Distribution Électrique : Exercices BTS Électrotechnique

Correction :

Les Schémas de Liaison à la Terre (SLT) sont cruciaux pour assurer la sécurité des personnes et la protection des équipements dans les installations électriques.

1. Schéma TT :
   
   • Terre au Neutre du transformateur : Le neutre du transformateur de distribution est directement relié à la terre.
   • Terre à l'Installation : Toutes les masses des récepteurs de l'installation sont reliées individuellement à une prise de terre propre à l'installation.
   • Protection : La protection des personnes contre les contacts indirects est assurée par des dispositifs différentiels à courant résiduel (DDR) qui détectent les courants de défaut et coupent l'alimentation.
   • Usage : Très répandu dans les habitations et les petites installations tertiaires.

   Résultat : Neutre à la terre côté source, masses à la terre côté utilisateur, protection par DDR.

2. Schéma TN-C :
   
   • Terre au Neutre du transformateur : Le neutre du transformateur de distribution est directement relié à la terre.
   • Terre et Neutre communs : Le conducteur de protection (PE) et le conducteur de neutre (N) sont combinés en un seul conducteur appelé PEN sur toute la longueur de l'installation.
   • Protection : La protection des personnes est principalement assurée par des dispositifs de protection contre les surintensités (disjoncteurs, fusibles) qui déclenchent en cas de défaut d'isolement (court-circuit franc entre phase et masse/PEN). Les DDR peuvent être utilisés pour la protection complémentaire.
   • Usage : Principalement utilisé dans les installations industrielles anciennes, mais interdit pour les sections inférieures à $10 \text{ mm}^2$ Cu ou $16 \text{ mm}^2$ Al, et incompatible avec les DDR standards.

   Résultat : Neutre à la terre côté source, conducteur PEN, protection par disjoncteurs.

3. Schéma IT :
   
   • Neutre isolé ou impédant : Le neutre du transformateur de distribution est soit isolé de la terre, soit relié à la terre via une impédance élevée.
   • Terre à l'Installation : Toutes les masses des récepteurs sont reliées à une prise de terre commune.
   • Protection : En cas de premier défaut d'isolement (une phase vers la masse), le courant de défaut est très faible car le circuit n'est pas refermé par la terre. Cela permet le maintien de l'alimentation. Un Contrôleur Permanent d'Isolement (CPI) signale le premier défaut. Le deuxième défaut sur une autre phase entraîne un court-circuit et la coupure par des protections contre les surintensités.
   • Usage : Installations exigeant une continuité de service élevée (hôpitaux, industries critiques).

   Résultat : Neutre isolé ou impédant à la terre côté source, masses à la terre côté utilisateur, continuité de service au premier défaut.

   Astuce méthode : Les lettres des SLT ont une signification : 1ère lettre (source) : T = Terre, I = Isolé. 2ème lettre (masses) : T = Terre, N = Neutre. C/S (TN) : C = Confondus, S = Séparés.

Correction :

La protection des personnes en schéma TT repose sur la coordination entre le DDR et la résistance de terre pour limiter la tension de contact.

1. Calcul de la valeur maximale admissible pour $R_A$ :
   En schéma TT, la condition de sécurité est $R_A \times I_{\Delta n} \le U_L$. $$R_A \le \frac{U_L}{I_{\Delta n}}$$ $$R_A \le \frac{50 \text{ V}}{0,300 \text{ A}}$$ $$R_A \le 166,67 \text{ }\Omega$$

   Résultat : La résistance de terre $R_A$ doit être inférieure ou égale à $166,67 \text{ }\Omega$.

2. Si la prise de terre mesurée est de $R_A = 120 \text{ }\Omega$, le dispositif est-il conforme ?
   Puisque $120 \text{ }\Omega < 166,67 \text{ }\Omega$, la condition de sécurité est respectée.

   Résultat : Oui, le dispositif est conforme.

   Point méthode : Pour une protection par DDR de $30 \text{ mA}$ (prises de courant), la valeur de $R_A$ doit être inférieure à $50 \text{ V} / 0,03 \text{ A} \approx 1666 \text{ }\Omega$. Pour $500 \text{ mA}$, $R_A \le 100 \text{ }\Omega$.

Correction :

Le dimensionnement d'un câble commence toujours par le calcul du courant qu'il devra transporter et la consultation des tableaux normatifs.

1. Calcul du courant nominal $I_n$ :
   Pour une charge purement résistive (chauffage), $P = U \times I$. $$I_n = \frac{P}{U} = \frac{3500 \text{ W}}{230 \text{ V}} \approx 15,22 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant nominal est $I_n \approx 15,22 \text{ A}$.

2. Choix de la section minimale du câble :
   La section du câble doit être choisie de manière à ce que son courant admissible ($I_z$) soit supérieur ou égal au courant nominal de l'appareil ($I_n$). $$I_z \ge I_n$$ Nous avons $I_n \approx 15,22 \text{ A}$. En consultant le tableau :
   • Section $1,5 \text{ mm}^2$ : $I_z = 17,5 \text{ A}$. Cette section convient ($17,5 \text{ A} > 15,22 \text{ A}$).

   Résultat : La section minimale du câble est de $1,5 \text{ mm}^2$.

   Point méthode : Toujours choisir la section immédiatement supérieure si le courant nominal dépasse le courant admissible de la section inférieure. Attention aux facteurs de correction (température, groupement) qui peuvent réduire $I_z$ dans des cas réels.

Correction :

La chute de tension est un critère important pour le dimensionnement des câbles, car elle affecte le bon fonctionnement des récepteurs.

1. Calcul du courant absorbé par la charge :
   Pour une charge monophasée : $P = U \times I \times \cos(\phi)$. $$I = \frac{P}{U \times \cos(\phi)} = \frac{2000 \text{ W}}{230 \text{ V} \times 0,9} \approx 9,66 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant absorbé est $I \approx 9,66 \text{ A}$.

2. Détermination de la résistance $R$ du câble (aller et retour) :
   La résistance d'un conducteur est $R_{conducteur} = \rho \frac{l}{S}$. Pour l'aller et le retour, la longueur totale est $2l$. $$R = 2 \times \rho \frac{l}{S} = 2 \times 0,022 \text{ }\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m} \times \frac{30 \text{ m}}{2,5 \text{ mm}^2}$$ $$R = 0,044 \times 12 = 0,528 \text{ }\Omega$$

   Résultat : La résistance du câble est $R = 0,528 \text{ }\Omega$.

3. Calcul de la chute de tension $\Delta U$ :
   Pour un circuit monophasé avec une charge inductive, la formule simplifiée de la chute de tension est $\Delta U = 2 \times (R \cdot I \cdot \cos(\phi) + X \cdot I \cdot \sin(\phi))$. En considérant uniquement la résistance pour cette simplification (souvent le cas si $X \ll R$ ou non donné), ou la formule générale pour la chute de tension en monophasé: $$\Delta U = R \times I \times \cos(\phi) + X \times I \times \sin(\phi)$$ Si l'impédance inductive $X$ n'est pas donnée, on peut utiliser une formule simplifiée avec une résistivité équivalente $\rho'$ tenant compte de l'impédance: $$\Delta U = 2 \times \rho' \frac{L \times I}{S}$$ Ou plus simplement pour cet exercice, considérons seulement la partie résistive comme si $X$ était négligeable ou implicitement inclus dans $\rho'$ pour la simplicité. Sinon, la norme NFC 15-100 fournit des coefficients. Pour un calcul plus précis, il faudrait $X$. La formule simplifiée souvent utilisée pour une section et longueur données est : $$\Delta U = \frac{2 \rho L I \cos(\phi)}{S}$$ (Cette formule est une simplification qui intègre la résistance et la réactance dans $\rho$ pour une valeur $k$ ou utilise une approximation si on ne connait pas $X$). Mais la question demande la chute de tension dans le CABLE, donc due à R. $$ \Delta U = R \times I $$ pour une approche simple basée sur la résistance du câble. Cependant, la formule générale est : $$ \Delta U = 2 \times \frac{\rho \cdot L}{S} \cdot I \cdot \cos(\phi) + 2 \times \frac{\lambda \cdot L}{S} \cdot I \cdot \sin(\phi) $$ Avec $\lambda$ la réactance linéique. Sans $X$ ou $\lambda$, on utilise la formule simplifiée souvent vue pour le calcul direct de $U_{chute\_ligne}$: $$ \Delta U = 2 \times \frac{\rho \cdot L \cdot I}{S} \times \cos(\phi) $$ $$ \Delta U = R \times I \times \cos(\phi) \text{ (pour une seule phase, avec R = 2*rho*L/S)} $$ $$ \Delta U = 0,528 \text{ }\Omega \times 9,66 \text{ A} \times 0,9 \approx 4,58 \text{ V}$$

   Résultat : La chute de tension est $\Delta U \approx 4,58 \text{ V}$.

   Point méthode : La formule exacte de la chute de tension prend en compte la résistance et la réactance du câble, ainsi que le facteur de puissance de la charge. Si la réactance n'est pas donnée, tu peux utiliser des valeurs par défaut ou une formule simplifiée.

4. Expression de la chute de tension en pourcentage :
   $$\% \Delta U = \frac{\Delta U}{U} \times 100 = \frac{4,58 \text{ V}}{230 \text{ V}} \times 100 \approx 1,99\%$$

   Résultat : La chute de tension est d'environ $1,99\%$.

   Point méthode : La norme NFC 15-100 limite la chute de tension à 3% pour l'éclairage et 5% pour les autres usages dans les installations terminales. Une chute de tension de $1,99\%$ est donc acceptable.

Correction :

Le choix d'un disjoncteur est un compromis entre la protection contre les surcharges et les courts-circuits, et la nécessité de laisser passer le courant de démarrage des moteurs.

1. Calcul du courant nominal $I_n$ du moteur :
   Pour une charge triphasée : $P = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos(\phi)$. $$I_n = \frac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos(\phi)} = \frac{7500 \text{ W}}{\sqrt{3} \times 400 \text{ V} \times 0,8} \approx 13,53 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant nominal du moteur est $I_n \approx 13,53 \text{ A}$.

2. Détermination du calibre $I_N$ du disjoncteur :
   Le calibre du disjoncteur $I_N$ doit respecter deux conditions principales :
   • Protection du câble : $I_N \le I_z$ (courant admissible du câble)
   • Protection du récepteur (moteur) : $I_N \ge I_n$ (courant nominal du moteur)
   Nous avons $I_n \approx 13,53 \text{ A}$ et $I_z = 20 \text{ A}$. Il faut choisir un calibre standard $I_N$ tel que $13,53 \text{ A} \le I_N \le 20 \text{ A}$. Les calibres standard sont souvent $10 \text{ A}$, $16 \text{ A}$, $20 \text{ A}$, $25 \text{ A}$, etc. Le calibre $16 \text{ A}$ est un bon compromis : $13,53 \text{ A} \le 16 \text{ A} \le 20 \text{ A}$.

   Résultat : Le calibre du disjoncteur est $I_N = 16 \text{ A}$.

3. Justification du choix de la courbe de déclenchement :
   Le courant de démarrage du moteur est $I_{dem} = 6 \times I_n = 6 \times 13,53 \text{ A} \approx 81,18 \text{ A}$. Le disjoncteur doit laisser passer ce courant de démarrage sans déclencher.
   • Courbe B : Déclenchement magnétique entre $3 I_N$ et $5 I_N$. Pour $16 \text{ A}$, entre $48 \text{ A}$ et $80 \text{ A}$. Trop faible, risque de déclenchement au démarrage.
   • Courbe C : Déclenchement magnétique entre $5 I_N$ et $10 I_N$. Pour $16 \text{ A}$, entre $80 \text{ A}$ et $160 \text{ A}$. Peut convenir pour $I_{dem} \approx 81,18 \text{ A}$.
   • Courbe D : Déclenchement magnétique entre $10 I_N$ et $14 I_N$. Pour $16 \text{ A}$, entre $160 \text{ A}$ et $224 \text{ A}$. C'est le plus adapté pour des charges très inductives avec des courants de démarrage élevés.
   Pour un moteur asynchrone avec un courant de démarrage élevé, la courbe D est généralement la plus appropriée pour éviter un déclenchement intempestif au démarrage. La courbe C pourrait être juste limite.

   Résultat : La courbe de déclenchement D (ou C, avec plus de risque de déclenchement) est recommandée pour laisser passer le courant de démarrage du moteur.

   Point méthode : La courbe B est pour les circuits résistifs, C pour les circuits mixtes (prises de courant), et D pour les circuits très inductifs (moteurs, transformateurs).

Correction :

Le dimensionnement d'une ligne triphasée doit tenir compte de plusieurs critères, dont la chute de tension et le courant admissible.

1. Calcul du courant nominal $I_n$ :
   Pour une charge triphasée : $P = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos(\phi)$. $$I_n = \frac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos(\phi)} = \frac{30000 \text{ W}}{\sqrt{3} \times 400 \text{ V} \times 0,85} \approx 50,9 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant nominal est $I_n \approx 50,9 \text{ A}$.

2. Détermination de la chute de tension maximale admissible en volts :
   La chute de tension maximale admissible est de $3\%$ de la tension d'alimentation. $$\Delta U_{max} = 0,03 \times U = 0,03 \times 400 \text{ V} = 12 \text{ V}$$

   Résultat : La chute de tension maximale admissible est de $12 \text{ V}$.

3. Calcul de la section minimale du câble basée sur le critère de la chute de tension :
   La formule de la chute de tension pour une ligne triphasée est : $$\Delta U = \sqrt{3} \times I_n \times L \times \left(\frac{\rho \times \cos(\phi)}{S} + \frac{\lambda \times \sin(\phi)}{S} \right)$$ En réarrangeant pour trouver $S$ : $$S = \frac{\sqrt{3} \times I_n \times L}{\Delta U_{max}} \times (\rho \times \cos(\phi) + \lambda \times \sin(\phi))$$ Calculons $\sin(\phi)$ : $\sin(\phi) = \sqrt{1 - \cos^2(\phi)} = \sqrt{1 - 0,85^2} = \sqrt{1 - 0,7225} = \sqrt{0,2775} \approx 0,5268$. Attention aux unités : $\rho$ en $\text{ }\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$, $\lambda$ en $\text{ }\Omega/\text{km}$ (donc diviser par 1000 pour $\text{ }\Omega/\text{m}$). $$\rho = 0,022 \text{ }\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$$ $$\lambda = 0,08 \text{ }\Omega/\text{km} = 0,00008 \text{ }\Omega/\text{m}$$ $$S = \frac{\sqrt{3} \times 50,9 \text{ A} \times 50 \text{ m}}{12 \text{ V}} \times (0,022 \times 0,85 + 0,00008 \times 0,5268)$$ $$S \approx 7,34 \times (0,0187 + 0,000042)$$ $$S \approx 7,34 \times 0,018742 \approx 0,1375 \text{ mm}^2$$ Oh, there's a mistake in the formula or my calculation. The formula should use $L$ in meters and $\rho$ in $\Omega \cdot mm^2/m$. The standard formula for $S$ when $\Delta U$ is given is: $$ S = \frac{2 \cdot L \cdot I_L \cdot (\rho \cdot \cos\phi + \lambda \cdot \sin\phi)}{\Delta U} $$ for single phase, and for three phase: $$ S = \frac{\sqrt{3} \cdot L \cdot I_L \cdot (\rho \cdot \cos\phi + \lambda \cdot \sin\phi)}{\Delta U} $$ Let's re-evaluate: $$ \rho = 0,022 \text{ }\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m} $$ $$ \lambda = 0,08 \text{ }\Omega/\text{km} = 0,00008 \text{ }\Omega/\text{m} $$ The typical formula for $S$ is actually: $$ S = \frac{k \cdot L \cdot I_n}{\Delta U_{max}} \quad \text{where } k = \frac{2 \rho}{\cos\phi} \text{ for mono, } k = \frac{\sqrt{3} \rho}{\cos\phi} \text{ for tri} $$ This doesn't account for $\lambda$ directly. Let's use the exact formula for $S$: $$ S = \frac{L \cdot I_n}{\Delta U_{max}} \cdot (\sqrt{3} \cdot \rho \cdot \cos\phi + \sqrt{3} \cdot \lambda' \cdot \sin\phi) $$ This seems overly complex. A simpler way is to calculate the impedance $Z_{cable}$ per unit length. Let's use the formula: $$ \Delta U = \frac{\sqrt{3} \cdot I_n \cdot L}{S} \cdot (\rho \cdot \cos\phi + X'_L \cdot \sin\phi) $$ Where $X'_L$ is the reactance per unit length per $\text{mm}^2$. Instead, let's use the general form: $$ \Delta U = \sqrt{3} \cdot I_n \cdot L \cdot \left(\frac{\rho}{S} \cos\phi + \frac{\lambda_{lineique}}{S} \sin\phi \right) $$ No, this is wrong. $R = \rho L/S$ and $X = \lambda L$. So $\Delta U = \sqrt{3} I_n (R \cos\phi + X \sin\phi)$. $$ R = \rho \frac{L}{S} $$ $$ X = \lambda L $$ So, $\Delta U = \sqrt{3} I_n L \left(\frac{\rho}{S} \cos\phi + \lambda \sin\phi \right)$ Let's solve for $S$: $$ \Delta U_{max} = \sqrt{3} \times I_n \times L \times \left(\frac{\rho}{S} \cos(\phi) + \lambda \sin(\phi) \right) $$ $$ \frac{\Delta U_{max}}{\sqrt{3} \times I_n \times L} = \frac{\rho \cos(\phi)}{S} + \lambda \sin(\phi) $$ $$ \frac{\rho \cos(\phi)}{S} = \frac{\Delta U_{max}}{\sqrt{3} \times I_n \times L} - \lambda \sin(\phi) $$ $$ S = \frac{\rho \cos(\phi)}{\frac{\Delta U_{max}}{\sqrt{3} \times I_n \times L} - \lambda \sin(\phi)} $$ Let's calculate the values: $\rho = 0,022 \text{ }\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$ $\lambda = 0,08 \text{ }\Omega/\text{km} = 0,00008 \text{ }\Omega/\text{m}$ $\cos(\phi) = 0,85$, $\sin(\phi) = 0,5268$ $I_n = 50,9 \text{ A}$ $L = 50 \text{ m}$ $\Delta U_{max} = 12 \text{ V}$ Numérateur du $S$: $\rho \cos(\phi) = 0,022 \times 0,85 = 0,0187$ Dénominateur du $S$: $\frac{\Delta U_{max}}{\sqrt{3} \times I_n \times L} = \frac{12}{\sqrt{3} \times 50,9 \times 50} = \frac{12}{4408,5} \approx 0,00272$ $\lambda \sin(\phi) = 0,00008 \times 0,5268 \approx 0,000042$ $$ S = \frac{0,0187}{0,00272 - 0,000042} = \frac{0,0187}{0,002678} \approx 6,98 \text{ mm}^2 $$

   Résultat : La section minimale basée sur la chute de tension est $S \approx 6,98 \text{ mm}^2$.

4. Section minimale en prenant également en compte un courant admissible :
   Critère 1 : Chute de tension $\implies S \approx 6,98 \text{ mm}^2$. La section standard immédiatement supérieure est $10 \text{ mm}^2$. Critère 2 : Courant admissible. Le courant nominal est $I_n \approx 50,9 \text{ A}$. Nous avons besoin d'une section dont le courant admissible $I_z$ est supérieur ou égal à $I_n$. Pour une section de $16 \text{ mm}^2$, le courant admissible est d'environ $70 \text{ A}$. Pour une section de $10 \text{ mm}^2$, $I_z$ serait inférieur à $50,9 \text{ A}$ pour beaucoup de modes de pose. Par exemple, pour un mode B2 (vu ex3), $I_z$ pour $10 \text{ mm}^2$ est autour de $46 \text{ A}$, ce qui serait insuffisant. Donc, la section $10 \text{ mm}^2$ ne serait pas suffisante pour le courant admissible. Il faut passer à $16 \text{ mm}^2$. En comparant les deux critères, la plus grande section est retenue. Selon la chute de tension, $S_{min\_U} \approx 6,98 \text{ mm}^2 \implies$ on choisit $10 \text{ mm}^2$ (standard). Selon le courant admissible, $I_n \approx 50,9 \text{ A}$. Si $10 \text{ mm}^2$ n'est pas suffisant (par exemple $I_z = 46 \text{ A}$), on doit prendre $16 \text{ mm}^2$ (avec $I_z = 70 \text{ A}$). La section minimale à retenir est la plus grande des deux. Donc $16 \text{ mm}^2$.

   Résultat : En considérant un $I_z = 70 \text{ A}$ pour $16 \text{ mm}^2$ (et que $10 \text{ mm}^2$ n'est pas suffisant pour $I_n = 50,9 \text{ A}$), la section minimale à choisir est $16 \text{ mm}^2$.

   Point méthode : Le dimensionnement d'un câble doit toujours respecter plusieurs critères : courant admissible, chute de tension, et protection contre les courts-circuits. La section la plus grande parmi celles obtenues par chaque critère est celle à retenir.