L'essentiel à connaître
Modéliser un système multiphysique, c'est écrire les équations de chaque domaine physique, puis les relier par les grandeurs qu'ils s'échangent. Prends le bobinage d'un moteur : le courant y dissipe la puissance $P = RI^2$ (effet Joule), qui le chauffe, et sa résistance monte avec la température selon $R = R_0\,[1 + \alpha\,(T - T_0)]$. Le thermique dépend de l'électrique, l'électrique dépend du thermique : le couplage va dans les deux sens.
Définition : Deux domaines sont couplés quand une grandeur de l'un apparaît dans les équations de l'autre, comme la température dans la résistance électrique.
Pour passer d'un domaine à l'autre, on range chaque grandeur en effort ou en flux : leur produit est la puissance échangée. C'est la base des bond graphs (graphes de liaison), un langage graphique qui rend visibles les échanges de puissance (Techniques de l'Ingénieur). Avec la force comme effort, la masse joue le rôle de l'inductance ($F = m\,\dfrac{dv}{dt}$ comme $u = L\,\dfrac{di}{dt}$) et le ressort de raideur $k$ celui d'un condensateur de capacité $1/k$, sa souplesse. Dans l'autre convention, où la force correspond au courant, la masse devient un condensateur : annonce toujours la tienne.
| Domaine | Effort | Flux |
|---|---|---|
| Électrique | tension $u$ (V) | courant $i$ (A) |
| Translation | force $F$ (N) | vitesse $v$ (m/s) |
| Rotation | couple $C$ (N·m) | vitesse angulaire $\Omega$ (rad/s) |
| Hydraulique | pression $p$ (Pa) | débit volumique $Q_v$ ($\mathrm{m^3/s}$) |
| Thermique (analogie usuelle) | température $T$ (K) | flux thermique $\Phi$ (W) |
Le thermique est à part. Une paroi a une résistance thermique $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda S}$, en K/W, avec $\Delta T = R_{th}\,\Phi$ comme $u = R\,i$ ; un corps a une capacité thermique $C_{th} = mc$, en J/K. En thermique classique, il n'existe pas d'inductance : un modèle fait seulement de $R_{th}$ et de $C_{th}$ ne peut pas osciller. Et $T\,\Phi$ s'exprime en K·W : ce n'est pas une puissance, d'où le nom de pseudo-bond graph.
Entre deux domaines, l'énergie passe par un convertisseur. Dans un moteur à courant continu, la force électromotrice vaut $e = K\,\Omega$ et le couple $C = K\,i$, avec la même constante $K$ en unités SI : la puissance $e\,i$ quitte l'électrique et devient $C\,\Omega$ côté mécanique. Pour résoudre, soit on traite toutes les équations dans un seul système (approche monolithique), soit chaque domaine à son tour, en se passant les résultats à chaque pas (approche partitionnée, ou séquentielle). Méfie-toi de « couplage fort » et « couplage faible » : selon les auteurs, ces mots disent l'intensité de l'interaction ou la méthode de résolution. La co-simulation pousse le découpage au bout : dans la norme FMI, chaque sous-modèle est résolu par ses propres moyens, et les données s'échangent à des instants de communication discrets.
À retenir : effort fois flux donne une puissance, sauf dans l'analogie thermique usuelle, qui n'a pas non plus d'inductance.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Dans la convention effort et flux, quelle est la variable de flux d'un système mécanique en translation ?
Réponse : B. La puissance mécanique vaut $P = F\,v$ : la force est l'effort, la vitesse est le flux, comme le courant en électricité. Le piège est la force, qui joue en fait le rôle de la tension.
Question 2 : Dans l'analogie entre thermique et électricité, quelle grandeur joue le rôle du courant électrique ?
Réponse : D. La relation $\Delta T = R_{th}\,\Phi$ a la forme de $u = R\,i$ : le flux thermique traverse la paroi comme le courant traverse un résistor. L'écart de température est tentant, mais c'est lui qui pousse la chaleur : il joue le rôle de la tension.
Question 3 : Quel phénomène fait passer de l'énergie du domaine électrique au domaine thermique en la dissipant ?
Réponse : A. L'effet Joule transforme la puissance $RI^2$ en chaleur, sans retour possible. L'effet Seebeck relie lui aussi thermique et électrique, mais dans l'autre sens : un écart de température crée une tension, c'est le principe du thermocouple.
Question 4 : Une paroi d'épaisseur $e = 0{,}10$ m, de surface $S = 2{,}0\ \mathrm{m^2}$ et de conductivité thermique $\lambda = 0{,}50\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ sépare un local à 20 °C de l'extérieur à 0 °C. Quel flux thermique la traverse en régime permanent (températures stables) ?
Réponse : C. $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{0{,}10}{0{,}50 \times 2{,}0} = 0{,}10$ K/W, donc $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}} = \dfrac{20}{0{,}10} = 200$ W. Le piège à 100 W vient de l'oubli de la surface $S$ dans $R_{th}$.
Question 5 : Avec la convention où la force est l'effort, à quel composant électrique correspond une masse $m$ ?
Réponse : A. $F = m\,\dfrac{dv}{dt}$ a la forme de $u = L\,\dfrac{di}{dt}$, et la masse stocke $\tfrac12 mv^2$ comme la bobine stocke $\tfrac12 Li^2$. Le condensateur est la bonne réponse dans l'autre convention, où la force correspond au courant : d'où l'intérêt d'annoncer la sienne.
Question 6 : Toujours avec la force comme effort, quelle grandeur d'un ressort de raideur $k$ joue le rôle de la capacité d'un condensateur ?
Réponse : D. $F = kx = \dfrac{x}{1/k}$ a la forme de $u = \dfrac{q}{C}$ : l'allongement joue le rôle de la charge, et $1/k$ celui de la capacité. Le piège est $k$ : plus un ressort est raide, moins il s'allonge, il se comporte donc comme un petit condensateur.
Question 7 : Un moteur à courant continu a une constante $K = 0{,}050$ V·s/rad. Il tourne à $\Omega = 200$ rad/s et absorbe $i = 3{,}0$ A. Quelle puissance passe du domaine électrique au domaine mécanique ?
Réponse : B. La force électromotrice vaut $e = K\,\Omega = 10$ V, d'où $e\,i = 30$ W ; côté mécanique, $C\,\Omega = (K\,i)\,\Omega = 0{,}15 \times 200 = 30$ W, la même puissance. Le piège à 10 W confond la force électromotrice, en volts, avec une puissance.
Question 8 : On résout l'électrique sur un pas de temps, on passe la puissance Joule au thermique, qui renvoie la température pour le pas suivant. Quelle approche de résolution est-ce ?
Réponse : C. Chaque domaine est résolu à son tour et passe ses résultats à l'autre : c'est une approche partitionnée, ou séquentielle. Le piège A oublie le retour : la température revient vers l'électrique, donc l'interaction va dans les deux sens, seule la résolution est découpée.
Question 9 : Dans une co-simulation au sens de la norme FMI, comment les sous-modèles échangent-ils leurs données ?
Réponse : D. C'est la règle de base de la norme FMI : les données passent à des instants de communication discrets, et entre deux, chaque sous-modèle est résolu de son côté, par ses propres moyens. Le piège A décrit un échange à chaque pas interne : la version 3 permet bien des échanges intermédiaires, mais seulement en option, si le sous-modèle déclare cette possibilité.
Question 10 : Un bobinage a une résistance $R_0 = 2{,}0\ \Omega$ à $T_0 = 20$ °C, avec $\alpha = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$. Parcouru par un courant constant de 5,0 A, il monte à 70 °C. Quelle puissance Joule dissipe-t-il à cette température ?
Réponse : C. À 70 °C, $R = 2{,}0 \times [1 + 4{,}0 \times 10^{-3} \times (70 - 20)] = 2{,}4\ \Omega$, donc $P = RI^2 = 2{,}4 \times 5{,}0^2 = 60$ W. Le piège à 50 W garde la résistance à froid : c'est l'erreur d'un modèle sans couplage. Celui à 64 W prend 70 au lieu de l'écart $T - T_0 = 50$ K.
Question 11 : Un composant est modélisé par des résistances et des capacités thermiques seulement. Après un échelon de puissance, sa température peut-elle osciller ?
Réponse : A. Pour osciller, il faut deux réserves d'énergie de natures différentes qui se la renvoient, comme bobine et condensateur. En thermique, il n'y a que des capacités : la température monte sans dépasser sa valeur finale. Le piège D oublie que ce second ordre a deux pôles réels : sa réponse reste apériodique, sans oscillation.
Question 12 : Dans l'analogie thermique usuelle, la température $T$ est l'effort et le flux thermique $\Phi$, en watts, est le flux. Que représente le produit $T\,\Phi$ ?
Réponse : B. $\Phi$ est déjà une puissance : la multiplier par une température donne des K·W, d'où le nom de pseudo-bond graph. Le piège A applique « effort fois flux » hors de son cadre : il faudrait prendre comme flux le débit d'entropie $\dot S$, car $T\,\dot S$ est bien en watts.
Sources
Modelica Association, Functional Mock-up Interface Specification, version 3.0.2 (27 novembre 2024), partie 4 sur la co-simulation.
B. Ould Bouamama et G. Dauphin-Tanguy, « Modélisation par bond graph : éléments de base pour l'énergétique », Techniques de l'Ingénieur, BE8280 (relu et validé le 7 octobre 2019).