Salut, futur opticien ! Les calculs de puissance et les formules de conjugaison sont le cœur de l'optique géométrique et un pilier de ton programme en BTS Opticien Lunetier. Cette série d'exercices progressifs est conçue pour t'aider à solidifier tes bases et à affronter les problèmes les plus complexes avec confiance. C'est en pratiquant que tu deviendras un expert !
Compétences travaillées :
- Appliquer les formules de conjugaison de Descartes et Newton.
- Calculer la vergence (puissance) d'une lentille ou d'un système optique.
- Déterminer les positions des foyers et des points conjugués.
- Maîtriser le calcul du grandissement transversal.
- Analyser et résoudre des problèmes optiques complexes.
Erreurs fréquentes à éviter :
- Oubli des conventions de signe : En optique, l'orientation des grandeurs (distances, vergences) est cruciale. Ne mélange jamais les signes ! Rappelle-toi : un objet réel est à gauche, une image réelle est à droite d'une lentille convergente (sauf cas particulier).
- Confusion entre distance focale image ($f'$) et objet ($f$): Pour une lentille mince dans l'air, $f' = -f$, mais ils ont des significations différentes dans les formules.
- Unités : Toujours utiliser le mètre (m) pour les distances et le dioptrie (D) pour les vergences. Une erreur d'unité peut fausser tout ton calcul !
- Calculs pour systèmes multiples : Ne pas traiter chaque lentille indépendamment si elles interagissent. L'image d'une lentille devient l'objet de la suivante.
Exercices de Pratique
Exercice 1 : Calcul de vergence simple (Facile)
Une lentille mince convergente possède une distance focale image de +20 cm.
- Calcule la vergence $V$ de cette lentille.
Barème indicatif : 2 points
Correction Exercice 1
Pour calculer la vergence d'une lentille, on utilise la formule $V = \frac{1}{f'}$, où $f'$ est la distance focale image exprimée en mètres.
1. La distance focale image est donnée en centimètres : $f' = +20 \text{ cm}$.
Convertis-la en mètres : $f' = +0,20 \text{ m}$.
Applique la formule : $V = \frac{1}{+0,20} = +5 \text{ D}$.
La vergence de cette lentille est de +5 dioptries.
Exercice 2 : Formule de conjugaison de Descartes (Facile)
Une lentille mince convergente de vergence $V = +4 \text{ D}$ est placée sur un banc d'optique. Un objet lumineux réel AB de 3 cm de hauteur est placé à 40 cm devant la lentille.
- Détermine la position de l'image A'B' par rapport à la lentille.
- Précise si l'image est réelle ou virtuelle.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 2
Pour la position de l'image, nous utilisons la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = V$.
1. Les données :
- Vergence $V = +4 \text{ D}$.
- L'objet réel est placé à 40 cm devant la lentille. Donc, $\overline{OA} = -40 \text{ cm} = -0,40 \text{ m}$ (convention de signe).
Applique la formule :
$$ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{-0,40} = +4 $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{0,40} = +4 $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} = +4 - 2,5 $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} = +1,5 $$ $$ \overline{OA'} = \frac{1}{1,5} \approx +0,6667 \text{ m} $$Soit $\overline{OA'} \approx +66,67 \text{ cm}$.
2. L'image est située à +66,67 cm de la lentille (à droite de la lentille). Comme $\overline{OA'}$ est positif, l'image A'B' est une image réelle.
Exercice 3 : Grandissement transversal (Facile)
En reprenant les données de l'Exercice 2 : Une lentille mince convergente de vergence $V = +4 \text{ D}$, un objet réel AB de 3 cm de hauteur est placé à 40 cm devant la lentille. Nous avons trouvé que $\overline{OA'} = +66,67 \text{ cm}$.
- Calcule le grandissement transversal $\gamma$ de l'image A'B'.
- Détermine la hauteur de l'image A'B'.
- Précise si l'image est droite ou inversée.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 3
Le grandissement transversal $\gamma$ permet de connaître la taille et le sens de l'image par rapport à l'objet. La formule est $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
1. Calcule le grandissement transversal :
- $\overline{OA'} = +66,67 \text{ cm}$
- $\overline{OA} = -40 \text{ cm}$
Le grandissement transversal est d'environ -1,67.
2. Détermine la hauteur de l'image A'B' :
- Hauteur de l'objet $\overline{AB} = +3 \text{ cm}$
La hauteur de l'image A'B' est d'environ 5 cm.
3. Précise le sens de l'image :
Puisque $\gamma$ est négatif et que $\overline{A'B'}$ est négatif, l'image est inversée par rapport à l'objet.
Exercice 4 : Formule de conjugaison de Newton (Moyen)
Une lentille mince divergente a une distance focale objet $f = +25 \text{ cm}$. Un objet réel AB est placé à 10 cm devant le foyer objet F de la lentille.
- Calcule la distance focale image $f'$.
- Détermine la position de l'image A'B' par rapport au foyer image F'.
- Précise si l'image est réelle ou virtuelle.
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 4
La formule de conjugaison de Newton est $\overline{FA} \times \overline{F'A'} = f \times f'$.
1. Calcule la distance focale image $f'$ :
Pour une lentille mince dans l'air, $f' = -f$.
Si la lentille est divergente, sa vergence est négative, donc sa distance focale image $f'$ est négative. Par convention, on utilise $f' = -|f'|$. Et $f = -f'$.
Donc, si la lentille est divergente et que l'énoncé donne $f = +25 \text{ cm}$, cela signifie que le foyer objet F est à +25 cm du centre optique O (donc à droite de O). Il faut donc comprendre que la distance focale image sera $f' = -25 \text{ cm}$.
2. Détermine la position de l'image A'B' par rapport au foyer image F' :
- Distance focale objet $f = +25 \text{ cm}$.
- Distance focale image $f' = -25 \text{ cm}$.
- L'objet est placé à 10 cm devant le foyer objet F. "Devant" signifie "à gauche" de F. Donc, $\overline{FA} = -10 \text{ cm}$.
Applique la formule de Newton :
$$ (-10) \times \overline{F'A'} = (+25) \times (-25) $$ $$ -10 \times \overline{F'A'} = -625 $$ $$ \overline{F'A'} = \frac{-625}{-10} = +62,5 \text{ cm} $$L'image A'B' est située à +62,5 cm du foyer image F' (à droite de F').
3. Précise si l'image est réelle ou virtuelle :
Pour savoir si l'image est réelle ou virtuelle, il est plus simple de déterminer sa position par rapport à la lentille ($\overline{OA'}$).
Nous savons que $\overline{OF'} = f' = -25 \text{ cm}$.
On peut trouver $\overline{OA'}$ avec la relation $\overline{OA'} = \overline{OF'} + \overline{F'A'}$ :
$$ \overline{OA'} = -25 \text{ cm} + 62,5 \text{ cm} = +37,5 \text{ cm} $$L'image est située à +37,5 cm de la lentille (à droite de la lentille). Pour une lentille divergente, une image située à droite de la lentille est toujours virtuelle (elle ne peut pas être projetée sur un écran).
Exercice 5 : Système de lentilles accolées (Moyen)
On accole deux lentilles minces : une lentille $L_1$ de vergence $V_1 = +3 \text{ D}$ et une lentille $L_2$ de vergence $V_2 = -1 \text{ D}$.
- Calcule la vergence équivalente $V_{eq}$ du système accolé.
- Déduis-en la distance focale image $f'_{eq}$ du système.
Barème indicatif : 3 points
Correction Exercice 5
Pour des lentilles minces accolées, la vergence équivalente est simplement la somme des vergences individuelles.
1. Calcule la vergence équivalente $V_{eq}$ :
$$ V_{eq} = V_1 + V_2 $$ $$ V_{eq} = +3 \text{ D} + (-1 \text{ D}) $$ $$ V_{eq} = +2 \text{ D} $$La vergence équivalente du système accolé est de +2 dioptries.
2. Déduis-en la distance focale image $f'_{eq}$ du système :
$$ f'_{eq} = \frac{1}{V_{eq}} $$ $$ f'_{eq} = \frac{1}{+2 \text{ D}} = +0,5 \text{ m} $$La distance focale image équivalente est de +0,5 mètre, soit +50 cm.
Exercice 6 : Lentille et miroir plan (Moyen)
Une lentille mince convergente $L$ de vergence $V = +5 \text{ D}$ est placée à 15 cm devant un miroir plan $M$. Un objet ponctuel A est placé sur l'axe optique à 30 cm devant la lentille.
- Détermine la position de l'image intermédiaire A$_1$ donnée par la lentille $L$.
- Cette image A$_1$ sert d'objet pour le miroir $M$. Détermine la position de l'image finale A' donnée par le miroir $M$.
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 6
Ce problème combine l'action d'une lentille et d'un miroir. L'image de la première surface devient l'objet pour la seconde.
1. Position de l'image intermédiaire A$_1$ donnée par la lentille $L$ :
Utilise la formule de conjugaison de Descartes : $\frac{1}{\overline{OA_1}} - \frac{1}{\overline{OA}} = V$.
- Vergence $V = +5 \text{ D}$.
- Objet A à 30 cm devant la lentille : $\overline{OA} = -30 \text{ cm} = -0,30 \text{ m}$.
L'image A$_1$ est donc située à +60 cm de la lentille (à droite de la lentille).
2. Position de l'image finale A' donnée par le miroir $M$ :
L'image A$_1$ devient l'objet pour le miroir $M$.
- La lentille est à 15 cm du miroir (distance $d_{OM} = 15 \text{ cm}$).
- L'image A$_1$ est à 60 cm de la lentille ($\overline{OA_1} = +60 \text{ cm}$).
Pour le miroir, l'objet A$_1$ est situé à une distance $d_{A_1M}$ derrière lui. Cette distance est $d_{A_1M} = \overline{OA_1} - d_{OM} = 60 \text{ cm} - 15 \text{ cm} = 45 \text{ cm}$.
Un miroir plan forme une image symétrique par rapport à son plan. Si l'objet virtuel A$_1$ est à 45 cm derrière le miroir, son image réelle A' sera à 45 cm devant le miroir.
Pour situer A' par rapport à la lentille : le miroir est à 15 cm de la lentille. L'image A' est à 45 cm devant le miroir. Donc, A' est à $15 \text{ cm} - 45 \text{ cm} = -30 \text{ cm}$ de la lentille.
L'image finale A' est située à 30 cm devant la lentille (à gauche de la lentille).
Exercice 7 : Système de deux lentilles séparées (Difficile)
Un système optique est composé de deux lentilles minces convergentes $L_1$ et $L_2$ séparées par une distance $e = 10 \text{ cm}$.
- $L_1$ a une vergence $V_1 = +5 \text{ D}$.
- $L_2$ a une vergence $V_2 = +2 \text{ D}$.
Un objet réel AB est placé à 40 cm devant la lentille $L_1$.
- Détermine la position de l'image intermédiaire A$_1$B$_1$ donnée par $L_1$.
- L'image A$_1$B$_1$ sert d'objet pour $L_2$. Détermine la position de l'objet A$_2$B$_2$ par rapport à $L_2$.
- Calcule la position de l'image finale A'B' donnée par $L_2$.
Barème indicatif : 5 points
Correction Exercice 7
Pour un système de lentilles séparées, on traite chaque lentille successivement, l'image de la première devenant l'objet de la seconde.
1. Position de l'image intermédiaire A$_1$B$_1$ donnée par $L_1$ :
Lentille $L_1$ (centre optique $O_1$) : $V_1 = +5 \text{ D}$. Objet AB à 40 cm devant $L_1$, donc $\overline{O_1A} = -40 \text{ cm} = -0,40 \text{ m}$.
Formule de Descartes pour $L_1$ : $\frac{1}{\overline{O_1A_1}} - \frac{1}{\overline{O_1A}} = V_1$.
$$ \frac{1}{\overline{O_1A_1}} - \frac{1}{-0,40} = +5 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_1A_1}} + 2,5 = +5 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_1A_1}} = +2,5 $$ $$ \overline{O_1A_1} = \frac{1}{2,5} = +0,40 \text{ m} $$L'image intermédiaire A$_1$B$_1$ est située à +40 cm de $L_1$ (à droite de $L_1$).
2. Position de l'objet A$_2$B$_2$ (qui est A$_1$B$_1$) par rapport à $L_2$ :
La distance entre $L_1$ et $L_2$ (centre optique $O_2$) est $e = 10 \text{ cm}$.
L'image A$_1$B$_1$ est à +40 cm de $L_1$. Donc, sa position par rapport à $L_2$ est :
$$ \overline{O_2A_2} = \overline{O_1A_1} - e = +40 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = +30 \text{ cm} $$L'objet A$_2$B$_2$ (qui est A$_1$B$_1$) est situé à +30 cm de $L_2$ (à droite de $L_2$). Puisque $\overline{O_2A_2}$ est positif, c'est un objet virtuel pour $L_2$.
3. Position de l'image finale A'B' donnée par $L_2$ :
Lentille $L_2$ : $V_2 = +2 \text{ D}$. Objet A$_2$B$_2$ (virtuel) à +30 cm de $L_2$, donc $\overline{O_2A_2} = +30 \text{ cm} = +0,30 \text{ m}$.
Formule de Descartes pour $L_2$ : $\frac{1}{\overline{O_2A'}} - \frac{1}{\overline{O_2A_2}} = V_2$.
$$ \frac{1}{\overline{O_2A'}} - \frac{1}{+0,30} = +2 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_2A'}} - 3,33 = +2 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_2A'}} = +2 + 3,33 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_2A'}} = +5,33 $$ $$ \overline{O_2A'} = \frac{1}{5,33} \approx +0,1875 \text{ m} $$L'image finale A'B' est située à environ +18,75 cm de $L_2$ (à droite de $L_2$).
Exercice 8 : Correction d'amétropie (Difficile)
Un patient myope a son punctum remotum (PR) situé à 50 cm devant son œil. Il souhaite voir nettement les objets à l'infini sans accommoder.
La lentille de correction est placée à 15 mm devant l'œil (distance $d = 15 \text{ mm}$).
- Quelle doit être la vergence de la lentille de correction pour qu'il puisse voir à l'infini ?
- Si le patient regarde un objet situé à 25 cm devant la lentille de correction, où se formera son image finale par rapport à l'œil ?
Barème indicatif : 5 points
Correction Exercice 8
Cet exercice demande d'appliquer les principes de correction des amétropies.
1. Vergence de la lentille de correction ($L_c$) :
Pour un œil myope, le PR est à distance finie. Pour voir à l'infini, la lentille de correction doit former de tout objet situé à l'infini une image située au PR du patient. L'œil pourra alors voir cette image sans accommoder.
- L'objet est à l'infini : $\overline{O_cA} = -\infty$.
- L'image A' doit se former au PR du patient. Le PR est à 50 cm devant l'œil.
- La lentille de correction est placée à $d = 15 \text{ mm} = 1,5 \text{ cm}$ devant l'œil.
La position de l'image A' (formée par $L_c$) par rapport à $L_c$ doit être :
$$ \overline{O_cA'} = -(\text{distance PR depuis l'œil} - d) $$ $$ \overline{O_cA'} = -(50 \text{ cm} - 1,5 \text{ cm}) = -48,5 \text{ cm} = -0,485 \text{ m} $$Utilise la formule de conjugaison de Descartes pour la lentille de correction : $\frac{1}{\overline{O_cA'}} - \frac{1}{\overline{O_cA}} = V_c$.
$$ \frac{1}{-0,485} - \frac{1}{-\infty} = V_c $$Puisque $\frac{1}{-\infty} = 0$ :
$$ V_c = \frac{1}{-0,485} \approx -2,06 \text{ D} $$La vergence de la lentille de correction doit être d'environ -2,06 dioptries. C'est une lentille divergente, ce qui est cohérent pour corriger la myopie.
2. Position de l'image finale par rapport à l'œil pour un objet à 25 cm :
L'objet AB est placé à 25 cm devant la lentille de correction ($L_c$). Donc $\overline{O_cA} = -25 \text{ cm} = -0,25 \text{ m}$. La vergence de la lentille de correction est $V_c = -2,06 \text{ D}$.
a. Image A$_1$ donnée par la lentille de correction $L_c$ :
$$ \frac{1}{\overline{O_cA_1}} - \frac{1}{\overline{O_cA}} = V_c $$ $$ \frac{1}{\overline{O_cA_1}} - \frac{1}{-0,25} = -2,06 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_cA_1}} + 4 = -2,06 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_cA_1}} = -2,06 - 4 $$ $$ \frac{1}{\overline{O_cA_1}} = -6,06 $$ $$ \overline{O_cA_1} = \frac{1}{-6,06} \approx -0,165 \text{ m} $$L'image A$_1$ est située à environ 16,5 cm devant la lentille de correction.
b. Position de l'image finale par rapport à l'œil :
La lentille de correction est à 15 mm (1,5 cm) devant l'œil.
L'image A$_1$ est à 16,5 cm devant la lentille. Donc, la distance de A$_1$ par rapport à l'œil est $16,5 \text{ cm} + 1,5 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$ devant l'œil.
L'image finale de l'objet, formée par la lentille de correction, se trouve à 18 cm devant l'œil. C'est à cette position que l'œil "voit" l'objet.
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