La fraction $\dfrac{3}{4}$ se lit « trois quarts » : on partage l'unité en 4 parts égales et on en prend 3. Le nombre décimal $0{,}75$ est le même nombre écrit avec une virgule, car $\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{100}$, soixante-quinze centièmes. Une fraction compte des parts ; la virgule les range en dixièmes, centièmes et millièmes. Quatre exercices corrigés t'attendent à la fin.
Ce que veut dire une fraction
Définition : dans une fraction comme $\dfrac{3}{8}$, le nombre du bas s'appelle le dénominateur : il dit en combien de parts égales on partage l'unité. Le nombre du haut s'appelle le numérateur : il dit combien de ces parts on prend.
L'unité, c'est le tout de départ, par exemple une tablette de chocolat ou une bande de papier. Pour colorier les $\dfrac{3}{8}$ d'un rectangle, tu le partages en 8 parts exactement égales, puis tu en colories 3. Si les parts ne sont pas égales, ce ne sont plus des huitièmes.
On lit une fraction avec le nom de ses parts : $\dfrac{1}{2}$ un demi, $\dfrac{1}{3}$ un tiers, $\dfrac{1}{4}$ un quart, puis $\dfrac{3}{8}$ trois huitièmes, $\dfrac{7}{10}$ sept dixièmes. Quand le numérateur est égal au dénominateur, tu as pris toutes les parts : $\dfrac{8}{8}=1$, l'unité entière.
Piège classique : $\dfrac{1}{10}$ n'est pas plus grand que $\dfrac{1}{2}$, même si 10 est plus grand que 2. Plus tu coupes l'unité en beaucoup de parts, plus chaque part est petite : un dixième de tarte est bien plus fin qu'une moitié.
Les fractions plus grandes que 1
Une fraction dépasse 1 quand on prend plus de parts qu'il n'y en a dans une unité. Avec $\dfrac{7}{4}$, tu prends 7 quarts. Or 4 quarts font une unité entière, donc :
$$\frac{7}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=1+\frac{3}{4}$$
Avec une fraction plus grande, sers-toi des tables de multiplication. Pour $\dfrac{58}{7}$, cherche le plus grand multiple de 7 qui ne dépasse pas 58 : c'est $56=8\times7$. Donc $\dfrac{58}{7}=\dfrac{56}{7}+\dfrac{2}{7}=8+\dfrac{2}{7}$.
Cette écriture sert à encadrer la fraction, c'est-à-dire à la coincer entre deux entiers qui se suivent : $8\lt\dfrac{58}{7}\lt9$. Le chemin inverse marche aussi : $2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$.
Une demi-droite graduée est une droite qui part de 0, avec des graduations régulières. Pour y placer $\dfrac{7}{4}$, partage chaque unité en 4 petits pas égaux, puis compte 7 pas depuis 0. Tu t'arrêtes 3 pas après le 1 : on retrouve $1+\dfrac{3}{4}$.
Comparer et additionner des fractions
Deux fractions de même dénominateur se comparent comme des objets de même nom : 5 huitièmes, c'est plus que 3 huitièmes, donc $\dfrac{3}{8}\lt\dfrac{5}{8}$.
Si les dénominateurs sont différents, écris d'abord les deux fractions avec le même. Pour ça, multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : la fraction ne change pas, tu coupes seulement chaque part en morceaux plus petits. Ainsi $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\times2}{4\times2}=\dfrac{6}{8}$, donc $\dfrac{3}{4}>\dfrac{5}{8}$.
Règle : pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}$. On soustrait de la même façon : $\dfrac{6}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{4}{7}$.
La raison : 2 septièmes plus 3 septièmes font 5 septièmes, comme 2 billes plus 3 billes font 5 billes. Le dénominateur donne le nom des parts, il ne s'additionne pas.
Au CM2, quand un dénominateur est un multiple de l'autre, tu ramènes d'abord au même dénominateur (exemples du ministère pour le CM2) : $\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{12}{8}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{19}{8}$. Multiplier une fraction par un entier revient à l'additionner plusieurs fois : $3\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{15}{4}$.
Piège classique : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$ ne fait pas $\dfrac{2}{8}$. Un quart plus un quart font deux quarts, $\dfrac{2}{4}$, une moitié. Or $\dfrac{2}{8}$ vaut un quart : tu retrouverais autant qu'au départ alors que tu as ajouté quelque chose.
Une fraction d'une quantité
Une fraction sert aussi à prendre une partie d'une quantité. Pour trouver les $\dfrac{2}{3}$ de 12 œufs, partage d'abord les 12 œufs en 3 parts égales : $12\div3=4$, donc un tiers fait 4 œufs. Deux tiers, c'est deux fois plus : $2\times4=8$ œufs.
Conseil : divise par le dénominateur, puis multiplie par le numérateur. Les $\dfrac{3}{10}$ de 500 g de farine : $500\div10=50$, puis $3\times50=150$, soit 150 g.
Des fractions décimales à la virgule
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100 ou 1 000, comme $\dfrac{7}{10}$ ou $\dfrac{35}{100}$. Elles se convertissent facilement, car une unité vaut 10 dixièmes, un dixième vaut 10 centièmes et un centième vaut 10 millièmes :
$$1=\frac{10}{10}=\frac{100}{100}=\frac{1\,000}{1\,000}\qquad\frac{1}{10}=\frac{10}{100}=\frac{100}{1\,000}$$
L'écriture à virgule est un raccourci pour ces fractions. Le nombre $4+\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{1\,000}$ s'écrit $4{,}107$. La virgule suit le chiffre des unités, puis chaque chiffre a son rang :
| Rang | Unités | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|
| Chiffre de $4{,}107$ | $4$ | $1$ | $0$ | $7$ |
| Ce qu'il vaut | $4$ | $\dfrac{1}{10}$ | $0$ | $\dfrac{7}{1\,000}$ |
Le zéro des centièmes est indispensable : sans lui, tu écrirais $4{,}17$, un autre nombre. On lit $4{,}107$ « quatre unités et cent-sept millièmes », car $4{,}107=4+\dfrac{107}{1\,000}$. Au CM1, on s'arrête aux centièmes ; au CM2, on va jusqu'aux millièmes (programme de mathématiques du cycle 3, Bulletin officiel du 17 avril 2025).
Quelques écritures sont à savoir par cœur : $\dfrac{1}{2}=0{,}5$, $\dfrac{1}{4}=0{,}25$, $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ et $\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Pour les retrouver, passe par les centièmes : un quart de 100 centièmes, c'est 25 centièmes, donc $\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{100}=0{,}25$.
Comparer et arrondir un décimal
Pour comparer deux nombres décimaux, regarde d'abord leur partie entière, le nombre écrit avant la virgule. Si elle est la même, compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. Ainsi $4{,}71>4{,}592$ : même partie entière, mais 7 dixièmes, c'est plus que 5 dixièmes.
Piège classique : $12{,}45$ n'est pas plus grand que $12{,}8$, même si 45 est plus grand que 8. Ajoute un zéro à droite pour avoir autant de chiffres après la virgule : $12{,}8=12{,}80$, et 80 centièmes dépassent 45 centièmes. Un zéro ajouté à la fin ne change pas le nombre ; un zéro glissé juste après la virgule le change : $4{,}05$ n'est pas $4{,}5$.
Encadrer un décimal, c'est le placer entre deux nombres plus simples. Entre deux entiers qui se suivent : $17\lt17{,}995\lt18$. Au dixième : $17{,}9\lt17{,}995\lt18$. Au centième : $17{,}99\lt17{,}995\lt18$.
L'arrondi à l'entier est l'entier le plus proche. Par exemple, $5{,}78$ est plus près de 6 que de 5, donc son arrondi à l'entier est 6, alors que sa partie entière est 5. Pour un nombre pile au milieu, comme $3{,}5$, on prend l'entier du dessus : 4.
Calculer avec les décimaux
Pour poser une addition ou une soustraction, aligne les virgules l'une sous l'autre : les unités tombent sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes. Complète avec des zéros si besoin : $5-2{,}15$ se pose comme $5{,}00-2{,}15$ et donne $2{,}85$.
Multiplier par 10 donne à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande : les dixièmes deviennent des unités, les centièmes des dixièmes. Chaque chiffre passe au rang de gauche : $3{,}45\times10=34{,}5$ et $3{,}45\times100=345$. Diviser par 10 fait l'inverse : $34{,}5\div10=3{,}45$. Attention, « ajouter un zéro » ne marche qu'avec les entiers : $3{,}450$ vaut toujours $3{,}45$.
Pour multiplier un décimal par un entier, raisonne avec les rangs : $0{,}45\times3$, c'est 45 centièmes pris 3 fois, soit 135 centièmes, donc $1{,}35$.
Au CM2, une division peut continuer après la virgule. Pour $7\div4$ : 7 unités divisées par 4 donnent 1 unité, reste 3 unités, soit 30 dixièmes. Puis $30\div4$ donne 7 dixièmes, reste 2 dixièmes, soit 20 centièmes. Enfin $20\div4$ donne 5 centièmes. Donc $7\div4=1{,}75$.
Exercices corrigés
Cherche chacun sur ton cahier avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Écris $\dfrac{23}{6}$ comme la somme d'un entier et d'une fraction plus petite que 1, puis encadre $\dfrac{23}{6}$ entre deux entiers qui se suivent.
Correction :
Le plus grand multiple de 6 qui ne dépasse pas 23 est $18=3\times6$. Donc $\dfrac{23}{6}=\dfrac{18}{6}+\dfrac{5}{6}=3+\dfrac{5}{6}$.
Comme $\dfrac{5}{6}$ est plus petit que 1, on obtient $3\lt\dfrac{23}{6}\lt4$.
Exercice 2 : Calcule $\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}$, puis $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}$.
Correction :
Même dénominateur, on additionne les numérateurs : $\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}=\dfrac{7}{9}$.
Pour la seconde, 4 est un multiple de 2, et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}$. Donc $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}$, c'est-à-dire $1+\dfrac{1}{4}$.
Exercice 3 : Range ces nombres dans l'ordre croissant, du plus petit au plus grand : $4{,}6$ ; $4{,}059$ ; $4{,}71$ ; $4{,}592$.
Correction :
Même partie entière, 4. Écris-les avec trois chiffres après la virgule : $4{,}600$ ; $4{,}059$ ; $4{,}710$ ; $4{,}592$. Il reste à comparer 600, 59, 710 et 592 millièmes.
Donc $4{,}059\lt4{,}592\lt4{,}6\lt4{,}71$. Le piège : croire que $4{,}592$ dépasse $4{,}6$ parce qu'il a plus de chiffres.
Exercice 4 : Malik achète 3 citrons à 0,45 € l'un et un paquet de farine à 1,30 €. Il paie avec un billet de 5 €. Combien d'argent lui rend-on ?
Correction :
Les citrons coûtent $3\times0{,}45=1{,}35$, soit 1,35 €. Avec la farine : $1{,}35+1{,}30=2{,}65$, soit 2,65 €.
On pose la soustraction en complétant avec des zéros : $5{,}00-2{,}65=2{,}35$. On lui rend 2,35 €.
À retenir
À retenir :
- Le dénominateur donne le nombre de parts égales, le numérateur le nombre de parts prises.
- Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites.
- Une fraction plus grande que 1 s'écrit comme un entier plus une fraction : $\dfrac{7}{4}=1+\dfrac{3}{4}$.
- Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs seulement.
- Pour prendre une fraction d'une quantité, on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
- Après la virgule viennent les dixièmes, les centièmes, puis les millièmes : $4{,}107=4+\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{1\,000}$.
- On compare deux décimaux rang par rang, en commençant par la partie entière.
Sources
- Programme de mathématiques pour le cycle 3 (CM1, CM2, sixième), publié au Bulletin officiel du 17 avril 2025 : texte sur education.gouv.fr.
- Exemples pour la mise en œuvre du programme de mathématiques en CM2 (exemples de réussite), 2025 : document sur eduscol.