Optique Géométrique & Snell-Descartes | BTS

Correction Exercice 1 :

1.1. Un dioptre est la surface de séparation entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents. En optique ophtalmique, la surface d'un verre de lunette est un dioptre, tout comme la surface de la cornée de l'œil.

1.2. Le rayon lumineux incident est le rayon qui arrive sur la surface du dioptre. Le rayon réfracté est le rayon qui traverse le dioptre et se propage dans le second milieu. Les deux angles (incident et réfracté) sont mesurés par rapport à la normale au dioptre, c'est-à-dire une droite perpendiculaire à la surface au point d'incidence.

Correction Exercice 2 :

Nous appliquons la loi de Snell-Descartes pour la réfraction : $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$.

• $n_1 = 1,00$ (air)
• $i_1 = 30^\circ$
• $n_2 = 1,50$ (verre)

Nous cherchons $i_2$.

$1,00 \times \sin(30^\circ) = 1,50 \times \sin(i_2)$

$1,00 \times 0,5 = 1,50 \times \sin(i_2)$

$0,5 = 1,50 \times \sin(i_2)$

$\sin(i_2) = \frac{0,5}{1,50} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$

$i_2 = \arcsin(0,3333) \approx 19,47^\circ$

L'angle de réfraction est d'environ $19,47^\circ$.

Correction Exercice 3 :

3.1. L'indice de réfraction $n$ d'un milieu est défini par la relation $n = \frac{c}{v}$, où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ est la vitesse de la lumière dans le milieu.

$n = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1,50$

L'indice de réfraction de ce matériau est $1,50$.

3.2. Plus l'indice de réfraction d'un matériau est élevé, plus la vitesse de la lumière y est faible, et plus le rayon lumineux est dévié (plié) lorsqu'il passe d'un milieu à faible indice vers ce milieu à indice plus élevé, pour un angle d'incidence donné.

Correction Exercice 4 :

4.1. La réflexion totale interne se produit lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent ($n_1$) vers un milieu moins réfringent ($n_2$) et que l'angle d'incidence $i_1$ est supérieur à l'angle limite $i_L$. À l'angle limite, l'angle de réfraction $i_2$ est de $90^\circ$.

En utilisant la loi de Snell-Descartes : $n_1 \sin(i_L) = n_2 \sin(90^\circ)$

$1,60 \times \sin(i_L) = 1,00 \times 1$

$\sin(i_L) = \frac{1,00}{1,60} = 0,625$

$i_L = \arcsin(0,625) \approx 38,68^\circ$

L'angle limite est d'environ $38,68^\circ$. Si l'angle d'incidence est supérieur à cette valeur, il y aura réflexion totale interne.

4.2. Schéma illustrant la réflexion totale interne :

(Imagine ici un schéma avec une interface horizontale, un rayon venant d'en bas (milieu n1), la normale, et deux rayons : un réfracté rasant la surface pour iL, et un réfléchi pour i > iL.)

Correction Exercice 5 :

5.1. À l'entrée de la lame :

$n_{air} \sin(i_1) = n \sin(r_1)$

$1,00 \times \sin(45^\circ) = 1,52 \times \sin(r_1)$

$\sin(r_1) = \frac{\sin(45^\circ)}{1,52} = \frac{0,7071}{1,52} \approx 0,4652$

$r_1 = \arcsin(0,4652) \approx 27,73^\circ$

L'angle de réfraction à l'entrée de la lame est d'environ $27,73^\circ$.

5.2. À la sortie de la lame :

Pour une lame à faces parallèles, l'angle d'incidence sur la seconde face est égal à l'angle de réfraction de la première face, soit $r_1$. L'angle d'émergence $i_2$ est donné par :

$n \sin(r_1) = n_{air} \sin(i_2)$

$1,52 \times \sin(27,73^\circ) = 1,00 \times \sin(i_2)$

$1,52 \times 0,4652 \approx \sin(i_2)$

$0,7071 \approx \sin(i_2)$

$i_2 = \arcsin(0,7071) \approx 45^\circ$

L'angle d'émergence est de $45^\circ$. Pour une lame à faces parallèles, l'angle d'émergence est toujours égal à l'angle d'incidence si les milieux extrêmes sont identiques.

Correction Exercice 6 :

6.1. La vergence $V$ d'une lentille est l'inverse de sa distance focale image $f'$ exprimée en mètres.

$f' = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m}$

$V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,20 \text{ m}} = +5 \text{ dioptries}$

La vergence de cette lentille est de $+5 \delta$.

6.2. Si la lentille est divergente, sa vergence serait négative ($V < 0$) et sa distance focale image serait également négative ($f' < 0$).

Correction Exercice 7 :

7.1. Construction graphique :

(Imagine ici un schéma clair avec :

• L'axe optique horizontal.
• La lentille convergente (double flèche verticale).
• Les foyers F et F' (à 10 cm de part et d'autre de la lentille).
• L'objet AB (flèche verticale à 30 cm à gauche de la lentille, hauteur 2 cm).
• Trois rayons principaux partant de B :
  • Parallèle à l'axe, passe par F' après la lentille.
  • Passe par O (centre optique), n'est pas dévié.
  • Passe par F, ressort parallèle à l'axe après la lentille.
• Les rayons se croisent pour former A'B' (image réelle, inversée, plus petite).

7.2. Calcul de la position et de la taille de l'image :

On utilise la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique : $\frac{1}{OA'} - \frac{1}{OA} = \frac{1}{f'}$

• $OA = -30 \text{ cm}$ (objet réel, à gauche de la lentille)
• $f' = +10 \text{ cm}$ (lentille convergente)

$\frac{1}{OA'} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{OA'} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

$OA' = +15 \text{ cm}$

L'image $A'B'$ se forme à $15 \text{ cm}$ derrière la lentille (image réelle).

Calcul de la hauteur de l'image avec le grandissement $\gamma = \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA}$

$\gamma = \frac{+15 \text{ cm}}{-30 \text{ cm}} = -0,5$

$A'B' = \gamma \times AB = -0,5 \times 2 \text{ cm} = -1 \text{ cm}$

L'image $A'B'$ mesure $1 \text{ cm}$ de hauteur et est inversée (signe négatif).

Correction Exercice 8 :

8.1. Pour qu'il y ait réflexion totale interne à l'interface cœur-gaine, l'angle d'incidence $\theta_2$ sur cette interface (par rapport à la normale) doit être supérieur à l'angle limite $i_L$.

Calcul de l'angle limite $i_L$ à l'interface cœur-gaine :

$n_c \sin(i_L) = n_g \sin(90^\circ)$

$1,48 \sin(i_L) = 1,46 \times 1$

$\sin(i_L) = \frac{1,46}{1,48} \approx 0,9865$

$i_L = \arcsin(0,9865) \approx 80,5^\circ$

Maintenant, relions cet angle $i_L$ à l'angle d'incidence $\theta_1$ à l'entrée de la fibre.

Soit $r_1$ l'angle de réfraction à l'entrée de la fibre (par rapport à la normale à la face d'entrée).

À l'interface cœur-gaine, l'angle $\theta_2$ et $r_1$ sont liés par la géométrie du triangle rectangle formé par l'axe de la fibre et les normales aux interfaces. On a $\theta_2 = 90^\circ - r_1$.

Pour avoir réflexion totale interne, il faut $\theta_2 \ge i_L$, donc $90^\circ - r_1 \ge i_L$.

$r_1 \le 90^\circ - i_L = 90^\circ - 80,5^\circ = 9,5^\circ$.

Maintenant, utilisons la loi de Snell-Descartes à l'entrée de la fibre :

$n_{air} \sin(\theta_{1, \text{max}}) = n_c \sin(r_{1, \text{max}})$

$1,00 \times \sin(\theta_{1, \text{max}}) = 1,48 \times \sin(9,5^\circ)$

$\sin(9,5^\circ) \approx 0,165$

$\sin(\theta_{1, \text{max}}) = 1,48 \times 0,165 \approx 0,2442$

$\theta_{1, \text{max}} = \arcsin(0,2442) \approx 14,14^\circ$

L'angle maximal d'incidence $\theta_{1, \text{max}}$ est d'environ $14,14^\circ$. Au-delà de cet angle, la lumière ne sera pas guidée par réflexion totale interne.

8.2. Le principe de la réflexion totale interne est essentiel au fonctionnement des fibres optiques car il permet de "guider" la lumière sur de très longues distances avec des pertes minimales. Lorsque la lumière entre dans le cœur de la fibre sous un certain angle (inférieur à l'angle maximal calculé ci-dessus), elle est constamment réfléchie sur l'interface cœur-gaine, sans jamais en sortir, comme si elle rebondissait indéfiniment à l'intérieur du tube. Cela permet de transmettre des signaux (données, voix) de manière très efficace, sans déperdition d'énergie lumineuse vers l'extérieur de la fibre.