Écologie des populations : maîtriser croissance et régulation

Correction :

Ce modèle de croissance est caractérisé par un taux de croissance constant par individu. La formule de la croissance exponentielle est $N(t) = N_0 \times \lambda^t$, où $N_0$ est la taille initiale, $\lambda$ est le taux d'accroissement par individu et $t$ est le temps.

Ici, $N_0 = 100$ et $\lambda = 2$ (double chaque heure).

a) Après 3 heures :

$N(3) = 100 \times 2^3 = 100 \times 8 = 800$ individus.

b) Après 10 heures :

$N(10) = 100 \times 2^{10} = 100 \times 1024 = 102400$ individus.

c) La formule générale est :

Point méthode : Pour des croissances rapides, les nombres peuvent devenir très grands. Il est important de bien comprendre la signification de chaque terme dans la formule.

Correction :

Le modèle de Malthus décrit une croissance continue où le taux de changement de la population est proportionnel à sa taille actuelle. La formule est $\frac{dN}{dt} = rN$, où $r$ est le taux de croissance intrinsèque.

a) Le taux de croissance intrinsèque $r$ est la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité :

$r = \text{taux de natalité} - \text{taux de mortalité} = 0.4 - 0.1 = 0.3$ par individu et par an.

b) L'équation de croissance différentielle est :

c) La solution de cette équation est $N(t) = N_0 e^{rt}$. Avec $N_0 = 500$, $r = 0.3$ et $t = 5$ ans :

$N(5) = 500 \times e^{(0.3 \times 5)} = 500 \times e^{1.5}$

$N(5) \approx 500 \times 4.4817 = 2240.85$

Comme on ne peut avoir une fraction d'individu, on arrondit à l'entier le plus proche.

Astuce : $r$ est souvent appelé le "taux de croissance de Malthus". Si $r > 0$, la population augmente ; si $r < 0$, elle diminue.

Correction :

Le modèle de croissance logistique prend en compte la limitation des ressources et l'augmentation de la compétition à mesure que la population s'approche de sa capacité de charge ($K$).

a) L'équation de croissance logistique est donnée :

b) Avec $N = 2000$, $K = 10000$ et $r = 0.5$ :

$\frac{dN}{dt} = 0.5 \times 2000 \times \left(1 - \frac{2000}{10000}\right) = 1000 \times \left(1 - 0.2\right) = 1000 \times 0.8 = 800$ poissons par an.

Le taux de croissance est donc de 800 poissons par an.

c) Si la population atteignait 12 000 poissons :

$N = 12000$. Dans ce cas, $N > K$. Le terme $\left(1 - \frac{N}{K}\right)$ deviendrait négatif :

$1 - \frac{12000}{10000} = 1 - 1.2 = -0.2$

Le taux de croissance serait :

$\frac{dN}{dt} = 0.5 \times 12000 \times (-0.2) = 6000 \times (-0.2) = -1200$ poissons par an.

La population diminuerait, car elle dépasse la capacité de charge du milieu.

Point méthode : Le terme $\left(1 - \frac{N}{K}\right)$ représente le frein à la croissance. Si $N < K$, ce terme est positif et la croissance est positive. Si $N > K$, ce terme est négatif et la croissance est négative.

Correction :

Cette question explore l'influence des facteurs abiotiques et biotiques sur la dynamique des populations.

a) Pour déterminer le facteur le plus limitant, on observe comment la population réagit aux variations des deux facteurs. La surface disponible reste constante (50 ha), tandis que le nombre de renards varie (de 10 à 20). On observe que lorsque le nombre de renards augmente (année 2, 4), la population de lapins a tendance à augmenter aussi, mais moins significativement quand la prédation est très forte (année 4, population 1800 pour 20 renards, puis année 5, population 1600 pour 18 renards). Les variations de population semblent plus corrélées aux variations de prédation qu'à un changement de surface. Cependant, la surface est un facteur essentiel de la capacité de charge à long terme. En l'absence de données claires montrant une saturation due à la surface, la prédation semble être un facteur régulateur majeur sur le court terme.

Une analyse plus poussée : On pourrait calculer le ratio lapins/renards pour voir si une surpopulation de lapins se produit avant que la prédation ne devienne un frein. Par exemple, année 1: 100 lapins/renard. Année 4: 90 lapins/renard. L'augmentation de la prédation semble limiter la croissance au-delà d'un certain seuil, suggérant que la prédation joue un rôle significatif.

b) Une augmentation de la surface disponible augmenterait probablement la capacité de charge ($K$) de la population de lapins, car plus d'individus pourraient trouver des ressources (nourriture, abris) et de l'espace vital.

c) Si le nombre de renards était réduit de moitié (par exemple, passant de 20 à 10), la prédation serait moins intense. Cela permettrait à la population de lapins d'augmenter plus rapidement et potentiellement d'atteindre un niveau plus élevé avant que d'autres facteurs ne limitent sa croissance. La capacité de charge pourrait être momentanément dépassée si la réduction de la prédation est drastique.

Point méthode : Il est crucial de distinguer les facteurs limitants (qui empêchent une population d'atteindre son potentiel de croissance maximal) des facteurs régulateurs (qui influencent la taille de la population de manière cyclique ou proportionnelle à sa densité).

Correction :

Le modèle de Leslie permet une analyse plus fine de la dynamique des populations en tenant compte de la structure d'âge.

a) Interprétation des valeurs :

• La valeur 2 (première ligne, deuxième colonne) représente la fécondité moyenne des adultes : chaque adulte produit en moyenne 2 jeunes par unité de temps.
• La valeur 0.5 (deuxième ligne, première colonne) représente la probabilité de survie des jeunes pour devenir adultes : de nombreux jeunes survivent pour passer dans la classe d'âge des adultes l'année suivante.

b) Calcul de $N_1$ :

On calcule $N_1 = L \times N_0$ :

$$ N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0.5 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \times 100) + (2 \times 50) \\ (0.5 \times 100) + (0.8 \times 50) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 + 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 90 \end{pmatrix} $$

Donc, à l'année $t=1$, il y aura 100 jeunes et 90 adultes.

c) Si le taux de croissance de la population est supérieur à 1, cela signifie que la taille totale de la population augmente d'une génération à l'autre. Le taux de croissance est la somme des effectifs des différentes classes d'âge.

Total à $t=0$ : $100 + 50 = 150$.

Total à $t=1$ : $100 + 90 = 190$.

Le taux de croissance est $\frac{190}{150} \approx 1.267$, ce qui est supérieur à 1. La population est donc en phase de croissance.

Correction :

Le modèle de Lotka-Volterra est un classique pour étudier les cycles proies-prédateurs.

a) Interprétation des termes :

• $aN$ : Croissance de la population de proies en l'absence de prédateurs (croissance exponentielle).
• $-bNP$ : Diminution de la population de proies due à la prédation. Le taux de prédation dépend du nombre de rencontres entre proies et prédateurs ($N \times P$).
• $cN P$ : Augmentation de la population de prédateurs grâce à la consommation de proies. Le taux de croissance des prédateurs est proportionnel au succès de la chasse ($N \times P$).
• $-dP$ : Mortalité naturelle des prédateurs en l'absence de proies.

b) Calcul des variations :

Pour les proies :

$\frac{dN}{dt} = 0.5 \times 100 - 0.02 \times 100 \times 20 = 50 - 40 = 10$ proies par unité de temps.

Pour les prédateurs :

$\frac{dP}{dt} = 0.001 \times 100 \times 20 - 0.1 \times 20 = 2 - 2 = 0$ prédateurs par unité de temps.

Dans ce cas précis, la population de proies augmente légèrement, tandis que la population de prédateurs est stable. Ce point est un état d'équilibre (bien que parfois instable).

c) Si $N$ est très grand et $P$ est très petit :

$\frac{dN}{dt} \approx aN$ (la croissance des proies est quasi exponentielle, peu freinée par la faible prédation).

$\frac{dP}{dt} \approx cN P$ (la population de prédateurs peut commencer à croître car la ressource est abondante, même si $P$ est petit).

Astuce : Les modèles de Lotka-Volterra conduisent souvent à des cycles oscillants des populations de proies et de prédateurs.

Correction :

L'étude de la stabilité des points d'équilibre est fondamentale pour comprendre le comportement à long terme des populations.

a) Les points d'équilibre sont les valeurs de $N$ pour lesquelles $\frac{dN}{dt} = 0$.

$rN \left(1 - \frac{N}{K}\right) = 0$

Cela donne deux solutions :

• $N = 0$
• $1 - \frac{N}{K} = 0 \implies N = K$

Les points d'équilibre sont donc $N = 0$ et $N = K$.

b) Étude de la stabilité :

Pour étudier la stabilité, on regarde le signe de $\frac{dN}{dt}$ autour de ces points.

• Si $N < K$, alors $1 - \frac{N}{K} > 0$. Comme $r > 0$ et $N > 0$, $\frac{dN}{dt} > 0$. La population augmente et tend vers $K$. Le point $N=K$ est stable.
• Si $0 < N < K$, alors $1 - \frac{N}{K} > 0$. $\frac{dN}{dt} > 0$. La population augmente.
• Si $N > K$, alors $1 - \frac{N}{K} < 0$. $\frac{dN}{dt} < 0$. La population diminue et tend vers $K$.
• Si $N$ est proche de 0 (et positif), $\frac{dN}{dt} \approx rN > 0$, donc la population augmente. Le point $N=0$ est instable (sauf si la population démarre exactement à 0).

La population tend vers la capacité de charge $K$ si sa taille initiale $N_0$ est positive.

c) Si $K$ est réduit de moitié, le nouveau point d'équilibre stable devient $K/2$. Si la population était au-dessus de ce nouveau $K/2$, elle diminuerait pour s'y stabiliser. Si elle était au-dessus de l'ancien $K$ (qui est maintenant $K/2$), elle pourrait même s'effondrer si la réduction est trop brutale et la dégrade en dessous de ce nouveau seuil de survie.

Correction :

Cette question demande de différencier les types de facteurs qui influencent la taille des populations.

a) Identification des facteurs :

• Facteurs intrinsèques (liés à la population elle-même) : Le taux de reproduction qui diminue et la mortalité des jeunes qui augmente lorsque la population est dense. Ces phénomènes sont souvent liés à la compétition intra-spécifique accrue au sein de la population.
• Facteurs extrinsèques (externes à la population) :
  • Densité-indépendants : La dégradation de l'habitat ou un événement climatique extrême (pas explicitement mentionné mais possible).
  • Densité-dépendants : Les ressources alimentaires (diminution quand la population est grande), la prédation (pas explicitement mentionnée mais possible), et le nouveau parasite (son impact peut dépendre de la densité des oiseaux, mais aussi de sa propre épidémiologie).

Dans ce cas, la diminution des ressources alimentaires est un facteur extrinsèque et densité-dépendant. Le parasite est un facteur extrinsèque.

b) Régulation par les ressources alimentaires :

Lorsque la population d'oiseaux est nombreuse (pic), la demande en ressources alimentaires (insectes, fruits) augmente. Si la disponibilité de ces ressources est limitée, les oiseaux, en particulier les jeunes, peuvent souffrir de malnutrition. Cela entraîne une diminution du taux de reproduction (moins d'énergie pour pondre, nourrir les jeunes) et une augmentation de la mortalité des jeunes (plus vulnérables aux maladies, moins d'énergie pour survivre). Ce mécanisme réduit la taille de la population, la ramenant à un niveau où les ressources sont plus abondantes.

c) Impact du parasite :

L'introduction d'un nouveau parasite peut avoir plusieurs effets à long terme :

• Augmentation de la mortalité : Si le parasite est virulent, il peut réduire significativement la taille de la population, potentiellement en dessous de la capacité de charge.
• Changement de la structure d'âge : Si le parasite cible davantage les adultes ou les jeunes, cela peut modifier le ratio d'âge de la population, affectant la fécondité et la capacité de renouvellement.
• Adaptation évolutive : Sur le très long terme, il peut y avoir une sélection des individus plus résistants au parasite, entraînant une évolution de la population.
• Co-évolution : Le parasite peut aussi évoluer pour mieux infecter les oiseaux, créant une dynamique complexe.

Si le parasite est fortement pathogène et qu'il n'y a pas d'adaptation, il pourrait mener à un déclin sévère, voire à l'extinction locale de la population d'oiseaux.

Correction :

La dispersion est le mouvement des individus d'une population. Elle influence la distribution spatiale et la connectivité entre les populations.

a) Deux types de dispersion :

• Modèle de diffusion : Les individus se déplacent aléatoirement dans toutes les directions, un peu comme des molécules dans un gaz. Ce modèle est approprié pour des mouvements continus et peu dirigés, souvent sur de courtes distances. La densité tend à s'étaler uniformément.
• Modèle de migration : Il s'agit d'un mouvement plus dirigé, souvent saisonnier, entre des zones spécifiques (par exemple, reproduction et hivernage). Les individus se déplacent vers des destinations particulières. Ce type de dispersion crée des flux entre des métapopulations.

b) Distribution spatiale avec diffusion :

L'équation de diffusion décrit un étalement de la densité. Si la population est initialement concentrée en $x=0$, la fonction de densité $N(x,t)$ à un temps $t>0$ prendra une forme de courbe en cloche (une distribution gaussienne). La concentration initiale se dispersera dans l'espace, devenant moins dense à l'épicentre et présente sur des zones de plus en plus étendues. L'amplitude de la courbe diminuera et sa largeur augmentera avec le temps.

La solution exacte de cette équation avec une condition initiale ponctuelle est une fonction gaussienne : $N(x,t) = \frac{N_0}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}}$, où $N_0$ est la quantité initiale totale.

c) Ajout de reproduction ou de mortalité :

Si l'on ajoute un terme de reproduction (par exemple, $+rN$, où $r$ est le taux de croissance) et/ou de mortalité (par exemple, $-mN$, où $m$ est le taux de mortalité), l'équation devient une équation de réaction-diffusion :

$$ \frac{\partial N}{\partial t} = D \frac{\partial^2 N}{\partial x^2} + \text{réaction}(N) $$

où $\text{réaction}(N)$ représente les termes de reproduction et de mortalité, qui dépendent généralement de $N$ (par exemple, $rN - mN$ pour une croissance exponentielle, ou $rN(1-N/K)$ pour une croissance logistique).

La forme de la distribution spatiale sera alors modifiée par ces processus locaux :

• Si la reproduction est forte, la population pourrait croître même en se dispersant, potentiellement formant des fronts de propagation plus rapides ou maintenant une densité plus élevée dans certaines zones.
• Si la mortalité est forte, la population pourrait avoir du mal à survivre et à se disperser efficacement, voire connaître des extinctions locales.

L'équilibre spatial dépendra de la compétition entre la diffusion (qui tend à homogénéiser) et la réaction (qui peut créer des hétérogénéités, des fronts, ou des cycles).

Correction :

Cet exercice applique les modèles de croissance pour évaluer l'efficacité d'une mesure de gestion.

a) Taille de la population sans intervention :

Nous devons simuler année par année, car le taux de croissance $\frac{dN}{dt}$ varie avec $N$. L'équation logistique est $\frac{dN}{dt} = rN(1 - N/K)$. On peut approximer le changement annuel par $\Delta N \approx \frac{dN}{dt} \times 1 \text{ an}$.

Année 0 : $N_0 = 150$.

Année 1 :

$\Delta N_0 = 0.3 \times 150 \times (1 - 150/800) = 45 \times (1 - 0.1875) = 45 \times 0.8125 \approx 36.56$

$N_1 \approx 150 + 36.56 = 186.56$ (arrondi à 187 pour la suite).

Année 2 :

$\Delta N_1 = 0.3 \times 187 \times (1 - 187/800) = 56.1 \times (1 - 0.23375) = 56.1 \times 0.76625 \approx 43.01$

$N_2 \approx 187 + 43.01 = 230.01$ (arrondi à 230).

Année 3 :

$\Delta N_2 = 0.3 \times 230 \times (1 - 230/800) = 69 \times (1 - 0.2875) = 69 \times 0.7125 \approx 49.16$

$N_3 \approx 230 + 49.16 = 279.16$ (arrondi à 279).

Année 4 :

$\Delta N_3 = 0.3 \times 279 \times (1 - 279/800) = 83.7 \times (1 - 0.34875) = 83.7 \times 0.65125 \approx 54.51$

$N_4 \approx 279 + 54.51 = 333.51$ (arrondi à 334).

Année 5 :

$\Delta N_4 = 0.3 \times 334 \times (1 - 334/800) = 100.2 \times (1 - 0.4175) = 100.2 \times 0.5825 \approx 58.37$

$N_5 \approx 334 + 58.37 = 392.37$

b) Taille de la population avec réintroduction :

Année 0 : $N_0 = 150$.

Année 1 (après croissance) : $N_1 \approx 187$. Ajout de 100 : $N_{1, \text{après ajout}} = 187 + 100 = 287$.

Année 2 (après croissance) :

$\Delta N_1 = 0.3 \times 287 \times (1 - 287/800) = 86.1 \times (1 - 0.35875) = 86.1 \times 0.64125 \approx 55.23$

$N_2 \approx 287 + 55.23 = 342.23$. Ajout de 100 : $N_{2, \text{après ajout}} = 342.23 + 100 = 442.23$ (arrondi à 442).

Année 3 (après croissance) :

$\Delta N_2 = 0.3 \times 442 \times (1 - 442/800) = 132.6 \times (1 - 0.5525) = 132.6 \times 0.4475 \approx 59.35$

$N_3 \approx 442 + 59.35 = 501.35$. Ajout de 100 : $N_{3, \text{après ajout}} = 501.35 + 100 = 601.35$ (arrondi à 601).

Année 4 (après croissance) :

$\Delta N_3 = 0.3 \times 601 \times (1 - 601/800) = 180.3 \times (1 - 0.75125) = 180.3 \times 0.24875 \approx 44.85$

$N_4 \approx 601 + 44.85 = 645.85$. Ajout de 100 : $N_{4, \text{après ajout}} = 645.85 + 100 = 745.85$ (arrondi à 746).

Année 5 (après croissance) :

$\Delta N_4 = 0.3 \times 746 \times (1 - 746/800) = 223.8 \times (1 - 0.9325) = 223.8 \times 0.0675 \approx 15.11$

$N_5 \approx 746 + 15.11 = 761.11$. Ajout de 100 : $N_{5, \text{après ajout}} = 761.11 + 100 = 861.11$

c) Facteur externe compromettant le programme :

Le taux de natalité dépendant de la qualité de l'eau est un exemple clair. Si la qualité de l'eau se dégrade considérablement pendant la période de réintroduction (par exemple, à cause d'une pollution ou d'une sécheresse), le taux de natalité $r$ pourrait être bien plus faible que prévu, voire négatif. Les individus introduits pourraient aussi avoir une faible survie.

Comment le prendre en compte :

• Modèles stochastiques : Introduire une variabilité aléatoire pour le taux de croissance $r$, reflétant les fluctuations environnementales (qualité de l'eau, météo).
• Modèles sensibles à l'habitat : Intégrer des variables représentant la qualité de l'eau, la disponibilité de sites de reproduction, etc., et lier $r$ et $K$ à ces variables.
• Modèles démographiques plus fins : Considérer explicitement la survie des juvéniles et des adultes, qui peut être affectée différemment par les changements environnementaux.

Le succès de la réintroduction dépend donc non seulement de l'apport d'individus, mais aussi de la stabilité et de la qualité de l'habitat.