Salut, futur ingénieur en électrotechnique ! Dans cette série d'exercices, nous allons consolider tes connaissances sur les circuits et les machines électriques, deux piliers de ton programme de BTS Électrotechnique. Nous explorerons les régimes sinusoïdaux, les puissances, les transformateurs, et les moteurs à courant continu et asynchrones. Prépare-toi à mettre en pratique tes formules et à affûter ta logique pour maîtriser ces concepts essentiels !
Compétences travaillées :
- Analyser des circuits RLC en régime sinusoïdal (impédance, courant, tension).
- Calculer les différentes puissances (active, réactive, apparente) et le facteur de puissance.
- Étudier le fonctionnement des transformateurs (idéaux et réels).
- Analyser le comportement des moteurs à courant continu et des moteurs asynchrones.
- Comprendre le principe et le fonctionnement des redresseurs.
Attention aux erreurs fréquentes !
- Confondre les valeurs efficaces et maximales des grandeurs sinusoïdales.
- Oublier les unités ou les conversions (Hz, rad/s, V, A, W, Var, VA).
- Ne pas utiliser les bonnes impédances pour les bobines et condensateurs en régime sinusoïdal.
- Erreurs de signes dans les conventions générateur/récepteur.
- Négliger les pertes dans les machines réelles (fer, cuivre, mécaniques).
Série d'Exercices : Circuits et Machines Électriques
Exercice 1 : Circuit RLC série en régime sinusoïdal
Un circuit série est constitué d'une résistance $R = 50\, \Omega$, d'une bobine d'inductance $L = 100\, \text{mH}$ et d'un condensateur de capacité $C = 10\, \mu\text{F}$. L'ensemble est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace $U = 230\, \text{V}$ et de fréquence $f = 50\, \text{Hz}$.
a) Calcule les réactances inductive ($X_L$) et capacitive ($X_C$).
b) Détermine l'impédance totale ($Z$) du circuit.
c) Calcule l'intensité efficace ($I$) du courant qui traverse le circuit.
Barème indicatif : 2 points
Correction :
a) Calcul des réactances :
La pulsation $\omega$ est nécessaire pour le calcul des réactances :
$$ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \approx 314,16\, \text{rad/s} $$
- Réactance inductive ($X_L$) : $$ X_L = L\omega = 100 \times 10^{-3} \times 314,16 \approx 31,42\, \Omega $$
- Réactance capacitive ($X_C$) : $$ X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{10 \times 10^{-6} \times 314,16} \approx 318,31\, \Omega $$
Résultat a) : $X_L \approx 31,42\, \Omega$ et $X_C \approx 318,31\, \Omega$.
b) Détermination de l'impédance totale ($Z$) :
L'impédance totale d'un circuit RLC série est donnée par :
$$ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} $$
$$ Z = \sqrt{50^2 + (31,42 - 318,31)^2} $$
$$ Z = \sqrt{2500 + (-286,89)^2} $$
$$ Z = \sqrt{2500 + 82305,6} $$
$$ Z = \sqrt{84805,6} \approx 291,21\, \Omega $$
Résultat b) : L'impédance totale du circuit est $Z \approx 291,21\, \Omega$.
c) Calcul de l'intensité efficace ($I$) :
L'intensité efficace est donnée par la loi d'Ohm généralisée :
$$ I = \frac{U}{Z} = \frac{230}{291,21} \approx 0,79\, \text{A} $$
Résultat c) : L'intensité efficace du courant est $I \approx 0,79\, \text{A}$.
Point Méthode : N'oublie pas que l'impédance est une grandeur complexe, mais ici on te demande le module. La différence $(X_L - X_C)$ détermine le caractère du circuit (inductif si positif, capacitif si négatif).
Exercice 2 : Puissances en régime sinusoïdal
Une charge monophasée est alimentée par une tension efficace $U = 230\, \text{V}$ et est traversée par un courant efficace $I = 10\, \text{A}$. Le facteur de puissance de la charge est $\cos \varphi = 0,8$ (inductif).
a) Calcule la puissance apparente ($S$).
b) Calcule la puissance active ($P$).
c) Calcule la puissance réactive ($Q$).
Barème indicatif : 2 points
Correction :
a) Calcul de la puissance apparente ($S$) :
La puissance apparente est le produit de la tension efficace par l'intensité efficace :
$$ S = U \times I = 230 \times 10 = 2300\, \text{VA} $$
Résultat a) : La puissance apparente est $S = 2300\, \text{VA}$.
b) Calcul de la puissance active ($P$) :
La puissance active est la puissance réellement consommée par la charge et se calcule à partir de la puissance apparente et du facteur de puissance :
$$ P = S \times \cos \varphi = 2300 \times 0,8 = 1840\, \text{W} $$
Résultat b) : La puissance active est $P = 1840\, \text{W}$.
c) Calcul de la puissance réactive ($Q$) :
La puissance réactive est échangée entre la source et la charge et peut être calculée à partir de la puissance apparente et du facteur de puissance (via $\sin \varphi$) ou par la relation de Pythagore des puissances.
On calcule d'abord $\sin \varphi$ :
$$ \sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 $$
Puis :
$$ Q = S \times \sin \varphi = 2300 \times 0,6 = 1380\, \text{Var} $$
On aurait pu aussi utiliser $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{2300^2 - 1840^2} = \sqrt{5\,290\,000 - 3\,385\,600} = \sqrt{1\,904\,400} = 1380\, \text{Var}$.
Résultat c) : La puissance réactive est $Q = 1380\, \text{Var}$.
Point Méthode : N'oublie pas le triangle des puissances ($S^2 = P^2 + Q^2$). Le facteur de puissance $\cos \varphi$ est crucial pour l'optimisation des installations électriques.
Exercice 3 : Transformateur monophasé idéal
Un transformateur monophasé idéal a un rapport de transformation $m = 0,5$. Son primaire est alimenté par une tension $U_1 = 400\, \text{V}$ et est traversé par un courant $I_1 = 5\, \text{A}$.
a) Calcule la tension $U_2$ au secondaire.
b) Calcule le courant $I_2$ au secondaire.
c) Quelle est la puissance apparente $S$ transférée par le transformateur ?
Barème indicatif : 2 points
Correction :
Pour un transformateur idéal, le rapport de transformation relie les tensions et les courants (attention au sens) et la puissance est conservée.
Le rapport de transformation $m = \frac{N_2}{N_1} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2}$.
a) Calcul de la tension $U_2$ :
$$ U_2 = m \times U_1 = 0,5 \times 400 = 200\, \text{V} $$
Résultat a) : La tension au secondaire est $U_2 = 200\, \text{V}$.
b) Calcul du courant $I_2$ :
$$ I_2 = \frac{I_1}{m} = \frac{5}{0,5} = 10\, \text{A} $$
Résultat b) : Le courant au secondaire est $I_2 = 10\, \text{A}$.
c) Puissance apparente $S$ :
Dans un transformateur idéal, la puissance apparente au primaire est égale à celle au secondaire (conservation de la puissance).
$$ S = U_1 \times I_1 = 400 \times 5 = 2000\, \text{VA} $$
Vérification au secondaire : $S = U_2 \times I_2 = 200 \times 10 = 2000\, \text{VA}$.
Résultat c) : La puissance apparente transférée est $S = 2000\, \text{VA}$.
Point Méthode : Le transformateur idéal est une simplification. Dans la réalité, il y a des pertes qui réduisent le rendement. Retiens bien la relation inverse entre tensions et courants.
Exercice 4 : Moteur à courant continu
Un moteur à courant continu à excitation séparée, dont l'inducteur est alimenté par une source indépendante, a les caractéristiques suivantes :
- Résistance de l'induit $R_A = 0,5\, \Omega$
- Tension d'alimentation de l'induit $U = 220\, \text{V}$
- Courant absorbé par l'induit $I_A = 10\, \text{A}$
- Vitesse de rotation $N = 1500\, \text{tr/min}$
a) Calcule la force contre-électromotrice (fcem) $E$ du moteur.
b) Calcule la puissance électromagnétique ($P_{em}$) développée par le moteur.
Barème indicatif : 3 points
Correction :
a) Calcul de la fcem ($E$) :
La loi des mailles appliquée à l'induit d'un moteur à courant continu est : $U = E + R_A \times I_A$.
On en déduit $E$ :
$$ E = U - R_A \times I_A = 220 - (0,5 \times 10) = 220 - 5 = 215\, \text{V} $$
Résultat a) : La force contre-électromotrice (fcem) du moteur est $E = 215\, \text{V}$.
b) Calcul de la puissance électromagnétique ($P_{em}$) :
La puissance électromagnétique est la puissance convertie par le moteur et se calcule par :
$$ P_{em} = E \times I_A = 215 \times 10 = 2150\, \text{W} $$
Résultat b) : La puissance électromagnétique développée par le moteur est $P_{em} = 2150\, \text{W}$.
Point Méthode : La fcem est proportionnelle à la vitesse de rotation et au flux magnétique. C'est elle qui caractérise l'effet moteur. La puissance électromagnétique est la puissance brute avant les pertes mécaniques.
Exercice 5 : Transformateur réel
Un transformateur monophasé a les caractéristiques nominales suivantes : $S_N = 10\, \text{kVA}$, $U_1 = 2000\, \text{V}$, $U_2 = 200\, \text{V}$.
Les essais ont donné :
- Essai à vide : $P_{10} = 100\, \text{W}$
- Essai en court-circuit (ramené au primaire) : $R_s = 2\, \Omega$, $X_s = 3\, \Omega$
a) Calcule le rapport de transformation nominal $m$.
b) Calcule les pertes Joules nominales ($P_{J,N}$) du transformateur.
c) Calcule le rendement ($\eta$) du transformateur pour un fonctionnement nominal avec un facteur de puissance $\cos \varphi_2 = 0,8$ à la charge.
Barème indicatif : 4 points
Correction :
a) Rapport de transformation nominal ($m$) :
$$ m = \frac{U_2}{U_1} = \frac{200}{2000} = 0,1 $$
Résultat a) : Le rapport de transformation nominal est $m = 0,1$.
b) Pertes Joules nominales ($P_{J,N}$) :
Les pertes Joules (ou pertes cuivre) sont liées aux résistances des enroulements. L'essai en court-circuit permet de les déterminer. $R_s$ est la résistance ramenée au primaire. On doit calculer le courant nominal au primaire $I_{1N}$.
$$ I_{1N} = \frac{S_N}{U_1} = \frac{10\,000}{2000} = 5\, \text{A} $$
Les pertes Joules nominales sont :
$$ P_{J,N} = R_s \times I_{1N}^2 = 2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50\, \text{W} $$
Résultat b) : Les pertes Joules nominales sont $P_{J,N} = 50\, \text{W}$.
c) Rendement ($\eta$) du transformateur :
Le rendement est le rapport de la puissance utile ($P_2$) sur la puissance absorbée ($P_1$).
$$ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + \text{Pertes totales}} $$
Les pertes totales sont les pertes fer ($P_{fer} = P_{10}$) et les pertes Joules ($P_J$).
$$ \text{Pertes totales} = P_{10} + P_{J,N} = 100 + 50 = 150\, \text{W} $$
La puissance utile au secondaire $P_2$ est :
$$ P_2 = S_N \times \cos \varphi_2 = 10\,000 \times 0,8 = 8000\, \text{W} $$
Donc :
$$ \eta = \frac{8000}{8000 + 150} = \frac{8000}{8150} \approx 0,9816 \text{ ou } 98,16\% $$
Résultat c) : Le rendement du transformateur est $\eta \approx 98,16\%$.
Point Méthode : Les essais à vide et en court-circuit sont essentiels pour caractériser un transformateur réel. L'essai à vide donne les pertes fer, l'essai en court-circuit les pertes cuivre.
Exercice 6 : Correction du facteur de puissance (triphasé)
Une installation industrielle triphasée est alimentée par une tension $U = 400\, \text{V}$ entre phases. Elle consomme une puissance active $P = 50\, \text{kW}$ avec un facteur de puissance initial $\cos \varphi_1 = 0,7$ (inductif).
On souhaite relever le facteur de puissance à $\cos \varphi_2 = 0,95$ en installant une batterie de condensateurs.
a) Calcule la puissance réactive initiale $Q_1$ de l'installation.
b) Calcule la puissance réactive cible $Q_2$ après correction.
c) Détermine la puissance réactive $Q_C$ que doit fournir la batterie de condensateurs.
d) Calcule la capacité $C$ d'un condensateur si le couplage est en triangle.
Barème indicatif : 4 points
Correction :
La correction du facteur de puissance vise à réduire la puissance réactive consommée par l'installation.
On calcule d'abord les angles de déphasage ou leurs sinus associés :
- Pour $\cos \varphi_1 = 0,7 \implies \sin \varphi_1 = \sqrt{1 - 0,7^2} = \sqrt{1 - 0,49} = \sqrt{0,51} \approx 0,714$
- Pour $\cos \varphi_2 = 0,95 \implies \sin \varphi_2 = \sqrt{1 - 0,95^2} = \sqrt{1 - 0,9025} = \sqrt{0,0975} \approx 0,312$
a) Calcul de la puissance réactive initiale $Q_1$ :
$$ Q_1 = P \times \tan \varphi_1 = P \times \frac{\sin \varphi_1}{\cos \varphi_1} = 50 \times 10^3 \times \frac{0,714}{0,7} \approx 51\,000\, \text{Var} $$
Résultat a) : La puissance réactive initiale est $Q_1 \approx 51\,000\, \text{Var}$.
b) Calcul de la puissance réactive cible $Q_2$ :
$$ Q_2 = P \times \tan \varphi_2 = P \times \frac{\sin \varphi_2}{\cos \varphi_2} = 50 \times 10^3 \times \frac{0,312}{0,95} \approx 16\,421\, \text{Var} $$
Résultat b) : La puissance réactive cible est $Q_2 \approx 16\,421\, \text{Var}$.
c) Détermination de la puissance réactive $Q_C$ de la batterie de condensateurs :
La puissance réactive à compenser est la différence entre $Q_1$ et $Q_2$.
$$ Q_C = Q_1 - Q_2 = 51\,000 - 16\,421 = 34\,579\, \text{Var} $$
Résultat c) : La batterie de condensateurs doit fournir $Q_C \approx 34\,579\, \text{Var}$.
d) Calcul de la capacité $C$ d'un condensateur (couplage en triangle) :
La puissance réactive totale d'une batterie triphasée est $Q_C = 3 \times \frac{U_{cond}^2}{X_C}$ où $U_{cond}$ est la tension aux bornes d'un condensateur. En couplage triangle, $U_{cond} = U = 400\, \text{V}$.
Et $X_C = \frac{1}{C\omega}$. On a $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \approx 314,16\, \text{rad/s}$.
$$ Q_C = 3 \times C\omega U^2 $$
$$ C = \frac{Q_C}{3\omega U^2} = \frac{34\,579}{3 \times 314,16 \times 400^2} $$
$$ C = \frac{34\,579}{3 \times 314,16 \times 160\,000} = \frac{34\,579}{150\,796\,800} \approx 2,29 \times 10^{-4}\, \text{F} \text{ ou } 229\, \mu\text{F} $$
Résultat d) : La capacité d'un condensateur est $C \approx 229\, \mu\text{F}$.
Point Méthode : La correction du facteur de puissance est cruciale pour réduire les pertes en ligne et optimiser la taille des installations. Attention au couplage (étoile ou triangle) qui impacte la tension aux bornes des condensateurs.
Exercice 7 : Moteur asynchrone triphasé
Un moteur asynchrone triphasé est alimenté par un réseau 400 V / 50 Hz. Il possède 2 paires de pôles ($p=2$).
Lors d'un essai en charge, sa vitesse de rotation est de $N = 1440\, \text{tr/min}$.
a) Calcule la vitesse de synchronisme ($N_S$) du moteur en tr/min.
b) Détermine le glissement ($g$) du moteur.
c) Si le couple utile nominal est $C_u = 20\, \text{Nm}$, calcule la puissance utile ($P_u$) du moteur à cette vitesse.
Barème indicatif : 3 points
Correction :
a) Calcul de la vitesse de synchronisme ($N_S$) :
La vitesse de synchronisme est la vitesse du champ tournant et est donnée par :
$$ N_S = \frac{f}{p} $$
Où $f$ est la fréquence en Hz et $p$ le nombre de paires de pôles. Le résultat est en tours par seconde (tr/s). Pour l'avoir en tr/min, on multiplie par 60.
$$ N_S = \frac{50}{2} = 25\, \text{tr/s} $$
$$ N_S = 25 \times 60 = 1500\, \text{tr/min} $$
Résultat a) : La vitesse de synchronisme est $N_S = 1500\, \text{tr/min}$.
b) Détermination du glissement ($g$) :
Le glissement est la différence relative entre la vitesse de synchronisme et la vitesse de rotation du rotor.
$$ g = \frac{N_S - N}{N_S} = \frac{1500 - 1440}{1500} = \frac{60}{1500} = 0,04 \text{ ou } 4\% $$
Résultat b) : Le glissement du moteur est $g = 0,04$ ou 4%.
c) Calcul de la puissance utile ($P_u$) :
La puissance utile est liée au couple utile et à la vitesse de rotation du rotor (en rad/s).
Convertir la vitesse de rotation en rad/s :
$$ \Omega = N \times \frac{2\pi}{60} = 1440 \times \frac{2\pi}{60} = 48\pi \approx 150,8\, \text{rad/s} $$
$$ P_u = C_u \times \Omega = 20 \times 150,8 = 3016\, \text{W} $$
Résultat c) : La puissance utile du moteur est $P_u \approx 3016\, \text{W}$.
Point Méthode : La vitesse de synchronisme est théorique. Le glissement est nécessaire pour que le moteur asynchrone développe un couple. N'oublie pas de convertir les tr/min en rad/s pour les calculs de puissance avec le couple.
Exercice 8 : Redresseur monophasé non commandé (pont de Graetz)
Un pont de Graetz (redresseur à diodes) est alimenté par une source monophasée de tension $U_{eff} = 230\, \text{V}$, $f = 50\, \text{Hz}$. Il alimente une charge purement résistive $R_C = 100\, \Omega$.
a) Calcule la valeur moyenne de la tension de sortie ($U_{moy}$) aux bornes de la charge.
b) Calcule l'intensité moyenne du courant ($I_{moy}$) dans la charge.
c) Calcule la valeur efficace du courant ($I_{eff}$) dans la charge.
Barème indicatif : 4 points
Correction :
a) Valeur moyenne de la tension de sortie ($U_{moy}$) :
Pour un pont de Graetz avec une charge résistive, la tension de sortie moyenne est donnée par :
$$ U_{moy} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} U_{eff} $$
$$ U_{moy} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \times 230 \approx \frac{2,828}{3,1416} \times 230 \approx 0,9 \times 230 = 207\, \text{V} $$
Résultat a) : La valeur moyenne de la tension de sortie est $U_{moy} \approx 207\, \text{V}$.
b) Intensité moyenne du courant ($I_{moy}$) dans la charge :
Par la loi d'Ohm :
$$ I_{moy} = \frac{U_{moy}}{R_C} = \frac{207}{100} = 2,07\, \text{A} $$
Résultat b) : L'intensité moyenne du courant est $I_{moy} = 2,07\, \text{A}$.
c) Valeur efficace du courant ($I_{eff}$) dans la charge :
Pour un pont de Graetz alimentant une charge résistive, la tension efficace en sortie est égale à la tension efficace d'entrée ($U_{eff}$).
$$ I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R_C} = \frac{230}{100} = 2,30\, \text{A} $$
Résultat c) : La valeur efficace du courant dans la charge est $I_{eff} = 2,30\, \text{A}$.
Point Méthode : Les redresseurs sont des éléments clés de l'électronique de puissance. Retiens bien les formules des valeurs moyennes et efficaces pour les configurations classiques (simple alternance, double alternance).
Exercice 9 : Moteur synchrone et diagramme de Kapp
Un alternateur triphasé (fonctionnant en moteur synchrone) a les caractéristiques suivantes :
- Tension entre phases nominale $U_N = 400\, \text{V}$
- Courant nominal par phase $I_N = 50\, \text{A}$
- Réactance synchrone par phase $X_S = 0,8\, \Omega$
- Résistance statorique négligeable.
Le moteur est alimenté par un réseau 400 V, 50 Hz. Il absorbe un courant de $I = 40\, \text{A}$ avec un facteur de puissance $\cos \varphi = 0,9$ (moteur en mode sous-excité, c'est-à-dire qu'il consomme de la puissance réactive).
a) Dessine le diagramme de Kapp (phasoriel) correspondant à cette situation.
b) Détermine graphiquement ou par calcul la force électromotrice interne ($E$) du moteur.
Barème indicatif : 5 points
Correction :
a) Diagramme de Kapp :
Pour un moteur synchrone dont la résistance statorique est négligeable, la loi des mailles par phase est $\vec{U} = \vec{E} + jX_S\vec{I}$. En mode moteur, le courant $\vec{I}$ et la tension $\vec{U}$ sont représentés avec un déphasage $\varphi$. Le moteur est sous-excité, donc il consomme de la puissance réactive, ce qui signifie que le courant est en retard sur la tension ($\varphi > 0$).
Le diagramme de Kapp sera construit comme suit :
- Prendre la tension simple $\vec{V}$ comme référence sur l'axe horizontal. $V = U/\sqrt{3} = 400/\sqrt{3} \approx 230,9\, \text{V}$.
- Tracer le courant $\vec{I}$ en retard de $\varphi$ sur $\vec{V}$. $\varphi = \operatorname{arccos}(0,9) \approx 25,84^\circ$.
- Tracer le vecteur $jX_S\vec{I}$. Ce vecteur est perpendiculaire à $\vec{I}$ et en avance de $90^\circ$ sur $\vec{I}$. Son module est $X_S I = 0,8 \times 40 = 32\, \text{V}$.
- La f.e.m. interne $\vec{E}$ est alors la résultante de $\vec{V} - jX_S\vec{I}$.
Le diagramme est le suivant (description textuelle) :
- Un vecteur horizontal représentant la tension simple $\vec{V}$.
- Un vecteur $\vec{I}$ partant de l'origine, situé en dessous de $\vec{V}$ avec un angle de $25,84^\circ$.
- Un vecteur $jX_S\vec{I}$ partant de l'origine (ou de la fin de $\vec{I}$ pour la construction) perpendiculaire à $\vec{I}$ et pointant vers le haut (car $j$ signifie rotation de $90^\circ$ dans le sens trigonométrique).
- Le vecteur $\vec{E}$ est le vecteur reliant l'origine à la fin du vecteur $-jX_S\vec{I}$ (car $E = V - jX_S I$). Donc, le vecteur $jX_S\vec{I}$ sera soustrait de $\vec{V}$. Cela signifie qu'on part de $\vec{V}$ et on soustrait le $jX_S\vec{I}$ (on ajoute $-jX_S\vec{I}$, qui est perpendiculaire à $\vec{I}$ et pointant vers le bas).
Description Diagramme de Kapp : Imagine l'axe des réels (horizontal).
1. Trace le vecteur $\vec{V}$ (tension simple par phase) sur l'axe horizontal.
2. Trace le vecteur courant $\vec{I}$ partant de l'origine, faisant un angle $-\varphi$ avec $\vec{V}$ (car $\cos \varphi = 0,9$ est inductif, donc $\varphi$ est positif, courant en retard).
3. Le terme $jX_S\vec{I}$ est un vecteur perpendiculaire à $\vec{I}$ et en avance de 90° sur $\vec{I}$.
4. La relation vectorielle est $\vec{E} = \vec{V} - jX_S\vec{I}$. Donc, depuis la pointe de $\vec{V}$, on trace le vecteur $-jX_S\vec{I}$. Ce dernier est perpendiculaire à $\vec{I}$ et en retard de 90° sur $\vec{I}$. Le vecteur $\vec{E}$ est le vecteur de l'origine à la pointe de $-jX_S\vec{I}$.
b) Détermination de la f.e.m. interne ($E$) par calcul :
On utilise la relation vectorielle $\vec{V} = \vec{E} + jX_S\vec{I}$. Pour un moteur, on considère que la tension $\vec{V}$ est la référence. $V$ est la tension simple, $V = U/\sqrt{3} = 400/\sqrt{3} \approx 230,9\, \text{V}$.
On peut utiliser la relation en modules :
$$ V^2 = E^2 + (X_S I)^2 - 2 E (X_S I) \cos(\pi - \alpha) $$
Où $\alpha$ est l'angle entre $E$ et $jX_S I$. Ou plus simplement, si on prend $\vec{V}$ comme référence :
$\vec{V} = V \angle 0^\circ$
$\vec{I} = I \angle -\varphi = 40 \angle -25,84^\circ$
$jX_S\vec{I} = X_S I \angle (-\varphi + 90^\circ) = 32 \angle (90 - 25,84)^\circ = 32 \angle 64,16^\circ$
$\vec{E} = \vec{V} - jX_S\vec{I}$
$\vec{E} = 230,9 \angle 0^\circ - 32 \angle 64,16^\circ$
Conversion en coordonnées cartésiennes :
- $V$: $230,9 + j0$
- $jX_S I$: $32 \cos(64,16^\circ) + j 32 \sin(64,16^\circ) \approx 32 \times 0,436 + j 32 \times 0,899 \approx 13,95 + j28,77$
$\vec{E} = (230,9 - 13,95) + j(0 - 28,77) = 216,95 - j28,77$
Module de $E$ :
$$ E = \sqrt{216,95^2 + (-28,77)^2} = \sqrt{47067 + 827,7} = \sqrt{47894,7} \approx 218,85\, \text{V} $$
Résultat b) : La force électromotrice interne ($E$) du moteur est $E \approx 218,85\, \text{V}$.
Astuce Méthode : Le diagramme de Kapp est un outil graphique puissant. Pour les calculs, l'utilisation des nombres complexes ou la relation d'Al-Kashi (loi des cosinus) est nécessaire. Le signe de l'angle $\varphi$ est crucial : positif si la charge est inductive, négatif si elle est capacitive.
Exercice 10 : Analyse d'un hacheur série (dévolteur)
Un hacheur série (dévolteur) est alimenté par une source de tension continue $E = 24\, \text{V}$. Il alimente une charge résistive $R = 12\, \Omega$. Le hacheur fonctionne avec une fréquence $f = 20\, \text{kHz}$ et un rapport cyclique $\alpha = 0,6$.
a) Calcule la tension moyenne aux bornes de la charge ($U_C_{moy}$).
b) Calcule l'intensité moyenne du courant dans la charge ($I_C_{moy}$).
c) Calcule la puissance dissipée par la charge ($P_C$).
d) Calcule la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge ($U_C_{eff}$).
Barème indicatif : 5 points
Correction :
a) Calcul de la tension moyenne aux bornes de la charge ($U_C_{moy}$) :
Pour un hacheur série idéal, la tension moyenne en sortie est donnée par :
$$ U_C_{moy} = \alpha \times E = 0,6 \times 24 = 14,4\, \text{V} $$
Résultat a) : La tension moyenne aux bornes de la charge est $U_C_{moy} = 14,4\, \text{V}$.
b) Calcul de l'intensité moyenne du courant dans la charge ($I_C_{moy}$) :
Par la loi d'Ohm, avec la tension moyenne :
$$ I_C_{moy} = \frac{U_C_{moy}}{R} = \frac{14,4}{12} = 1,2\, \text{A} $$
Résultat b) : L'intensité moyenne du courant dans la charge est $I_C_{moy} = 1,2\, \text{A}$.
c) Calcul de la puissance dissipée par la charge ($P_C$) :
La puissance dissipée par une charge résistive est $P_C = R \times I_C_{eff}^2$ ou $P_C = U_C_{eff}^2 / R$. Nous devons donc d'abord calculer la tension efficace.
d) Calcul de la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge ($U_C_{eff}$) :
Pour un hacheur série avec une charge résistive, la tension efficace en sortie est :
$$ U_C_{eff} = E \times \sqrt{\alpha} = 24 \times \sqrt{0,6} \approx 24 \times 0,7746 \approx 18,59\, \text{V} $$
Résultat d) : La valeur efficace de la tension aux bornes de la charge est $U_C_{eff} \approx 18,59\, \text{V}$.
Reprenons la question c) avec $U_C_{eff}$ :
$$ P_C = \frac{U_C_{eff}^2}{R} = \frac{18,59^2}{12} = \frac{345,59}{12} \approx 28,80\, \text{W} $$
Résultat c) : La puissance dissipée par la charge est $P_C \approx 28,80\, \text{W}$.
Point Méthode : Les hacheurs sont des convertisseurs continu-continu. Le rapport cyclique est le paramètre clé qui permet de faire varier la tension moyenne et efficace. Fais bien la distinction entre les valeurs moyennes et efficaces.
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