L'essentiel à connaître
Un fluide qui s'écoule se traite avec deux outils. D'abord le débit : pour un liquide en régime permanent, $Q_v=S\,v$ est le même tout le long du tuyau, donc si la section $S$ est divisée par 3, la vitesse $v$ est multipliée par 3. Ensuite la relation de Bernoulli : à la même hauteur, là où le fluide va plus vite, sa pression est plus basse.
« Régime permanent » veut dire qu'en chaque point, la vitesse et la pression ne changent pas au cours du temps. « Incompressible » veut dire que la masse volumique $\rho$ reste constante, ce qu'un liquide vérifie très bien. Le programme de physique-chimie de terminale (Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019) demande d'exploiter la relation de Bernoulli quand elle est fournie.
Définition : Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section par seconde : $Q_v=\dfrac{V}{\Delta t}=S\,v$, en $\text{m}^3/\text{s}$, avec $S$ en $\text{m}^2$ et $v$ en $\text{m/s}$. Pour un fluide incompressible en régime permanent, il se conserve : $S_1\,v_1=S_2\,v_2$.
Formule : Pour un fluide incompressible, en régime permanent et sans frottements, entre deux points A et B d'une même ligne de courant (le chemin suivi par une portion de fluide) :
$$p_A+\tfrac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g z_A=p_B+\tfrac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g z_B$$
avec la pression $p$ en $\text{Pa}$, $\rho$ en $\text{kg/m}^3$, $v$ en $\text{m/s}$, l'altitude $z$ en $\text{m}$ et $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$.
Deux cas en découlent. Dans un tuyau horizontal qui se rétrécit, le fluide accélère et sa pression baisse : c'est l'effet Venturi, celui des débitmètres à Venturi. Pour un grand réservoir ouvert percé d'un petit trou à la profondeur $h$, la surface et le jet sont à la pression atmosphérique, la surface descend à peine, et Bernoulli donne la vitesse du jet, $v=\sqrt{2gh}$ : c'est la formule de Torricelli (eduscol, juin 2020).
Avec $v=0$ partout, Bernoulli redonne la loi de la statique des fluides vue en première : au repos, la pression augmente avec la profondeur.
Piège classique : Le débit dépend de la section, pas du diamètre. Pour un tuyau rond, $S=\pi d^2/4$ : diamètre divisé par 2, section divisée par 4, vitesse multipliée par 4. Convertis aussi avant de calculer : $1\,\text{cm}^2=10^{-4}\,\text{m}^2$ et $1\,\text{L}=10^{-3}\,\text{m}^3$.
Quiz : teste tes connaissances
Les valeurs sont des données d'exercice, fictives mais réalistes. La difficulté monte au fil des questions, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Un robinet remplit un seau de $10\,\text{L}$ en $20\,\text{s}$. Quel est son débit volumique ?
Réponse : B. $V=10\,\text{L}=1{,}0\times10^{-2}\,\text{m}^3$, donc $Q_v=V/\Delta t=1{,}0\times10^{-2}/20=5{,}0\times10^{-4}\,\text{m}^3/\text{s}$. La C oublie la conversion : un litre vaut $10^{-3}\,\text{m}^3$, pas un mètre cube.
Question 2 : De l'eau coule en régime permanent dans un tuyau, puis entre dans une partie de section deux fois plus petite. Sa vitesse :
Réponse : D. Le débit $Q_v=S\,v$ ne change pas : si $S$ est divisée par 2, $v$ doit doubler. La A applique la proportionnalité à l'envers : moins de place ne veut pas dire moins vite, c'est l'inverse.
Question 3 : Dans la relation de Bernoulli, les termes $p$, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ et $\rho g z$ s'expriment tous en :
Réponse : C. On n'additionne que des grandeurs de même unité : comme $p$ est en pascals, les deux autres termes aussi. Le piège est le joule : ces termes sont des énergies par mètre cube, et $1\,\text{J/m}^3$ vaut exactement $1\,\text{Pa}$.
Question 4 : De l'eau circule à $0{,}50\,\text{m/s}$ dans un tuyau de section $6{,}0\,\text{cm}^2$, qui se rétrécit ensuite à $1{,}5\,\text{cm}^2$. Quelle est sa vitesse dans la partie étroite ?
Réponse : A. $v_2=v_1\times S_1/S_2=0{,}50\times6{,}0/1{,}5=2{,}0\,\text{m/s}$ : seul le rapport des sections compte, inutile de les convertir. La B inverse ce rapport et fait ralentir l'eau là où le passage se resserre.
Question 5 : Un tuyau horizontal présente un rétrécissement. Dans la partie étroite, comparée à la partie large :
Réponse : C. Le débit se conserve, donc le fluide accélère. À hauteur égale, $p+\tfrac{1}{2}\rho v^2$ reste constant, donc $p$ baisse : c'est l'effet Venturi. La B imagine un fluide « serré » donc comprimé, alors qu'un liquide est incompressible : c'est sa vitesse qui change.
Question 6 : Entre deux points d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli vue au lycée s'applique à un écoulement :
Réponse : B. Le modèle suppose un fluide incompressible, un régime permanent et des frottements négligeables. La D est le piège : avec des frottements, la pression baisse le long du tuyau (les « pertes de charge » des hydrauliciens) et la relation ne tombe plus juste.
Question 7 : Un grand réservoir ouvert se vide par un petit trou. Pourquoi peut-on négliger la vitesse de l'eau à la surface libre ?
Réponse : D. Le débit se conserve : $v_0\,S=v\,s$, donc $v_0=v\times s/S$, minuscule quand la section $S$ du réservoir est très grande devant celle du trou $s$. La B confond « permanent » et « immobile » : la vitesse en un point ne change pas au cours du temps, mais elle n'est pas nulle.
Question 8 : Un grand réservoir ouvert est percé d'un petit trou situé $1{,}8\,\text{m}$ sous la surface libre, et le jet sort à l'air libre. Avec $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$, quelle est la vitesse du jet ?
Réponse : A. Entre la surface (pression atmosphérique, vitesse négligeable, altitude $h$) et le trou (pression atmosphérique, vitesse $v$, altitude $0$), il reste $\rho gh=\tfrac{1}{2}\rho v^2$, d'où $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times1{,}8}\approx5{,}9\,\text{m/s}$. La C oublie la racine carrée : $35$ est la valeur de $v^2$.
Question 9 : De l'eau ($\rho=1{,}0\times10^3\,\text{kg/m}^3$) circule à $0{,}60\,\text{m/s}$ dans un tube horizontal de section $12\,\text{cm}^2$, qui se rétrécit à $4{,}0\,\text{cm}^2$. De combien la pression baisse-t-elle dans la partie étroite ?
Réponse : B. Le débit d'abord : $v_2=0{,}60\times12/4{,}0=1{,}8\,\text{m/s}$. Puis Bernoulli à hauteur égale : $p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2-v_1^2)=500\times(3{,}24-0{,}36)\approx1{,}4\times10^3\,\text{Pa}$. La C calcule $(v_2-v_1)^2$, qui n'est pas $v_2^2-v_1^2$.
Question 10 : L'eau arrive à $0{,}50\,\text{m/s}$ dans un tuyau de diamètre intérieur $2{,}0\,\text{cm}$, qui se rétrécit à un diamètre de $1{,}0\,\text{cm}$. Quelle est sa vitesse dans la partie fine ?
Réponse : D. La section $S=\pi d^2/4$ varie comme le carré du diamètre : diamètre divisé par 2, section divisée par 4, vitesse multipliée par 4, soit $0{,}50\times4=2{,}0\,\text{m/s}$. La A prend le rapport des diamètres pour celui des sections.
Question 11 : De l'eau monte en régime permanent dans un tuyau vertical de section constante. En haut du tuyau, comparé au bas :
Réponse : A. Section constante et liquide incompressible : le débit impose la même vitesse partout. Bernoulli donne alors $p_{\text{bas}}-p_{\text{haut}}=\rho g\,(z_{\text{haut}}-z_{\text{bas}})$, donc la pression baisse en montant. La C suit l'intuition d'une balle qui ralentit en montant, ce que la conservation du débit interdit ici.
Question 12 : Dans le réservoir de la question 8, on remplace l'eau par de l'huile, moins dense, à la même hauteur au-dessus du trou. En négligeant les frottements, la vitesse du jet est :
Réponse : C. Dans $\rho gh=\tfrac{1}{2}\rho v^2$, la masse volumique est des deux côtés et se simplifie : $v=\sqrt{2gh}$ ne dépend que de la hauteur. La B est le piège : avec l'huile, la pression au fond est plus faible, mais la masse à mettre en mouvement aussi, et les deux effets se compensent.
Sources
Programme de physique-chimie de terminale générale, partie « Modéliser l'écoulement d'un fluide », Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019 : texte du programme.
Eduscol, « Enseignement de la relation de Bernoulli, aspects didactiques », terminale, juin 2020 : ressource en PDF.