Biostatistique : Maîtrise Test Chi-deux & Intervalle Confiance

Correction :

a) Le test statistique approprié est le test du chi-deux d'ajustement (ou test d'adéquation).

b) Calcul des effectifs théoriques pour n=200 :

• Jaune : $200 \times 0,50 = 100$
• Bleu : $200 \times 0,25 = 50$
• Rouge : $200 \times 0,25 = 50$

c) L'hypothèse nulle (H0) est que les fréquences observées dans l'échantillon sont conformes aux fréquences théoriques attendues dans la population pour la distribution des couleurs des papillons.

Correction :

a) Proportion observée ($p$) = Effectif observé / Taille de l'échantillon = $120 / 400 = 0,30$.

b) L'objectif d'un intervalle de confiance est de fournir une plage de valeurs plausibles pour la vraie proportion de moustiques résistants dans la population entière, compte tenu de la proportion observée dans l'échantillon.

c) Calcul de l'intervalle de confiance à 95% :

Formule : $p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Erreur standard : $\sqrt{\frac{0,30(1-0,30)}{400}} = \sqrt{\frac{0,30 \times 0,70}{400}} = \sqrt{\frac{0,21}{400}} = \sqrt{0,000525} \approx 0,0229$

Marge d'erreur : $1,96 \times 0,0229 \approx 0,0449$

Intervalle : $0,30 \pm 0,0449 = [0,2551 ; 0,3449]$

L'intervalle de confiance à 95% est donc approximativement [0,255 ; 0,345].

Correction :

a) Le test approprié est le test du chi-deux d'indépendance.

b) Calcul de l'effectif théorique (Homme, Football) :

Effectif total = $40 + 10 + 20 + 30 = 100$.

Total Hommes = $40 + 10 = 50$.

Total Football = $40 + 20 = 60$.

Effectif théorique = (Total Hommes × Total Football) / Effectif total = $(50 \times 60) / 100 = 3000 / 100 = 30$.

c) L'hypothèse nulle (H0) est qu'il n'y a pas d'association significative entre le sexe et la préférence sportive ; les deux variables sont indépendantes.

Correction :

Deux conditions importantes pour la validité du test du chi-deux sont :

1. Indépendance des observations : Chaque observation doit être indépendante des autres. Par exemple, dans une enquête, la réponse d'une personne ne doit pas influencer la réponse d'une autre.
2. Effectifs théoriques suffisants : Pour que le test chi-deux soit valide, les effectifs théoriques calculés pour chaque catégorie (et non les effectifs observés) doivent être suffisamment grands. Généralement, on exige que tous les effectifs théoriques soient supérieurs ou égaux à 5. Si certaines catégories ont des effectifs théoriques inférieurs à 5, il peut être nécessaire de regrouper des catégories adjacentes si cela est biologiquement pertinent, ou d'utiliser d'autres tests statistiques.

Correction :

a) Interprétation : On peut affirmer, avec un niveau de confiance de 95%, que le véritable taux de guérison dans la population concernée se situe la majorité. Cela ne signifie pas que 95% des individus guérissent, mais que si l'on répétait l'expérience de nombreuses fois, 95% des intervalles de confiance ainsi calculés contiendraient la vraie proportion de guérison.

b) Pour obtenir un intervalle de confiance plus étroit (c'est-à-dire une estimation plus précise) :

• On peut augmenter la taille de l'échantillon (n). C'est la méthode la plus efficace pour réduire la largeur de l'intervalle.
• On peut diminuer le niveau de confiance (par exemple, passer la majorité). Cependant, cela réduit la certitude que l'intervalle contienne la vraie valeur.

Correction :

La formule du chi-deux est : $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$, où $O_i$ est l'effectif observé et $E_i$ l'effectif théorique pour chaque catégorie $i$.

Calcul :

• Jaune : $\frac{(90 - 100)^2}{100} = \frac{(-10)^2}{100} = \frac{100}{100} = 1$
• Bleu : $\frac{(60 - 50)^2}{50} = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2$
• Rouge : $\frac{(50 - 50)^2}{50} = \frac{0^2}{50} = \frac{0}{50} = 0$

Statistique $\chi^2$ = $1 + 2 + 0 = 3$.

Valeur calculée du $\chi^2$ = 3.

Correction :

a) Calcul de la statistique $\chi^2$ :

Effectifs théoriques :

• Homme/Football : 30 (calculé dans l'exercice 3)
• Homme/Tennis : $(50 \times 40) / 100 = 20$
• Femme/Football : $(50 \times 60) / 100 = 30$
• Femme/Tennis : $(50 \times 40) / 100 = 20$

Calcul des termes :

• Homme/Football : $\frac{(40 - 30)^2}{30} = \frac{100}{30} \approx 3.33$
• Homme/Tennis : $\frac{(10 - 20)^2}{20} = \frac{(-10)^2}{20} = \frac{100}{20} = 5$
• Femme/Football : $\frac{(20 - 30)^2}{30} = \frac{(-10)^2}{30} = \frac{100}{30} \approx 3.33$
• Femme/Tennis : $\frac{(30 - 20)^2}{20} = \frac{10^2}{20} = \frac{100}{20} = 5$

Statistique $\chi^2 = 3.33 + 5 + 3.33 + 5 = 16.66$.

Valeur calculée du $\chi^2$ $\approx$ 16.67.

b) Degrés de liberté (ddl) : Pour un test d'indépendance, ddl = (nombre de lignes - 1) × (nombre de colonnes - 1).

Ici, 2 lignes (Homme/Femme) et 2 colonnes (Football/Tennis).

ddl = (2 - 1) × (2 - 1) = 1 × 1 = 1.

Degrés de liberté = 1.

c) Interprétation : La valeur calculée du $\chi^2$ (16.67) est supérieure à la valeur critique (3.84) pour un seuil de significativité de 5% et 1 ddl. Cela signifie que la probabilité d'observer une telle différence entre les effectifs observés et théoriques par pur hasard est très faible (inférieure à 5%). Par conséquent, on rejette l'hypothèse nulle (H0). Il existe une association statistiquement significative entre le sexe et la préférence sportive.

Correction :

a) Calcul de l'erreur standard de la moyenne (ESM) :

Formule : $ESM = s / \sqrt{n}$

$ESM = 4 / \sqrt{50} \approx 4 / 7.07 \approx 0.566$

Erreur standard de la moyenne $\approx 0.566$ cm.

b) Calcul de l'intervalle de confiance à 99% :

Formule : $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \times ESM$

Marge d'erreur : $2.68 \times 0.566 \approx 1.517$

Intervalle : $25 \pm 1.517 = [23.483 ; 26.517]$

L'intervalle de confiance à 99% est approximativement [23.48 cm ; 26.52 cm].

c) Interprétation : On peut affirmer, avec 99% de confiance, que la taille moyenne réelle de cette espèce de plante dans la population se situe entre 23.48 cm et 26.52 cm. Si l'on répétait cette étude de nombreuses fois, 99% des intervalles calculés contiendraient la vraie moyenne de taille de la population.

Correction :

a) Pour comparer les moyennes de deux groupes indépendants, on utilise généralement un test t pour échantillons indépendants (ou un test z si les variances sont connues et/ou les échantillons très grands, ce qui est le cas ici par approximation).

b) Calcul de l'intervalle de confiance pour la différence des moyennes ($\mu_1 - \mu_2$) :

Différence observée : $\bar{x}_{nouvelle} - \bar{x}_{std} = 34 - 30 = 4$ quintaux/hectare.

Erreur standard de la différence : $ESED = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$

$ESED = \sqrt{\frac{6^2}{100} + \frac{7^2}{100}} = \sqrt{\frac{36}{100} + \frac{49}{100}} = \sqrt{0.36 + 0.49} = \sqrt{0.85} \approx 0.922$

Marge d'erreur : $1.96 \times 0.922 \approx 1.807$

Intervalle de confiance à 95% pour la différence : $4 \pm 1.807 = [2.193 ; 5.807]$

L'intervalle de confiance à 95% pour la différence des rendements est approximativement [2.19 ; 5.81] quintaux/hectare.

c) Interprétation et relation avec le test : L'intervalle de confiance pour la différence des moyennes est [2.19 ; 5.81]. Comme cet intervalle ne contient pas zéro et est entièrement positif, cela indique la nouvelle variété de blé a un rendement moyen significativement plus élevé que la variété standard, et ce, avec un niveau de confiance de 95%. Si l'on réalisait un test t, on obtiendrait une p-value inférieure à 0.05, conduisant au rejet de l'hypothèse nulle d'égalité des moyennes. L'intervalle de confiance nous donne en plus une estimation de l'ampleur de cette différence.

Correction :

a) Proportions de mortalité :

• Contrôle ($p_1$) : $5 / 100 = 0.05$
• Exposé ($p_2$) : $30 / 100 = 0.30$

b) Test du chi-deux d'indépendance :

Tableau des effectifs observés :

Effectifs théoriques :

• Contrôle/Morts : $(100 \times 35) / 200 = 17.5$
• Contrôle/Vivant : $(100 \times 165) / 200 = 82.5$
• Exposé/Morts : $(100 \times 35) / 200 = 17.5$
• Exposé/Vivant : $(100 \times 165) / 200 = 82.5$

Calcul de la statistique $\chi^2$ :

• Contrôle/Morts : $\frac{(5 - 17.5)^2}{17.5} = \frac{(-12.5)^2}{17.5} \approx 8.93$
• Contrôle/Vivant : $\frac{(95 - 82.5)^2}{82.5} = \frac{12.5^2}{82.5} \approx 1.92$
• Exposé/Morts : $\frac{(30 - 17.5)^2}{17.5} = \frac{12.5^2}{17.5} \approx 8.93$
• Exposé/Vivant : $\frac{(70 - 82.5)^2}{82.5} = \frac{(-12.5)^2}{82.5} \approx 1.92$

Statistique $\chi^2 = 8.93 + 1.92 + 8.93 + 1.92 = 21.7$.

Degrés de liberté = (2-1)x(2-1) = 1.

La valeur critique du $\chi^2$ pour 1 ddl à 5% est 3.84. Comme 21.7 > 3.84, on rejette H0. Il y a une association significative entre l'exposition et la mortalité.

c) Intervalle de confiance pour la différence des proportions ($p_2 - p_1$) à 95% :

Différence observée : $0.30 - 0.05 = 0.25$.

Erreur standard de la différence : $ESED_p = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}$, où $\hat{p}$ est la proportion combinée ($35/200 = 0.175$).

$ESED_p = \sqrt{0.175(1-0.175)(\frac{1}{100} + \frac{1}{100})} = \sqrt{0.175 \times 0.825 \times 0.02} = \sqrt{0.0028875} \approx 0.0537$

Marge d'erreur : $1.96 \times 0.0537 \approx 0.105$

Intervalle : $0.25 \pm 0.105 = [0.145 ; 0.355]$

L'intervalle de confiance à 95% pour la différence des proportions de mortalité est approximativement [0.145 ; 0.355].

Conclusion sur la toxicité : L'intervalle de confiance est entièrement positif et ne contient pas zéro. Cela confirme que l'exposition au pesticide est associée à une augmentation significative de la mortalité. La différence de mortalité attendue est entre 14.5% et 35.5% de plus dans le groupe exposé par rapport au groupe contrôle. Le pesticide est donc considéré comme toxique.