Transformateurs & Moteurs : Exercices BTS Électrotechnique

Correction :

Pour un transformateur monophasé idéal, nous utilisons les relations de proportionnalité entre tensions et courants.

1. Calcul de la tension secondaire $U_2$ :
   Le rapport de transformation est donné par $m = U_2/U_1$. $$U_2 = m \times U_1$$ $$U_2 = 0,2 \times 230 \text{ V}$$

   Résultat : La tension secondaire est $U_2 = 46 \text{ V}$.

2. Détermination du courant primaire $I_1$ :
   Pour un transformateur idéal, la puissance apparente est conservée, donc $S_1 = S_2$, ce qui implique $U_1 I_1 = U_2 I_2$. On peut aussi utiliser la relation $I_1 = m \times I_2$ (attention, l'inverse du rapport des tensions). $$I_1 = \frac{U_2}{U_1} \times I_2$$ $$I_1 = 0,2 \times 5 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant primaire est $I_1 = 1 \text{ A}$.

   Astuce méthode : Pour les transformateurs idéaux, le rapport des courants est l'inverse du rapport des tensions et du rapport de transformation ($I_1/I_2 = 1/m$).

3. Calcul de la puissance apparente $S$ du transformateur :
   La puissance apparente peut être calculée au primaire ou au secondaire. $$S = U_1 I_1 = 230 \text{ V} \times 1 \text{ A} = 230 \text{ VA}$$ Ou $$S = U_2 I_2 = 46 \text{ V} \times 5 \text{ A} = 230 \text{ VA}$$

   Résultat : La puissance apparente du transformateur est $S = 230 \text{ VA}$.

Correction :

Le moteur asynchrone se caractérise par une vitesse de rotation légèrement inférieure à la vitesse de synchronisme, d'où la notion de glissement.

1. Calcul de la vitesse de synchronisme $N_s$ en tr/min :
   La vitesse de synchronisme est donnée par la formule $N_s = \frac{f}{p}$, où $f$ est la fréquence et $p$ est le nombre de paires de pôles. $$N_s = \frac{f}{p} \quad (\text{en tr/s})$$ $$N_s = \frac{50 \text{ Hz}}{2} = 25 \text{ tr/s}$$ Pour convertir en tr/min, on multiplie par 60 : $$N_s = 25 \times 60 = 1500 \text{ tr/min}$$

   Résultat : La vitesse de synchronisme est $N_s = 1500 \text{ tr/min}$.

2. Détermination du glissement $g$ à vide en pourcentage :
   Le glissement est défini par $g = \frac{N_s - N}{N_s}$, où $N$ est la vitesse de rotation du rotor. $$g = \frac{N_s - N_{vide}}{N_s}$$ $$g = \frac{1500 - 1490}{1500} = \frac{10}{1500} \approx 0,00667$$ En pourcentage : $$g = 0,00667 \times 100 \approx 0,67\%$$

   Résultat : Le glissement à vide est d'environ $g \approx 0,67\%$.

   Astuce méthode : Le glissement est toujours un nombre sans dimension, souvent exprimé en pourcentage. Un glissement à vide est généralement très faible, tandis qu'à pleine charge, il est plus élevé (quelques pourcents).

Correction :

La particularité des transformateurs triphasés réside dans la relation entre tensions simples, composées et le rapport de spires, qui dépendent du couplage.

1. Calcul du rapport de transformation entre phases $m_{phase}$ et entre lignes $m_{ligne}$ :
   Le rapport de transformation entre phases est directement lié aux nombres de spires : $$m_{phase} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{50}{1000} = 0,05$$ Pour le rapport de transformation entre lignes, il faut prendre en compte les couplages. Primaire en étoile ($Y_1$) : $U_{1c} = \sqrt{3} U_{1s}$ Secondaire en triangle ($D_2$) : $U_{2c} = U_{2s}$ $$m_{ligne} = \frac{U_{2c}}{U_{1c}} = \frac{U_{2s}}{\sqrt{3} U_{1s}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{U_{2s}}{U_{1s}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times m_{phase}$$ $$m_{ligne} = \frac{0,05}{\sqrt{3}} \approx 0,02887$$

   Résultat : $m_{phase} = 0,05$ et $m_{ligne} \approx 0,02887$.

2. Détermination de la tension simple au primaire $U_{1s}$ et la tension composée au primaire $U_{1c}$ :
   L'alimentation est de $20 \text{ kV}$ entre phases, c'est donc la tension composée $U_{1c}$. $$U_{1c} = 20 \text{ kV} = 20000 \text{ V}$$ Le primaire est couplé en étoile, donc $U_{1c} = \sqrt{3} U_{1s}$. $$U_{1s} = \frac{U_{1c}}{\sqrt{3}} = \frac{20000}{\sqrt{3}} \approx 11547 \text{ V}$$

   Résultat : $U_{1c} = 20000 \text{ V}$ et $U_{1s} \approx 11547 \text{ V}$.

3. Calcul de la tension composée au secondaire $U_{2c}$ :
   Nous utilisons le rapport de transformation entre lignes : $$U_{2c} = m_{ligne} \times U_{1c}$$ $$U_{2c} = 0,02887 \times 20000 \text{ V} \approx 577,4 \text{ V}$$

   Résultat : La tension composée au secondaire est $U_{2c} \approx 577,4 \text{ V}$.

   Point méthode : Pour les transformateurs triphasés, il est crucial de bien identifier si l'on parle de tensions simples (entre phase et neutre) ou composées (entre phases) et de connaître les relations $\sqrt{3}$ selon le couplage.

Correction :

Le bilan de puissance permet de comprendre comment l'énergie électrique est convertie en énergie mécanique et où se situent les pertes.

1. Calcul de la puissance électrique absorbée $P_{abs}$ :
   Pour un système triphasé, la puissance active absorbée est donnée par : $$P_{abs} = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos(\phi)$$ $$P_{abs} = \sqrt{3} \times 400 \text{ V} \times 15 \text{ A} \times 0,85$$ $$P_{abs} \approx 8818 \text{ W} = 8,818 \text{ kW}$$

   Résultat : La puissance électrique absorbée est $P_{abs} \approx 8,82 \text{ kW}$.

2. Détermination de la puissance utile $P_u$ fournie par le moteur :
   Le rendement $\eta$ est le rapport entre la puissance utile et la puissance absorbée : $\eta = P_u / P_{abs}$. $$P_u = \eta \times P_{abs}$$ $$P_u = 0,88 \times 8818 \text{ W}$$ $$P_u \approx 7760 \text{ W} = 7,76 \text{ kW}$$

   Résultat : La puissance utile fournie par le moteur est $P_u \approx 7,76 \text{ kW}$.

3. Estimation des pertes totales $P_{pertes}$ dans le moteur :
   Les pertes totales sont la différence entre la puissance absorbée et la puissance utile : $$P_{pertes} = P_{abs} - P_u$$ $$P_{pertes} = 8818 \text{ W} - 7760 \text{ W}$$ $$P_{pertes} = 1058 \text{ W} = 1,058 \text{ kW}$$

   Résultat : Les pertes totales dans le moteur sont $P_{pertes} \approx 1,06 \text{ kW}$.

   Point méthode : N'oublie pas que les pertes dans un moteur asynchrone incluent les pertes fer (stator et rotor), les pertes cuivre (stator et rotor) et les pertes mécaniques (frottement, ventilation).

Correction :

Les essais à vide et en court-circuit sont essentiels pour caractériser un transformateur réel et calculer son rendement.

1. Déduction des pertes fer $P_{fer}$ et des pertes cuivre nominales $P_{cu\_n}$ :
   Les pertes fer sont déterminées lors de l'essai à vide, car les courants sont faibles et les pertes cuivre négligeables. $$P_{fer} = P_{1v} = 80 \text{ W}$$ Les pertes cuivre sont déterminées lors de l'essai en court-circuit, où le courant est nominal et la tension faible (donc les pertes fer négligeables). $$P_{cu\_n} = P_{1cc} = 120 \text{ W}$$

   Résultat : Les pertes fer sont $P_{fer} = 80 \text{ W}$ et les pertes cuivre nominales sont $P_{cu\_n} = 120 \text{ W}$.

   Astuce méthode : L'essai à vide donne les pertes fer (proportionnelles à $U^2$), l'essai en court-circuit donne les pertes cuivre (proportionnelles à $I^2$).

2. Calcul du rendement du transformateur pour un fonctionnement à pleine charge avec $\cos(\phi_2) = 0,8$ :
   À pleine charge, la puissance utile $P_2$ est : $$P_2 = S_n \times \cos(\phi_2) = 5000 \text{ VA} \times 0,8 = 4000 \text{ W}$$ La puissance absorbée $P_1$ est la somme de la puissance utile et des pertes : $$P_1 = P_2 + P_{fer} + P_{cu\_n}$$ $$P_1 = 4000 \text{ W} + 80 \text{ W} + 120 \text{ W} = 4200 \text{ W}$$ Le rendement $\eta$ est : $$\eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{4000}{4200} \approx 0,9524$$ En pourcentage : $\eta \approx 95,24\%$

   Résultat : Le rendement du transformateur à pleine charge est d'environ $\eta \approx 95,2\%$.

Correction :

Le démarrage étoile-triangle est une méthode courante pour limiter le courant d'appel d'un moteur asynchrone.

1. Justification du couplage du moteur en triangle pour un fonctionnement nominal sur le réseau $400 \text{ V}$ :
   La plaque signalétique $400 \text{ V} / 690 \text{ V}$ signifie que le moteur est conçu pour fonctionner :
   • Avec $400 \text{ V}$ aux bornes de chaque enroulement (couplage triangle sur un réseau $400 \text{ V}$).
   • Avec $690 \text{ V}$ aux bornes de chaque enroulement (couplage étoile sur un réseau $690 \text{ V}$).
   Puisque le réseau est de $400 \text{ V}$ entre phases, pour que chaque enroulement reçoive sa tension nominale de $400 \text{ V}$, le moteur doit être couplé en triangle. Dans ce couplage, la tension aux bornes de chaque enroulement est égale à la tension composée du réseau ($U_{enroulement} = U_{reseau}$).

   Résultat : Pour un réseau $400 \text{ V}$, le moteur doit être couplé en triangle pour que la tension de phase de l'enroulement soit $400 \text{ V}$.

2. Calcul du rapport du courant de ligne absorbé lors du démarrage en étoile par rapport au courant de ligne en fonctionnement nominal en triangle :
   Lors du démarrage en étoile, la tension aux bornes de chaque enroulement est $U_s = U_{reseau}/\sqrt{3} = 400/\sqrt{3} \text{ V}$. Le courant de démarrage en étoile est $I_{dem\_Y} = I_{dem\_D} / \sqrt{3}$. De plus, la puissance absorbée est divisée par 3 au démarrage en étoile par rapport au démarrage en triangle, et donc le courant de ligne également. Le courant de ligne au démarrage en étoile sera $1/3$ du courant de ligne de démarrage en triangle. Le courant de démarrage en étoile est $I_{dem\_Y} = I_{dem\_D} / 3$. Le rapport du courant de ligne absorbé en étoile par rapport au courant de ligne nominal en triangle est donc : $$\frac{I_{dem\_Y}}{I_{nominal\_D}} = \frac{1/3 \times I_{dem\_D}}{I_{nominal\_D}} = \frac{1}{3} \times \frac{I_{dem\_D}}{I_{nominal\_D}} = \frac{1}{3} \times 6 = 2$$

   Résultat : Le courant de ligne absorbé au démarrage en étoile est 2 fois le courant de ligne nominal en triangle.

   Point méthode : Au démarrage en étoile, la tension aux bornes de chaque phase est divisée par $\sqrt{3}$, ce qui divise le courant de phase par $\sqrt{3}$ et le couple par 3. Le courant de ligne est donc divisé par 3 par rapport à un démarrage direct en triangle.

3. Explication de l'intérêt du démarrage étoile-triangle :
   L'intérêt principal du démarrage étoile-triangle est de réduire le courant d'appel au démarrage du moteur. Un moteur asynchrone démarré directement absorbe un courant très élevé (typiquement 5 à 8 fois le courant nominal), ce qui peut provoquer des chutes de tension importantes sur le réseau et des contraintes mécaniques excessives sur l'arbre. En démarrant en étoile, le courant de ligne est divisé par 3 par rapport à un démarrage direct en triangle (comme calculé ci-dessus). Une fois que le moteur a pris de la vitesse (environ la grande majorité de la vitesse nominale), le couplage est commuté en triangle, ce qui permet au moteur de fonctionner à sa pleine puissance nominale.

   Résultat : Le démarrage étoile-triangle réduit le courant d'appel et les contraintes électromécaniques au démarrage.

Correction :

Les transformateurs de courant sont des composants clés pour la mesure des courants élevés, mais ils nécessitent une manipulation prudente.

1. Détermination du courant primaire nominal $I_{1n}$ et du courant secondaire nominal $I_{2n}$ :
   Le rapport de transformation nominal est donné directement par la désignation du TC. $$I_{1n} = 500 \text{ A}$$ $$I_{2n} = 5 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant primaire nominal est $I_{1n} = 500 \text{ A}$ et le courant secondaire nominal est $I_{2n} = 5 \text{ A}$.

2. Calcul de la puissance apparente nominale $S_{2n}$ débitée par le secondaire du TC dans l'ampèremètre :
   Lorsque le TC débite son courant nominal $I_{2n}$ dans l'ampèremètre, la tension secondaire est : $$U_{2n} = R_A \times I_{2n} = 0,1 \text{ }\Omega \times 5 \text{ A} = 0,5 \text{ V}$$ La puissance apparente nominale est : $$S_{2n} = U_{2n} \times I_{2n} = 0,5 \text{ V} \times 5 \text{ A} = 2,5 \text{ VA}$$

   Résultat : La puissance apparente nominale est $S_{2n} = 2,5 \text{ VA}$.

   Point méthode : Les TC sont généralement spécifiés avec une puissance nominale (charge) en VA qu'ils peuvent supporter au secondaire sans dépasser une certaine erreur de mesure.

3. Le courant primaire mesuré est de $400 \text{ A}$. Quel est le courant secondaire $I_2$ indiqué par l'ampèremètre ?
   Le transformateur de courant est conçu pour maintenir un rapport de transformation constant. Rapport de transformation en courant $k_i = I_{1n} / I_{2n} = 500 / 5 = 100$. Donc $I_1 / I_2 = k_i$. $$I_2 = \frac{I_1}{k_i} = \frac{400 \text{ A}}{100} = 4 \text{ A}$$

   Résultat : Le courant secondaire indiqué par l'ampèremètre est $I_2 = 4 \text{ A}$.

4. Si le circuit secondaire du TC est accidentellement ouvert alors que $I_1 = 500 \text{ A}$ circule au primaire, quelle serait la tension secondaire théorique ? Pourquoi est-ce dangereux ?
   Si le secondaire est ouvert, l'impédance de charge devient infinie. Le TC essaie toujours de transformer le courant primaire en un courant secondaire, mais comme le circuit est ouvert, ce courant ne peut pas circuler. L'énergie primaire doit être compensée, ce qui entraîne une augmentation drastique de la tension secondaire. Théoriquement, en l'absence de charge et en régime nominal $I_1 = 500 \text{ A}$, le TC agit comme un générateur de courant. Si le circuit secondaire est ouvert, toute l'énergie magnétique stockée doit se dissiper, ce qui provoque une augmentation dangereuse de la tension aux bornes du secondaire. La tension pourrait atteindre des milliers de volts. C'est extrêmement dangereux pour :
   • Le personnel : Risque d'électrocution mortelle.
   • Le transformateur : Surtension pouvant détruire l'isolation du TC et causer un claquage.
   • Les équipements connectés : L'ampèremètre ou d'autres appareils pourraient être endommagés.
   C'est pourquoi un TC doit toujours avoir son secondaire court-circuité avant toute déconnexion de charge.

   Résultat : La tension secondaire atteindrait des valeurs très élevées (plusieurs centaines ou milliers de volts), dangereuses pour le personnel et le matériel.

Correction :

L'étude de la caractéristique mécanique $C(N)$ est fondamentale pour comprendre le comportement d'un moteur asynchrone et son adaptation à la charge.

1. Calcul de la vitesse de synchronisme $N_s$ et du glissement nominal $g_n$ :
   La vitesse de synchronisme est donnée par $N_s = f/p$. Avec $p = 2$ paires de pôles et $f = 50 \text{ Hz}$. $$N_s = \frac{50 \text{ Hz}}{2} = 25 \text{ tr/s} = 25 \times 60 = 1500 \text{ tr/min}$$ Le glissement nominal $g_n$ est calculé à partir de la vitesse nominale $N_n = 1450 \text{ tr/min}$. $$g_n = \frac{N_s - N_n}{N_s} = \frac{1500 - 1450}{1500} = \frac{50}{1500} \approx 0,0333$$ En pourcentage : $g_n \approx 3,33\%$

   Résultat : $N_s = 1500 \text{ tr/min}$ et $g_n \approx 3,33\%$.

2. Détermination de la vitesse de rotation $N_{max}$ à laquelle le couple maximal est atteint :
   Le couple maximal $C_{max}$ est atteint pour un glissement $g_{max} = 0,2$. $$g_{max} = \frac{N_s - N_{max}}{N_s} \implies N_{max} = N_s (1 - g_{max})$$ $$N_{max} = 1500 \text{ tr/min} \times (1 - 0,2) = 1500 \times 0,8 = 1200 \text{ tr/min}$$

   Résultat : Le couple maximal est atteint à $N_{max} = 1200 \text{ tr/min}$.

3. Tracé approximatif de l'allure de la caractéristique mécanique $C(N)$ :
   Je ne peux pas "tracer" directement ici, mais je peux décrire les points à placer :
   • Point de démarrage ($N=0$, $g=1$) : $C_{dem} = 1,8 \times 72,5 = 130,5 \text{ N.m}$.
   • Point nominal ($N_n=1450 \text{ tr/min}$, $g_n \approx 0,0333$) : $C_n = 72,5 \text{ N.m}$.
   • Point de couple maximal ($N_{max}=1200 \text{ tr/min}$, $g_{max}=0,2$) : $C_{max} = 2,5 \times 72,5 = 181,25 \text{ N.m}$.
   • La courbe part du point de démarrage, augmente jusqu'au couple maximal, puis diminue rapidement vers zéro lorsque la vitesse approche $N_s$. Elle est nulle à $N_s$.

   L'axe des abscisses représente la vitesse $N$ (de 0 à $N_s$), et l'axe des ordonnées le couple $C$. La courbe a une forme caractéristique en cloche, avec un maximum pour un glissement relativement élevé (ici 0,2).

4. Le moteur entraîne une charge dont le couple résistant est constant $C_r = 70 \text{ N.m}$. Le moteur peut-il démarrer cette charge ? Justifie.
   Pour pouvoir démarrer la charge, le couple de démarrage du moteur doit être supérieur au couple résistant de la charge. Couple de démarrage du moteur : $C_{dem} = 130,5 \text{ N.m}$ (calculé en 8.c). Couple résistant de la charge : $C_r = 70 \text{ N.m}$. Puisque $C_{dem} = 130,5 \text{ N.m} > C_r = 70 \text{ N.m}$, le moteur peut démarrer la charge. Une fois démarré, le moteur atteindra un point d'équilibre où son couple moteur sera égal au couple résistant ($C_m = C_r$), ce qui est possible car $C_r = 70 \text{ N.m}$ est inférieur au couple nominal $C_n = 72,5 \text{ N.m}$ et bien inférieur au couple maximal $C_{max}$.

   Résultat : Oui, le moteur peut démarrer cette charge car son couple de démarrage ($130,5 \text{ N.m}$) est supérieur au couple résistant de la charge ($70 \text{ N.m}$).

   Point méthode : Pour qu'un moteur puisse entraîner une charge, il faut que : 1) $C_{dem} > C_r$ au démarrage, et 2) $C_{max} > C_r$ à tout moment pour que le moteur ne décroche pas, et 3) $C_n \ge C_r$ en régime permanent pour ne pas surcharger le moteur.