine sont supposées adiabatiques ($q = 0$) ; chaudière et condenseur n'ont pas de pièce mobile ($w_u = 0$). Le rendement, travail net fourni sur chaleur reçue, s'écrit donc :
$$\eta = \frac{(h_3 - h_4) - (h_2 - h_1)}{h_3 - h_2}$$
Les enthalpies se lisent dans les tables de la vapeur ou sur le diagramme de Mollier ($h$ en fonction de l'entropie massique $s$). Le travail de pompe est petit, car un liquide change à peine de volume : $w_P \approx v\,(P_2 - P_1)$, environ $4\,\text{kJ/kg}$ pour de l'eau, de $0{,}1$ à $40\,\text{bar}$.
Une turbine réelle fournit moins de travail que la détente adiabatique réversible, dite isentropique (à entropie constante). Son rendement isentropique compare la sortie réelle $4$ à la sortie idéale $4s$, à la même pression :
$$\eta_{is,T} = \frac{h_3 - h_4}{h_3 - h_{4s}}$$
Un compresseur réel demande au contraire plus de travail que l'idéal : $\eta_{is,C} = \dfrac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1}$. Dans les deux cas, le plus petit travail va au numérateur.
Machines frigorifiques et pompes à chaleur : le COP
Ici le cycle tourne dans l'autre sens : $W \gt 0$, $Q_f \gt 0$ et $Q_c \lt 0$. On paie $W$, et ce qu'on veut dépend de l'usage : retirer $Q_f$ pour un réfrigérateur, fournir $-Q_c$ au logement pour une pompe à chaleur.
Formule : limites tirées des deux principes,
$$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{Q_f}{W} \leqslant \frac{T_f}{T_c - T_f}$$
$$\text{COP}_{\text{PAC}} = \frac{-Q_c}{W} \leqslant \frac{T_c}{T_c - T_f}$$
Un COP de 3 ne crée pas d'énergie : sur $3\,\text{kJ}$ fournis au logement, $1\,\text{kJ}$ vient du travail et $2\,\text{kJ}$ de la source froide. Plus l'écart $T_c - T_f$ est faible, plus la limite est haute : une pompe à chaleur préfère un plancher chauffant à des radiateurs très chauds.
Piège classique : le COP d'une machine frigorifique se calcule avec la chaleur prise à la source froide, celui d'une pompe à chaleur avec la chaleur rendue à la source chaude. Pour une même machine, $-Q_c = Q_f + W$, donc $\text{COP}_{\text{PAC}} = \text{COP}_{\text{froid}} + 1$.
On lit les enthalpies du fluide frigorigène sur le diagramme enthalpique, avec la pression en ordonnée (échelle logarithmique) et l'enthalpie massique en abscisse. Note 1, 2, 3 et 4 les sorties de l'évaporateur, du compresseur, du condenseur et du détendeur. Le détendeur n'échange ni travail ni chaleur, donc $h_4 = h_3$ : la détente est un segment vertical. Avec un compresseur adiabatique :
$$\text{COP}_{\text{froid}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1} \qquad \text{COP}_{\text{PAC}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1}$$
En pratique, la vapeur entre un peu surchauffée dans le compresseur (au-dessus de sa température d'ébullition), pour qu'il n'aspire pas de liquide, et le liquide sort du condenseur un peu sous-refroidi (sous sa température de condensation), ce qui abaisse $h_4$ et augmente la chaleur prise à la source froide.
Exercices corrigés
Exercice 1 : Un fabricant annonce un moteur de rendement $60\,\%$ entre des sources à $400\,^\circ\text{C}$ et $50\,^\circ\text{C}$ (données fictives). Un camarade calcule $1 - \dfrac{50}{400} = 87{,}5\,\%$ et juge l'annonce possible. A-t-il raison ?
Correction :
Non : la formule de Carnot demande des kelvins. $T_c = 400 + 273 = 673\,\text{K}$ et $T_f = 50 + 273 = 323\,\text{K}$, donc $\eta_C = 1 - \dfrac{323}{673} \approx 0{,}52$.
Aucun moteur ne dépasse $52\,\%$ entre ces sources : l'annonce est impossible.
Exercice 2 : Une centrale suit un cycle de Rankine entre $40\,\text{bar}$ et $0{,}1\,\text{bar}$. Enthalpies tirées des tables du NIST, arrondies : $h_1 = 192\,\text{kJ/kg}$ (liquide saturé à $45{,}8\,^\circ\text{C}$, sortie du condenseur), $h_2 = 196\,\text{kJ/kg}$ (sortie de la pompe), $h_3 = 3\,215\,\text{kJ/kg}$ (vapeur à $400\,^\circ\text{C}$, sortie de la chaudière) et $h_4 = 2\,145\,\text{kJ/kg}$ (sortie de la turbine, détente isentropique). Calcule les travaux de turbine et de pompe, la chaleur reçue, puis le rendement. Compare au rendement de Carnot entre $400\,^\circ\text{C}$ et $45{,}8\,^\circ\text{C}$.
Correction :
Turbine : $w_T = h_4 - h_3 = -1\,070\,\text{kJ/kg}$, la vapeur fournit $1\,070\,\text{kJ}$ par kilogramme. Pompe : $w_P = h_2 - h_1 = 4\,\text{kJ/kg}$. Chaudière : $q = h_3 - h_2 = 3\,019\,\text{kJ/kg}$.
Rendement : $\eta = \dfrac{1\,070 - 4}{3\,019} = \dfrac{1\,066}{3\,019} \approx 0{,}353$, soit environ $35\,\%$.
Carnot, avec $T_c = 673\,\text{K}$ et $T_f = 319\,\text{K}$ : $\eta_C = 1 - \dfrac{319}{673} \approx 0{,}53$. Rankine en reste loin : l'eau entre dans la chaudière sous $50\,^\circ\text{C}$ et y reçoit une grande part de sa chaleur bien en dessous de $400\,^\circ\text{C}$.
Exercice 3 : Une pompe à chaleur au R-134a fournit $7{,}0\,\text{kW}$ à l'eau d'un plancher chauffant. Le fluide entre dans le compresseur en vapeur saturée à $-5\,^\circ\text{C}$, $h_1 = 396\,\text{kJ/kg}$, et sort du condenseur en liquide saturé à $40\,^\circ\text{C}$, $h_3 = 256\,\text{kJ/kg}$ (tables du NIST, arrondies). Une compression isentropique le mènerait à $h_{2s} = 425\,\text{kJ/kg}$ ; le compresseur, adiabatique, a un rendement isentropique de $0{,}70$. Calcule $h_2$, le COP, le débit massique et la puissance du compresseur.
Correction :
Pour un compresseur, le travail idéal va au numérateur : $h_2 - h_1 = \dfrac{h_{2s} - h_1}{0{,}70} = \dfrac{29}{0{,}70} \approx 41{,}4\,\text{kJ/kg}$, donc $h_2 \approx 437\,\text{kJ/kg}$. Multiplier par $0{,}70$ donnerait un travail inférieur à l'idéal : impossible.
Le condenseur rend à l'eau $h_2 - h_3 \approx 437{,}4 - 256 = 181{,}4\,\text{kJ/kg}$, donc $\text{COP} = \dfrac{181{,}4}{41{,}4} \approx 4{,}4$.
Débit : $q_m = \dfrac{7{,}0}{181{,}4} \approx 0{,}0386\,\text{kg/s}$. Puissance du compresseur : $q_m\,(h_2 - h_1) \approx 0{,}0386 \times 41{,}4 \approx 1{,}6\,\text{kW}$, soit bien $\dfrac{7{,}0}{\text{COP}}$.
À retenir
À retenir :
- Sur un cycle, en comptant positif ce que reçoit le fluide : $W + Q_c + Q_f = 0$ et $\dfrac{Q_c}{T_c} + \dfrac{Q_f}{T_f} \leqslant 0$.
- Moteur : $\eta = \dfrac{-W}{Q_c} \leqslant 1 - \dfrac{T_f}{T_c}$, températures en kelvins. Carnot atteint la limite : chaleur reçue à $T_c$, rendue à $T_f$.
- Beau de Rochas : $\eta = 1 - \dfrac{1}{a^{\gamma-1}}$ ; Diesel : $\eta = 1 - \dfrac{T_4 - T_1}{\gamma\,(T_3 - T_2)}$.
- Système ouvert : $w_u + q = \Delta h$. Rendement isentropique : le plus petit travail au numérateur.
- Froid : $\text{COP} = \dfrac{Q_f}{W}$ ; pompe à chaleur : $\text{COP} = \dfrac{-Q_c}{W}$ ; le détendeur garde l'enthalpie.
Sources
- Programme national 2022 du BUT MT2E, annexe 18, ressources R1.04 et R2.05 : texte sur education.gouv.fr.
- France compétences, fiche RNCP35488 du BUT MT2E (enregistrée jusqu'au 31 août 2026) : fiche sur francecompetences.fr.
- NIST Chemistry WebBook (exercices 2 et 3) : base de données du NIST.